Universit¨at Konstanz Dr. Andrew Dolphin Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Markus Schweighofer Wintersemester 2010/2011
Ubungsblatt 7 zur Einf¨ ¨ uhrung in die Algebra
Aufgabe 1. Sei R ein kommutativer Ring. Sei p ⊆ R ein Ideal. Zeige, dass folgende Aussagen
¨aquivalent sind:
(i) p ist prim.
(ii) p echt und f¨ur alle IdealeI,J von RmitIJ ⊆pgiltI⊆p oderJ⊆p.
(iii) R\pist eine multiplikative Menge.
Aufgabe 2.SeienA undB kommutative Ringe undϕ:A→B ein Epimorphismus. Zeige, dass die Zuordnungen
I7→ϕ(I) und J7→ϕ−1(J)
eine Bijektion zwischen der Menge der Ideale/Primideale/max. IdealeIvonAmit ker(ϕ)⊆Iund der Menge der Ideale/Primideale/max. Ideale vonB vermitteln.
Aufgabe 3.SeiAein kommutativer Ring undS⊆Amultiplikativ. Zeige, dass die Zuordnungen
p7→S−1ιS(p) :=
a s
a∈p, s∈S
und q7→ι−1S (q)
eine Bijektion zwischen der Menge der Primideale p von A mit p∩S = ∅ und der Menge der Primideale vonAS vermitteln.
Aufgabe 4.SeiRein faktorieller Ring. Sein∈N0undx∈R mit x=pα11. . . pαnn
mitpi∈R prim und paarweise nicht assoziiert undαi ∈N. Sei y:=p1. . . pn.
Zeige, dass
p(x) = (y).
Abgabe bis Montag, den 6. Dezember 2010, vor der Vorlesung.
