1.2 Rechengesetze
Komplement¨ares Ereignis: A
c= ¬A = A = Ω\A P (A
c) = 1 − P (A) Regeln von de Morgan: (A ∩ B)
c= A
c∪ B
cund (A ∪ B)
c= A
c∩ B
c.
allgemeine Additionsregel: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Wenn A und B unvereinbare (disjunkte) Ereignisse [A ∩ B = ∅], dann gilt:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
allgemeine Multiplikationsregel: Falls P (A) > 0 und P (B) > 0, dann gilt:
P (A ∩ B) = P (A|B ) · P (B) = P (B|A) · P (A).
Wenn A und B (paarweise) unabh¨angig voneinander, dann gilt:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
Wenn A
1, . . . , A
kvollst¨andig stochastisch unabh¨angige zuf¨allige Ereignisse sind, dann gelten:
P (A
1∩ A
2∩ . . . ∩ A
k) = P (A
1) · P (A
2) · . . . · P (A
k) = Y
ki=1
P (A
i)
P (A
1∪A
2∪. . .∪A
k) = 1−((1−P (A
1))·(1−P (A
2))·. . .·(1−P (A
k))) = 1−
Y
ki=1
(1−P (A
i)).
1.3 Zuverl¨ assigkeit
F - System funktioniert
F
i- i-tes Element des Systems funktioniert i = 1, . . . , n Seriensystem (Reihensystem)
Das System funktioniert, falls alle Elemente des Systems funktionieren.
F = F
1∩ F
2∩ . . . ∩ F
nDas System f¨allt aus, falls ein Element des Systems ausf¨allt.
F
c= F
1c∪ F
2c∪ . . . ∪ F
nc2
Parallelsystem
Das System funktioniert, falls ein Element des Systems funktioniert.
F = F
1∪ F
2∪ . . . ∪ F
nDas System f¨allt aus, falls alle Elemente des Systems ausfallen.
F
c= F
1c∩ F
2c∩ . . . ∩ F
nc1.4 BAYES’sche Formel
Voraussetzung: P (B) > 0
bedingte Wahrscheinlichkeit f¨ur das Ereignis A unter P (A|B) =
PP(A∩B)(B)der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist
(Wkt. von A unter Bedingung B) Totale Wahrscheinlichkeit:
Voraussetzung: Die B
i(i = 1, . . . , n) bilden eine Zerlegung von Ω.
(d.h. B
j∩ B
k= ∅ f¨ur j 6= k und S
ni=1
B
i= Ω)
P (A) = P
nk=1
P (A ∩ B
k) = P
nk=1
P (A|B
k)P (B
k) totale Wahrscheinlichkeit f¨ur A.
BAYES’sche Formel:
Voraussetzung: Die B
i(i = 1, . . . , n) bilden eine Zerlegung von Ω und P (A) > 0.
P (B
i|A) = P (B
i∩ A)
P (A) = P (A|B
i)P (B
i) P
nk=1
