Prof. Dr. J. Ruppenthal Wuppertal, 06.06.2019 Dr. T. Harz
Einf¨ uhrung in die Funktionentheorie (SS 2019)
Ubungsblatt 10¨
Aufgabe 1. Sei f : G → C eine holomorphe Funktion, so dass Ref oder Imf konstant ist. Zeigen Sie: f ist konstant.
Aufgabe 2. Sei f :G→Ceine Funktion auf einem beschr¨ankten Gebiet G.
a) Es gebe zu jedem C > 0 ein δ > 0, so dass |f(z)| ≥ C f¨ur alle z ∈ G mit dist(z, ∂G)< δ. Zeigen Sie: f ist nicht holomorph.
b)f sei holomorph und es gebe zu jedem >0 einδ >0, so dass |f(z)|< f¨ur alle z∈G mit dist(z, ∂G)< δ). Zeigen Sie: f ≡0.
Aufgabe 3. Zeigen Sie am Beispiel der Funktion cosz, dass das Maximumprinzip nicht f¨ur unbeschr¨ankte Gebiete gilt.
Aufgabe 4. Es seien f und g zwei ganze Funktionen mit |f(z)| ≤ |g(z)| f¨ur alle z∈C. Zeigen Sie: es gibt eine Konstante λ∈C so dassf =λ·g.
Aufgabe 5. Sei f eine ganze transzendente Funktion (also kein Polynom) und w0 ∈C fest gew¨ahlt. Wir nehmen an, es existieren Konstanten R >0 und >0 so dass |f(z)−w0|> f¨ur alle z mit |z|> R.
a) Zeigen Sie: f hat auf der Menge DR(0) nur endlich viele w0-Stellen.
b) Es seien b1, ..., br die w0-Stellen vonf mit Vielfachheiten n1, ..., nr. Zeigen Sie:
g(z) := f(z)−w0 Qr
j=1(z−bj)nj
ist eine ganze Funktion ohne Nullstellen.
c) Zeigen Sie: es existiert eine KonstanteC > 0 mit
|1/g(z)| ≤C |z|n1+...+nr f¨ur |z|> R,
und folgern Sie, dass 1/g konstant ist. Damit ist aber auch g konstant und f ein Polynom im Widerspruch zu den Annahmen.
Aufgabe 6. Verwenden Sie Aufgabe 5, um Folgendes zu zeigen:
a) Sei f eine ganze transzendente Funktion. Dann gibt es zu jedem w0 ∈ C eine Folge {zj}j inC mit limj→∞|zj|=∞und limj→∞f(zj) =w0.
b) Sei f eine ganze Funktion und es gebe n∈ N und KonstantenM, R > 0 so dass
|f(z)| ≥M· |z|n f¨ur|z| ≥R. Dann istf ein Polynom vom Grad≥n.
Abgabe: Mi, 19.06.19 bis 14 Uhr in Postfach 33 (Ebene D.13).
