VL-17: Jenseits von P und NP (Berechenbarkeit und Komplexit¨at, WS 2018) Gerhard Woeginger

(1)

VL-17: Jenseits von P und NP

(Berechenbarkeit und Komplexit¨ at, WS 2018) Gerhard Woeginger

WS 2018, RWTH

BuK/WS 2018 VL-17: Jenseits von P und NP 1/46

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Organisatorisches

N¨achste (letzte) Vorlesung:

Donnerstag, Januar 24, 12:30–14:00 Uhr, Aula

Webseite:

http://algo.rwth-aachen.de/Lehre/WS1819/BuK.php (−→ Arbeitsheft zur Berechenbarkeit)

(−→ Arbeitsheft zur NP-Vollst¨andigkeit)

(3)

Wdh.: Landkarte mit Karp’s 20 Reduktionen

SAT INTEGER

PROG 3-SAT

COLORING

CLIQUE COVER

EXACT COVER 3-DIM

MATCHING

STEINER TREE

HITTING SET

SUBSET-SUM

JOB SEQUENCING PARTITION

MAX-CUT SET COVER FEEDBACK

ARC SET

FEEDBACK VERTEX

SET DIRECTED

HAM-CYCLE

HAM CYCLE

VERTEX COVER INDEP

SET

CLIQUE

(4)

Wdh.: SUBSET-SUM

Problem: SUBSET-SUM

Eingabe:Positive ganze Zahlena1, . . . ,an; eine ganze Zahlb Frage:Existiert eine IndexmengeI ⊆ {1, . . . ,n} mitP

i∈Iai =b?

Satz

SUBSET-SUM ist NP-vollst¨andig.

(5)

Wdh.: PARTITION, Rucksack, Bin Packing

Problem: PARTITION

Eingabe:Positive ganze Zahlena⁰₁, . . . ,a⁰_n; mitPn

i=1a⁰_i=2A⁰ Frage:Existiert eine IndexmengeI ⊆ {1, . . . ,n} mitP

i∈Ia_i⁰=A⁰?

Satz

PARTITION ist NP-vollst¨andig.

Satz

Rucksack ist NP-vollst¨andig.

Bin Packing ist NP-vollst¨andig.

(6)

Wdh.: Pseudo-polynomiell versus Stark NP-schwer (1)

Definition: Pseudo-polynomielle Zeit

Ein AlgorithmusAl¨ost ein ProblemX inpseudo-polynomiellerZeit, falls die Laufzeit von Aauf InstanzenI von X

polynomiell in|I|undNumber(I)beschr¨ankt ist.

Satz

Die Probleme SUBSET-SUM, PARTITION und Rucksack sind pseudo-polynomiell l¨osbar.

(7)

Wdh.: Pseudo-polynomiell versus Stark NP-schwer (2)

Definition: Stark NP-schwer (engl.: NP-hard in the strong sense) Ein EntscheidungsproblemX iststark NP-schwer,

wenn es ein Polynom q:N→Ngibt, sodass die Restriktion von X auf InstanzenI mitNumber(I)≤q(|I|)NP-schwer ist.

Also: Das ProblemX ist sogar dann NP-schwer, wenn alle Zahlenwerte in der InstanzI nur polynomiell gross (gemessen in |I|) sind.

Satz

Es seiX ein stark NP-schweres Entscheidungsproblem.

FallsX pseudo-polynomiell l¨osbar ist, so gilt P=NP.

Also: Pseudo-polynomiell und stark NP-schwer schliessen einander aus (unter unserer Standardannahme P6=NP)

(8)

Vorlesung VL-18 Jenseits von P und NP

Was tun mit NP-schweren Problemen?

Die Komplexit¨atsklasse coNP

Zwischen P und NPC: NP-intermediate

Die Komplexit¨atsklassen EXPTIME und PSPACE

(9)

Was tun mit NP-schweren Problemen?

(10)

Was tun mit NP-schweren Problemen?

Viele Optimierungsprobleme aus der Praxis sind NP-schwer.

Beispiel: Bin Packing (BPP),Set Cover,Rucksack,Travelling Salesman Problem (TSP).

In der Praxis m¨ussen diese Probleme dennoch behandelt werden.

(11)

Aus dem Buch von Garey und Johnson (1)

“I can’t find an efficient algorithm, I guess I’m just too dumb.”

(12)

Aus dem Buch von Garey und Johnson (2)

“I can’t find an efficient algorithm, because no such algorithm is possible!”

(13)

Aus dem Buch von Garey und Johnson (3)

“I can’t find an efficient algorithm, but neither can all these famous people.”

(14)

Was tun mit NP-schweren Problemen? (1)

Viele Optimierungsprobleme aus der Praxis sind NP-schwer.

In der Praxis m¨ussen diese Probleme dennoch behandelt werden.

Wichtige Strategien sind:

Ausnutzen der Eingabestruktur durch spezielle Algorithmen Parametrisierte Algorithmen

Approximationsalgorithmen

Heuristiken (ohne irgendwelche Garantien) Zerteilen in geeignete Unterprobleme

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Was tun mit NP-schweren Problemen? (2)

Beispiel: Ausnutzen der Eingabestruktur

Strassennetze lassen sich durch planareGraphen modellieren Es gibt effiziente Graphalgorithmen, die planare Strukturen ausn¨utzen

Beispiel: Approximationsalgorithmen

Instanzen des TSP erf¨ullen in der Praxis h¨aufig die Dreiecksungleichung (∆-TSP)

Für das∆-TSP gibt es gute Approximationsalgorithmen: In polynomieller Zeit kann man eine Rundreise berechnen, deren Länge höchstens3/2-mal die optimale Länge beträgt.

(16)

Was tun mit NP-schweren Problemen? (2)

Beispiel: Ausnutzen der Eingabestruktur

Strassennetze lassen sich durch planareGraphen modellieren Es gibt effiziente Graphalgorithmen, die planare Strukturen ausn¨utzen

Beispiel: Approximationsalgorithmen

Instanzen des TSP erf¨ullen in der Praxis h¨aufig die Dreiecksungleichung (∆-TSP)

F¨ur das∆-TSP gibt es gute Approximationsalgorithmen:

In polynomieller Zeit kann man eine Rundreise berechnen, deren Länge höchstens3/2-mal die optimale Länge beträgt.

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Was tun mit NP-schweren Problemen? (3)

In der Praxis h¨angt die Effizienz eines Algorithmus oft nicht allein von der Eingabegr¨osse ab.

Eine verfeinerte Analyse, die andereEingabeparameterber¨ucksichtigt, kann zu besseren Resultaten f¨uhren.

Beispiel: Parametrisierte Algorithmen

Wir wollen eine Anfrage in einer DatenbankDauswerten. Es sei`die Grösse der Anfrage und es seimdie Grösse der DatenbankD. Die Eingabegrösse ist dannn=`+m.

H¨aufig istmsehr gross, w¨ahrend`relativ klein ist. Ein Algorithmus mit Laufzeit2^`mkann deswegen durchaus gut sein, ein Algorithmus mit Laufzeiten wie m^` oder gar2^m`hingegen kaum.

Analysieren wir die Algorithmen nur nach der Eingabegr¨ossen, so wird dieser wichtige Unterschied nicht sichtbar.

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Was tun mit NP-schweren Problemen? (3)

In der Praxis h¨angt die Effizienz eines Algorithmus oft nicht allein von der Eingabegr¨osse ab.

Eine verfeinerte Analyse, die andereEingabeparameterber¨ucksichtigt, kann zu besseren Resultaten f¨uhren.

Beispiel: Parametrisierte Algorithmen

Wir wollen eine Anfrage in einer DatenbankDauswerten.

Es sei`die Grösse der Anfrage und es seimdie Grösse der DatenbankD. Die Eingabegrösse ist dannn=`+m.

H¨aufig istmsehr gross, w¨ahrend`relativ klein ist. Ein Algorithmus mit Laufzeit2^`mkann deswegen durchaus gut sein, ein Algorithmus mit Laufzeiten wie m^` oder gar 2^m`hingegen kaum.

Analysieren wir die Algorithmen nur nach der Eingabegr¨ossen, so wird dieser wichtige Unterschied nicht sichtbar.

(19)

Die Komplexit¨ atsklasse coNP

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Die Klasse coNP

Definition: Klasse NP (zur Erinnerung)

Ein EntscheidungsproblemX ⊆Σ^∗liegt inNP,

wenn f¨ur jedes Wortx∈X ein polynomiell langes Zertifikaty existiert, das (zusammen mitx) in polynomieller Zeit verifiziert werden kann.

Definition: Klasse coNP

Ein EntscheidungsproblemX ⊆Σ^∗liegt incoNP,

wenn f¨ur jedes Wortx∈/X ein polynomiell langes Zertifikaty existiert, das (zusammen mitx) in polynomieller Zeit verifiziert werden kann. Intuition:

Wenn X in NP, dann gibt es fürJA-Instanzenx ∈X kurze und einfach zu überprüfendeBeweise.

WennX in coNP, dann gibt es fürNEIN-Instanzenx∈/X kurze und einfach zu überprüfendeWiderlegungen.

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Die Klasse coNP

wenn f¨ur jedes Wortx∈/X ein polynomiell langes Zertifikaty existiert, das (zusammen mitx) in polynomieller Zeit verifiziert werden kann.

Intuition:

(22)

Die Klasse coNP

wenn f¨ur jedes Wortx∈/X ein polynomiell langes Zertifikaty existiert, das (zusammen mitx) in polynomieller Zeit verifiziert werden kann.

Intuition:

(23)

Beispiel (1)

Problem: Non-Hamiltonkreis (Non-Ham-Cycle) Eingabe:Ein ungerichteter GraphG = (V,E) Frage:BesitztG keinenHamiltonkreis?

Frage: Wie sieht das coNP-Zertifikat f¨ur Non-Ham-Cycle aus?

(24)

Beispiel (2)

Problem: Unsatisfiability (UNSAT)

Eingabe:Eine Boole’sche Formelϕin CNF ¨uber der Boole’schen VariablenmengeX ={x1, . . . ,xn}

Frage:Gibt eskeineWahrheitsbelegung f¨urX, dieϕ erf¨ullt?

Problem: TAUTOLOGY

Eingabe:Eine Boole’sche FormelϕinDNF¨uber der Boole’schen VariablenmengeX ={x1, . . . ,xn}

Frage:Wirdϕvon allenWahrheitsbelegungen vonX erf¨ullt?

Frage: Wie sehen coNP-Zertifikate f¨ur UNSAT und TAUTOLOGY aus?

(25)

Beispiel (3a): Lineare Programmierung

Ein primales Lineares Programm (P):

max Pn j=1cjxj

s.t. Pn

j=1a_ijx_j ≤ b_i f¨uri =1, . . . ,m x_j ≥ 0

Das entsprechende duale Lineare Programm (D):

min Pm i=1biyi

s.t. Pm

i=1a_ijy_i ≥ c_j f¨urj=1, . . . ,n yi ≥ 0

Satz (Starker Dualit¨atssatz)

Wenn beide LPs zul¨assige L¨osungen haben,

so haben beide den selben optimalen Zielfunktionswert.

(26)

Beispiel (3b): Lineare Programmierung

Primal= “maxcx s.t.Ax ≤b” Dual= “minby s.t.yA≥c”

Problem: Lineare Programmierung (LP)

Eingabe:Eine reellem×nMatrixA; Vektorenb∈R^m undc∈Rⁿ; eine Schranke γ∈R

Frage:Existiert ein Vektorx ∈Rⁿ, derAx ≤bundx≥0erf¨ullt, und dessen Zielfunktionswertcx≥γ ist?

Beobachtung LP liegt in NP.

NP-Zertifikat = Vektorx f¨urs primale LP mitcx≥γ Beobachtung

LP liegt in coNP.

coNP-Zertifikat = Vektory f¨urs duale LP mitby < γ

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Beispiel (3b): Lineare Programmierung

NP-Zertifikat = Vektorx f¨urs primale LP mitcx≥γ

Beobachtung LP liegt in coNP.

(28)

Beispiel (3b): Lineare Programmierung

NP-Zertifikat = Vektorx f¨urs primale LP mitcx≥γ Beobachtung

LP liegt in coNP.

(29)

Beispiel (3c): Lineare Programmierung

Zusammenfassung LP liegt inNP∩coNP.

Anmerkung: Das war bereits in den 1950er Jahren bekannt.

Satz (Leonid Genrikhovich Khachiyan, 1979) LP liegt inP.

Anmerkung: Khachiyan entwickelte dieEllipsoid-Methode f¨ur LP.

(30)

coNP-Vollst¨ andigkeit (1)

Definition: NP-vollst¨andig (zur Erinnerung) Ein EntscheidungsproblemX istNP-vollst¨andig,

wenn X ∈NPund alleY ∈NP polynomiell aufX reduzierbar sind.

Definition: coNP-vollst¨andig

Ein EntscheidungsproblemX istcoNP-vollst¨andig,

wennX ∈coNPund alleY ∈coNPpolynomiell auf X reduzierbar sind.

Intuition:

X ist NP-vollst¨andig,

wenn es zu den schwierigsten Problemen in NP geh¨ort.

X ist coNP-vollst¨andig,

wenn es zu den schwierigsten Problemen in coNP geh¨ort.

(31)

coNP-Vollst¨ andigkeit (2)

Satz

Non-Ham-Cycle, UNSAT und TAUTOLOGY sind coNP-vollst¨andig.

Beweis: ¨Ubung.

Satz

Wenn das EntscheidungsproblemX NP-vollständig ist, so ist das komplementäre Problem X coNP-vollständig. Komplementäres Problem:

Ja-Instanzen vonX werden zu Nein-Instanzen vonX, und Nein-Instanzen vonX werden zu Ja-Instanzen vonX

(32)

coNP-Vollst¨ andigkeit (2)

Satz

Non-Ham-Cycle, UNSAT und TAUTOLOGY sind coNP-vollst¨andig.

Beweis: ¨Ubung.

Satz

Wenn das EntscheidungsproblemX NP-vollständig ist, so ist das komplementäre Problem X coNP-vollständig.

Komplement¨ares Problem:

Ja-Instanzen vonX werden zu Nein-Instanzen vonX, und Nein-Instanzen vonX werden zu Ja-Instanzen vonX

(33)

coNP versus NP und P (1)

Satz

P⊆NP∩coNP Beweis:P=coP

(34)

coNP versus NP und P (2)

Viele Informatiker denken, dassNP6=coNPgilt.

Satz

WenncoNPein NP-vollst¨andiges ProblemX enth¨alt, dannNP=coNP.

Beweis:

X ∈NPCimpliziert: L≤_pX für alleL∈NP X ∈NPCimpliziert: L≤pX für alleL∈NP X ∈NPCimpliziert: K ≤pX für alleK∈coNP Ergo: Alle K∈coNPsind aufX ∈NP reduzierbar. Ergo: Alle K∈coNPliegen in NP.

Daraus erhalten wir das folgende Werkzeug:

“X NP-vollst¨andig” ist Evidenz f¨ur “X ∈/coNP”

“X coNP-vollst¨andig” ist Evidenz f¨ur “X ∈/NP”

(35)

coNP versus NP und P (2)

Satz

Beweis:

X ∈NPCimpliziert: L≤_pX f¨ur alleL∈NP

X ∈NPCimpliziert: L≤pX f¨ur alleL∈NP X ∈NPCimpliziert: K ≤pX f¨ur alleK∈coNP Ergo: Alle K∈coNPsind aufX ∈NP reduzierbar. Ergo: Alle K∈coNPliegen in NP.

(36)

coNP versus NP und P (2)

Satz

Beweis:

X ∈NPCimpliziert: L≤_pX f¨ur alleL∈NP X ∈NPCimpliziert: L≤pX f¨ur alleL∈NP

X ∈NPCimpliziert: K ≤pX f¨ur alleK∈coNP Ergo: Alle K∈coNPsind aufX ∈NP reduzierbar. Ergo: Alle K∈coNPliegen in NP.

(37)

coNP versus NP und P (2)

Satz

Beweis:

X ∈NPCimpliziert: L≤_pX für alleL∈NP X ∈NPCimpliziert: L≤pX für alleL∈NP X ∈NPCimpliziert: K ≤pX für alleK∈coNP

Ergo: Alle K∈coNPsind aufX ∈NP reduzierbar. Ergo: Alle K∈coNPliegen in NP.

(38)

coNP versus NP und P (2)

Satz

Beweis:

X ∈NPCimpliziert: L≤_pX für alleL∈NP X ∈NPCimpliziert: L≤pX für alleL∈NP X ∈NPCimpliziert: K ≤pX für alleK∈coNP Ergo: Alle K∈coNPsind aufX ∈NP reduzierbar.

Ergo: Alle K∈coNPliegen in NP.

(39)

coNP versus NP und P (2)

Satz

Beweis:

Ergo: Alle K∈coNPliegen inNP.

(40)

coNP versus NP und P (2)

Satz

Beweis:

Ergo: Alle K∈coNPliegen inNP.

(41)

coNP versus NP und P (3)

Wir erhalten das folgende Werkzeug:

Ham-Cycle ist NP-vollst¨andig.

Ham-Cycle hat gute Zertifikate f¨ur Ja-Instanzen.

Ergo: Ham-Cycle hat (h¨ochstwahrscheinlich) keine guten Zertifikate f¨ur Nein-Instanzen.

SAT ist NP-vollst¨andig.

SAT hat gute Zertifikate f¨ur Ja-Instanzen.

Ergo: SAT hat (h¨ochstwahrscheinlich) keine guten Zertifikate f¨ur Nein-Instanzen.

(42)

P

NPC coNPC

NP coNP

(43)

coNP versus NP und P (4)

Viele Mathematiker denken, dassNP∩coNP=Pgilt.

Beispiel

LP inNP∩coNPwar seit den 1950er Jahren bekannt.

Erst 1979 wurde ein polynomieller Algorithmus f¨ur LP gefunden.

Beispiel

PRIMES inNP∩coNPwar seit den 1970er Jahren bekannt.

Erst 2002 wurde ein polynomieller Algorithmus f¨ur PRIMES gefunden.

Beispiel

PARITY-GAME inNP∩coNP ist seit den 1990er Jahren bekannt.

Ob allerdings PARITY-GAME inPliegt, ist ein offenes Problem.

(44)

Zwischen P und NPC:

NP-intermediate

(45)

Das Graphisomorphieproblem (1)

Definition

Zwei GraphenG₁= (V₁,E₁)undG₂= (V₂,E₂)sindisomorph, wenn es eine Bijektionf :V1→V2 gibt,

die Adjazenz und Nicht-Adjazenz erh¨alt.

Eine solche Bijektion heisstIsomorphismus.

(46)

Das Graphisomorphieproblem (2)

Problem: GRAPH-ISOMORPHUS

Eingabe:Zwei ungerichtete GraphenG1 undG2

Frage:Gibt es einen Isomorphismus vonG₁ nachG₂?

Satz

GRAPH-ISOMORPHUS liegt in NP.

Beweis: Verwende Isomorphismus als Zertifikat.

(47)

Das Graphisomorphieproblem (3)

Folgende Fragen sind derzeit noch ungel¨ost:

Liegt GRAPH-ISOMORPHUS in P?

Ist GRAPH-ISOMORPHUS NP-vollst¨andig?

Liegt GRAPH-ISOMORPHUS in coNP?

(48)

Das Graphisomorphieproblem (4)

Satz (L´aszl´o Babai, 2016)

GRAPH-ISOMORPHUS auf Graphen mitnKnoten

kann in2^p(logⁿ⁾ Zeit gel¨ost werden (wobeipein Polynom ist).

Algorithmus verwendet algorithmische und strukturelle Theorie der Permutationsgruppen.

Exponential Time Hypothesis (ETH) Es existiert eine reelle Zahlδ >0,

sodass kein Algorithmus 3-SAT in ZeitO(2^δn)l¨ost.

ETH wurde in den letzten 20 Jahren popul¨ar (ist aber unbewiesen!) ETH impliziertP 6=NP

Wenn GRAPH-ISOMORPHUS NP-vollst¨andig ist, dann ist ETH falsch

(49)

Das Graphisomorphieproblem (4)

Satz (L´aszl´o Babai, 2016)

GRAPH-ISOMORPHUS auf Graphen mitnKnoten

kann in2^p(logⁿ⁾ Zeit gel¨ost werden (wobeipein Polynom ist).

Algorithmus verwendet algorithmische und strukturelle Theorie der Permutationsgruppen.

Exponential Time Hypothesis (ETH) Es existiert eine reelle Zahlδ >0,

sodass kein Algorithmus 3-SAT in ZeitO(2^δn)l¨ost.

ETH wurde in den letzten 20 Jahren popul¨ar (ist aber unbewiesen!) ETH impliziertP 6=NP

Wenn GRAPH-ISOMORPHUS NP-vollst¨andig ist, dann ist ETH falsch

(50)

NP-intermediate (1)

Definition

Ein EntscheidungsproblemX ⊆Σ^∗heisstNP-intermediate, wenn L∈NP und wenn sowohlL∈/P als auch L∈/NPC gilt.

Satz von Ladner (ohne Beweis) WennP6=NP gilt,

dann existieren Probleme, die NP-intermediate sind.

Viele Informatiker denken,

dass das GRAPH-ISOMORPHUS Problem NP-intermediate ist.

(51)

NP-intermediate (1)

Definition

Ein EntscheidungsproblemX ⊆Σ^∗heisstNP-intermediate, wenn L∈NP und wenn sowohlL∈/P als auch L∈/NPC gilt.

Satz von Ladner (ohne Beweis) WennP6=NP gilt,

dann existieren Probleme, die NP-intermediate sind.

Viele Informatiker denken,

dass das GRAPH-ISOMORPHUS Problem NP-intermediate ist.

(52)

NP-intermediate (2)

NP

P

Graph- zusammenhang Primes

SAT

Clique Ind-Set VC

Ham-Cycle

TSP Partition Subset-Sum

Rucksack

BPP Coloring 3-SAT

??? Graph ???

??? Isomorphismus ???

(53)

Die Komplexit¨ atsklassen PSPACE und EXPTIME

(54)

Die Klasse PSPACE (1)

Definition: Komplexit¨atsklasse PSPACE

PSPACEist die Klasse aller Entscheidungsprobleme,

die durch eine DTM M entschieden werden, deren Worst Case Speicherplatzbedarf durchq(n)mit einem Polynom qbeschr¨ankt ist.

Definition: Komplexit¨atsklasse NPSPACE

NPSPACEist die Klasse aller Entscheidungsprobleme,

die durch eine NTMM entschieden werden, deren Worst Case Speicherplatzbedarf durchq(n)mit einem Polynom qbeschr¨ankt ist.

(55)

Die Klasse PSPACE (2)

Satz von Savitch (ohne Beweis) PSPACE=NPSPACE

Wie verh¨alt sich PSPACE zu NP?

Da sich der Kopf einer Turingmaschine in einem Schritt nur um eine Position bewegen kann gilt: NP⊆NPSPACE=PSPACE

(56)

Die Klasse PSPACE (2)

Satz von Savitch (ohne Beweis) PSPACE=NPSPACE

Wie verh¨alt sich PSPACE zu NP?

Da sich der Kopf einer Turingmaschine in einem Schritt nur um eine Position bewegen kann gilt: NP⊆NPSPACE=PSPACE

(57)

Die Klasse PSPACE (3)

Problem: QUANTIFIED-SAT (Q-SAT)

Eingabe:Eine Boole’sche Formelϕin CNF ¨uber der Boole’schen Variablenmenge{x1, . . . ,x_n,y₁, . . . ,y_n} Frage:∃x1∀y1∃x2∀y2∃x3∀y3 · · · ∃xn∀yn ϕ

Satz

Q-SAT liegt in PSPACE.

Anmerkung: Q-SAT ist PSPACE-vollst¨andig.

(58)

Die Klasse EXPTIME (1)

Definition: Komplexit¨atsklasse EXPTIME

EXPTIMEist die Klasse aller Entscheidungsprobleme,

die durch eine DTM M entschieden werden, deren Worst Case Laufzeit durch 2^q(n) mit einem Polynomq beschr¨ankt ist.

Laufzeit-Beispiele:2^√ⁿ, 2ⁿ, 3ⁿ, n!, nⁿ. Aber nicht:2²ⁿ

(59)

Die Klasse EXPTIME (2)

Wie verh¨alt sich EXPTIME zu PSPACE?

Bei einer Speicherplatzbeschränkungs(n)gibt es nur2Ô(s⁽ⁿ⁾⁾viele verschiedenen Konfigurationen für eine Turingmaschine.

Daher ist die Rechenzeit durch2^O(s(n)) beschr¨ankt.

Die Probleme in PSPACE k¨onnen deshalb in Zeit 2^p(n) gel¨ost werden: PSPACE⊆EXPTIME

(60)

Die Klasse EXPTIME (3)

Problem:k-Schritt-HALTEPROBLEM

Eingabe:Eine deterministische TuringmachineM; eine ganze Zahlk Frage:WennM mit leerem Band gestartet wird, h¨alt M dann nach h¨ochstensk Schritten an?

Die Zahlk ist bin¨ar (oder dezimal) kodiert.

Satz

Dask-Schritt-HALTEPROBLEM liegt in EXPTIME.

Anmerkung: Dask-Schritt-HALTEPROBLEM ist EXPTIME-vollst¨andig.

(61)

PSPACE und EXPTIME

Wir haben gezeigt:

P⊆NP⊆PSPACE⊆EXPTIME

Es ist nicht bekannt, welche dieser Inklusionen strikt sind.

M¨oglicherweise gilt P=PSPACE oder NP=EXPTIME.

Wir wissen allerdings, dass P6=EXPTIME gilt.

(Das folgt aus dem so-genanntenZeithierarchiesatz.)

(62)

EXPTIME

PSPACE

NP

NPC

P