Einf¨ uhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie 2019/2020
1. Serie
1. Gegeben seien TeilmengenA,BundCeiner MengeM. Sind die folgenden Aussagen falsch oder richtig?
• (A∪B)\A=B •(A∪B)∩C= (A∩C)∪(B∩C)
• (A∪B)∩A=A •A\Bc=A∪B
• (Ac∪Bc)c=A∪B •A∪B = (A\(A∩B))∪B
• A,B disjunkt⇒ A∩C und B disjunkt •(A∩B)∪B=B
• A undB disjunkt⇒ Ac∪Bc=M •A⊆B ⇒Bc⊆Ac 2. Gegeben seien MengenA, B andC. Beweisen Sie folgende Identit¨aten:
A\(B∪C) = (A\B)∩(A\C) und (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C).
3. F¨ur TeilmengenA undB einer MengeM repr¨asentiere man (A×B)cals Vereinigung und Durchschnitt von cartesischen Produkten der MengenA,Ac,B und Bc.
4. Seien A, B und C drei Ereignisse in einem Grundraum Ω. Repr¨asentieren Sie folgende Ereignisse mit Hilfe der Ereignisse A, B und C.
• NurA erscheint.
• A undB erscheinen, aberC nicht.
• Wenigstens eins der drei Ereignisse erscheint.
• Wenigstens zwei der Ereignisse erscheinen.
• H¨ochstens eins der drei Ereignisse erscheint.
• Keins der drei Ereignisse erscheint.
• Genau zwei der drei Ereignisse erscheinen.
• Nicht mehr als zwei der Ereignisse erscheinen.
5. Zwei Spieler spielen Schach. Das Ereignis A tritt ein, wenn der erste Spieler gewinnt und das EreignisBtritt ein, wenn der zweite Spieler siegt. Beschreiben Sie verbal die Ereignisse Ac∩Bc,Ac\B,Bc\A,Ac∆B wobei A∆B= (A∪B)\(A∩B).
6. Man werfe eine mit
”Kopf“ und
”Zahl“ beschriftete M¨unze n-mal. F¨ur jedes 1 ≤ j ≤n erscheint das Ereignis Aj sofern der j-te Wurf
”Kopf“ zeigt. Stellen Sie die folgenden Ereignisse B1, . . . , B4 mit Hilfe der EreignisseAj dar.
B1 = {Alle W¨urfe zeigen
”Kopf“}, B2 ={Wenigstens ein Wurf ist
”Kopf“}, B3 = {Genau ein Wurf ist
”Kopf“}und
B4 = {Alle nW¨urfe zeigen dieselbe Seite der M¨unze}. Wie viele Elemente enthalten die Ereignisse B1, . . . , B4.
Besprechungder Aufgaben in den ¨Ubungen am 28.10.2019, am 30.10.2019 und am107.11.2019 Schriftliche Abgabe der L¨osungen von Aufgaben (2) und (6)
1Wegen des Feiertags am 31.10.2019
