Universit¨at Konstanz Dr. Andrew Dolphin Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Markus Schweighofer Wintersemester 2010/2011
Ubungsblatt 8 zur Einf¨ ¨ uhrung in die Algebra
Aufgabe 1.
(a) Zeige, dass 4X3−15X2+ 60X+ 180∈Q[X] irreduzibel ist.
(b) Zeige, dassX3+ 3X2+ 5X+ 5∈Q[X] irreduzibel ist.
(c) Zeige, dassX4+ 2X2+ 4∈Q[X] irreduzibel ist.
Aufgabe 2.Sei√
−3 :=√
3i∈C,R:=Z[√
−3] undK= qf(R).
(a) Zeige
R={a+b√
−3|a,b∈Z} und
K={a+b√
−3|a,b∈Q}.
(b) Untersuche die Irreduzibilit¨at vonX2+X+ 1 inR[X] und inK[X].
(c) Zeige, dassRnicht faktoriell ist.
Aufgabe 3.SeiK ein K¨orper undv:K→Z∪ {∞}eine diskrete Bewertung aufKmit zugeh¨o- rigem BewertungsringOv und maximalem Idealmv.
Seiπ∈K mitv(π) = 1.
(a) Zeige, dassk7→(πk) eine Bijektion zwischen N0und der Menge der Ideale I6={0}von Ov
definiert.
(b) Zeige, dassπbis auf Assoziiertheit das einzige irreduzible Element inOv ist.
Abgabe bis Montag, den 13. Dezember 2010, vor der Vorlesung.
