Prof. Dr. J. Ruppenthal Wuppertal, 25.04.2019 Dr. T. Harz
Einf¨ uhrung in die Funktionentheorie (SS 2019)
Ubungsblatt 4¨
Aufgabe 1. Es sei G⊂C ein Gebiet undf :G−→Cholomorph. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen ¨aquivalent sind:
(a) f ist konstant (b) Ref ist konstant
(c) |f| ist konstant (d) f ist holomorph
Aufgabe 2. Es seien f, g :C−→C reell differenzierbare Funktionen. Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln:
(a)
∂f
∂z = ∂f
∂z
, ∂f
∂z = ∂f
∂z
(b) Ist f reellwertig, so gilt:
∂f
∂z = ∂f
∂z
(c) f ist holomorph ⇔ ∂f∂z = 0
(d) Ist f zweimal reell differenzierbar, so gilt:
∂2f
∂z∂z = 1 4
∂2f
∂x2 +∂2f
∂y2
(e) Die Kettenregeln:
∂(g◦f)
∂z = ∂g
∂w ·∂f
∂z + ∂g
∂w · ∂f
∂z , ∂(g◦f)
∂z = ∂g
∂w ·∂f
∂z + ∂g
∂w · ∂f
∂z Aufgabe 3. Verwenden Sie das Cauchy-Kriterium aus der Vorlesung, um das Majorantenkriteriumzu beweisen:
Es sei P∞
ν=0fν eine Reihe von Funktionen fν : M → C auf einer Menge M ⊂ C. Weiter sei P∞
ν=0aν eine konvergente Reihe reeller Zahlen. Gilt |fν(z)| ≤aν f¨ur alle ν und alle z ∈M, so konvergiert P∞
ν=0fν aufM absolut und gleichm¨aßig.
Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktionenfolge{fn}durch fn(z) := 1+z1n. Zeigen Sie, dass diese Funktionenfolge auf D1(0) lokal gleichm¨aßig gegen 1 konvergiert und f¨ur r >1 aufC\Dr(0) gleichm¨aßig gegen 0 konvergiert. Entwicklen Sie die Funktionfn f¨ur jedes n∈Nin eine Potenzreihe um 0 und bestimmen Sie den Konvergenzradius.
Abgabe: Do, 02.05.19 in der ¨Ubung oder bis 10 Uhr in Postfach 33 (Ebene D.13).
