NP -vollst¨andigerProbleme Komplexit¨atstheorieTeilII:EineAuswahl FormaleSprachenundKomplexit¨at

Formale Sprachen und Komplexit¨ at

Sommersemester 2019

Komplexit¨ atstheorie Teil II: Eine Auswahl N P -vollst¨ andiger Probleme

Prof. Dr. David Sabel

LFE Theoretische Informatik

Inhalt

Auswahl an N P -vollst¨ andigen Problemen

N P -Vollst¨ andigkeitsbeweise durch polynomielle Reduktionen

und zeigen, dass das Problem in N P ist

3-CNF-SAT

Konjunktive Normalform

Aussagenlog. Formel F ist in konjunktiver Normalform (CNF), wenn:

F =

m

^

i=1

(

ni

_

j=1

L

)

Literal L

ist aussagenlogische Variable oder deren Negation (

ni

W

j=1

L

) ist eine Klausel

Erf¨ ullende Belegung muss ≥ 1 Literal pro Klausel wahr machen.

Klauselmengenschreibweise: {{L

, . . . , L

}, . . . , {L

, . . . , L

}}

Annahme: Keine Klauseln, die x und ¬x enthalten

Diese Klauseln sind immer wahr und k¨ onnen gel¨ oscht werden.

Konjunktive Normalform

Jede aussagenlogische Formel kann in eine

konjunktive Normalform gebracht werden:

⇐⇒ , = ⇒ aufl¨ osen

Negationen nach innen schieben und anschließend

Ausmultiplizieren (Distributivit¨ at, Kommutativit¨ at anwenden, um konjunktive Normalform herzustellen)

Aber:

Algorithmus hat im worst case

Algorithmus kann daher

f¨ ur eine

Polynomialzeitreduktion verwendet werden.

3-CNF-SAT

Definition (3-CNF-SAT)

Das 3-CNF-SAT-Problem l¨ asst sich in der gegeben/gefragt-Notation formulieren als:

gegeben: Eine aussagenlogische Formel F in konjunktiver Normal- form, sodass jede Klausel h¨ ochstens 3 Literale enth¨ alt.

gefragt: Ist F erf¨ ullbar? Genauer: Gibt es eine erf¨ ullende Belegung

der Variablen mit den Wahrheitswerten 0 und 1, sodass F

den Wert 1 erh¨ alt?

N P -Vollst¨ andigkeit von 3-CNF-SAT

Satz

3-CNF-SAT ist N P-vollst¨ andig.

Beweis, Teil 1: 3-CNF-SAT ist in

Rate nicht-deterministisch eine Belegung der Variablen Pr¨ ufe deterministisch, ob die Belegung die 3-CNF wahr macht. Akzeptiere in diesem Fall. Dies geht in Polynomialzeit in der Gr¨ oße der 3-CNF.

Daher kann 3-CNF-SAT auf einer NTM in Polynomialzeit

entschieden werden.

N P -Vollst¨ andigkeit von 3-CNF-SAT (2)

Beweis, Teil 2: 3-CNF-SAT ist

Wir zeigen SAT ≤

3-CNF-SAT.

Gesucht: Polynomiell berechenbare, totale Funktion f , sodass F erf¨ ullbar g.d.w. 3-CNF f (F ) erf¨ ullbar.

f muss

Verfahren, um F in erf¨ ullbarkeits¨ aquivalente 3-CNF f(F) umzuformen, sodass f(F )

in |F | hat:

Tseitin-Transformation

N P -Vollst¨ andigkeit von 3-CNF-SAT (2)

Beweis, Teil 2: 3-CNF-SAT ist

Wir zeigen SAT ≤

3-CNF-SAT.

Gesucht: Polynomiell berechenbare, totale Funktion f , sodass F erf¨ ullbar g.d.w. 3-CNF f (F ) erf¨ ullbar.

f muss

Verfahren, um F in erf¨ ullbarkeits¨ aquivalente 3-CNF f (F) umzuformen, sodass f(F)

in |F | hat:

Tseitin-Transformation

N P -Vollst¨ andigkeit von 3-CNF-SAT (3)

Tseitin-Transformation:

Schiebe alle Negationen nach innen vor die Literale, dabei werden die Regeln ¬¬F → F , ¬(F ∧ G) → ¬F ∨ ¬G,

¬(F ∨ G) → ¬F ∧ ¬G, ¬(F ⇐⇒ G) → (¬F ) ⇐⇒ G und

¬(F = ⇒ G) → F ∧ ¬G angewendet.

Syntaxbaum der Formel (Bl¨ atter = Literale):

F¨ ur jeden Nichtblatt-Knoten: neue aussagenlogische Variable pro Gabelung:

⊗ X

L

L

erzeuge

(X ⇐⇒ (L

⊗ L

))

wobei ⊗ ∈ { ⇐⇒ , ∧, ∨, = ⇒ } und L

, L

entweder die neue Variable oder das Literal am Blatt.

Konjugiere diese Formeln zu F

und schließlich erzeuge

W ∧ F

, mit W Variable f¨ ur die Wurzel.

N P -Vollst¨ andigkeit von 3-CNF-SAT (3)

Tseitin-Transformation:

Schiebe alle Negationen nach innen vor die Literale, dabei werden die Regeln ¬¬F → F , ¬(F ∧ G) → ¬F ∨ ¬G,

¬(F ∨ G) → ¬F ∧ ¬G, ¬(F ⇐⇒ G) → (¬F ) ⇐⇒ G und

¬(F = ⇒ G) → F ∧ ¬G angewendet.

Syntaxbaum der Formel (Bl¨ atter = Literale):

F¨ ur jeden Nichtblatt-Knoten: neue aussagenlogische Variable

pro Gabelung:

⊗ X

L

L

erzeuge

(X ⇐⇒ (L

⊗ L

))

wobei ⊗ ∈ { ⇐⇒ , ∧, ∨, = ⇒ } und L

, L

entweder die neue Variable oder das Literal am Blatt.

Konjugiere diese Formeln zu F

und schließlich erzeuge

W ∧ F

, mit W Variable f¨ ur die Wurzel.

N P -Vollst¨ andigkeit von 3-CNF-SAT (3)

Tseitin-Transformation:

Schiebe alle Negationen nach innen vor die Literale, dabei werden die Regeln ¬¬F → F , ¬(F ∧ G) → ¬F ∨ ¬G,

¬(F ∨ G) → ¬F ∧ ¬G, ¬(F ⇐⇒ G) → (¬F ) ⇐⇒ G und

¬(F = ⇒ G) → F ∧ ¬G angewendet.

Syntaxbaum der Formel (Bl¨ atter = Literale):

F¨ ur jeden Nichtblatt-Knoten: neue aussagenlogische Variable pro Gabelung:

⊗ X

L

L

erzeuge

(X ⇐⇒ (L

⊗ L

))

wobei ⊗ ∈ { ⇐⇒ , ∧, ∨, = ⇒ } und L

, L

entweder die neue Variable oder das Literal am Blatt.

Konjugiere diese Formeln zu F

und schließlich erzeuge

W ∧ F

, mit W Variable f¨ ur die Wurzel.

N P -Vollst¨ andigkeit von 3-CNF-SAT (3)

Tseitin-Transformation:

Schiebe alle Negationen nach innen vor die Literale, dabei werden die Regeln ¬¬F → F , ¬(F ∧ G) → ¬F ∨ ¬G,

¬(F ∨ G) → ¬F ∧ ¬G, ¬(F ⇐⇒ G) → (¬F ) ⇐⇒ G und

¬(F = ⇒ G) → F ∧ ¬G angewendet.

Syntaxbaum der Formel (Bl¨ atter = Literale):

F¨ ur jeden Nichtblatt-Knoten: neue aussagenlogische Variable pro Gabelung:

⊗ X

L

L

erzeuge

(X ⇐⇒ (L

⊗ L

))

wobei ⊗ ∈ { ⇐⇒ , ∧, ∨, = ⇒ } und L

, L

entweder die neue Variable oder das Literal am Blatt.

Konjugiere diese Formeln zu F

und schließlich erzeuge

W ∧ F

, mit W Variable f¨ ur die Wurzel.

N P -Vollst¨ andigkeit von 3-CNF-SAT (3)

Tseitin-Transformation (Fortsetzung) Insgesamt: W ∧

i,j,k

(X

⇐⇒ (X

⊗

X

)), wobei X

Literale sind.

Berechne f¨ ur jede Subformel (X

⇐⇒ (X

⊗

X

)) die CNF mit dem ¨ ublichen Algorithmus.

L¨ osche doppelte Vorkommen von Literalen.

Ergibt 3-CNF, da pro Klausel nur 3 verschiedene Variablen

vorkommen k¨ onnen.

N P -Vollst¨ andigkeit von 3-CNF-SAT (4)

Komplexit¨ at:

Gr¨ oße der kleinen CNFs ist konstant.

Jede Klausel hat nur 3 Literale: Mehr Variablen gibt es in den kleinen Formeln nicht, doppelte Literale l¨ oschen

Gr¨ oße der 3-CNF ist polynomiell in der urspr¨ unglichen Formel

Berechnung in Polynomialzeit: klar!

N P -Vollst¨ andigkeit von 3-CNF-SAT (5)

F erf¨ ullbar g.d.w. f(F ) erf¨ ullbar:

” ⇒“: Sei I Belegung mit I (F ) = 1. Sei I

Belegung mit

I⁰(X) =I⁰(L₁⊗L₂)f¨ur

⊗X

L1 L2

Dann gilt: I

(f (F )) = 1

” ⇐“: Sei J Belegung von f (F ) mit J (f (F )) = 1 Dann: I = J

macht F wahr.

Damit: SAT ≤

3-CNF-SAT.

Da SAT N P-hart, ist somit auch 3-CNF-SAT N P-hart.

N P -Vollst¨ andigkeit von 3-CNF-SAT (5)

F erf¨ ullbar g.d.w. f(F ) erf¨ ullbar:

” ⇒“: Sei I Belegung mit I (F ) = 1. Sei I

Belegung mit

I⁰(X) =I⁰(L₁⊗L₂)f¨ur

⊗X

L1 L2

Dann gilt: I

(f (F )) = 1

” ⇐“: Sei J Belegung von f (F ) mit J (f (F )) = 1 Dann: I = J

macht F wahr.

Damit: SAT ≤

3-CNF-SAT.

Da SAT N P-hart, ist somit auch 3-CNF-SAT N P-hart.

N P -Vollst¨ andigkeit von 3-CNF-SAT (5)

F erf¨ ullbar g.d.w. f(F ) erf¨ ullbar:

” ⇒“: Sei I Belegung mit I (F ) = 1. Sei I

Belegung mit

I⁰(X) =I⁰(L₁⊗L₂)f¨ur

⊗X

L1 L2

Dann gilt: I

(f (F )) = 1

” ⇐“: Sei J Belegung von f (F ) mit J (f (F )) = 1 Dann: I = J

macht F wahr.

Damit: SAT ≤

3-CNF-SAT.

Da SAT N P-hart, ist somit auch 3-CNF-SAT N P-hart.

Beispiel

F = ¬(¬(x

= ⇒ ¬x

) ∨ x

) Negationen nach innen schieben:

¬(¬(x

= ⇒ ¬x

) ∨ x

)

→ (¬(¬(x

= ⇒ ¬x

)) ∧ ¬x

)

→ (x

= ⇒ ¬x

) ∧ ¬x

) Syntaxbaum dazu:

W X

∧

= ⇒ ¬x

x

¬x

Formel: W ∧ (W ⇐⇒ (X ∧ ¬x

)) ∧ (X ⇐⇒ (x

= ⇒ ¬x

))

Beispiel

F = ¬(¬(x

= ⇒ ¬x

) ∨ x

) Negationen nach innen schieben:

¬(¬(x

= ⇒ ¬x

) ∨ x

)

→ (¬(¬(x

= ⇒ ¬x

)) ∧ ¬x

)

→ (x

= ⇒ ¬x

) ∧ ¬x

) Syntaxbaum dazu:

W X

∧

= ⇒ ¬x

x

¬x

Formel: W ∧ (W ⇐⇒ (X ∧ ¬x

)) ∧ (X ⇐⇒ (x

= ⇒ ¬x

))

Beispiel

F = ¬(¬(x

= ⇒ ¬x

) ∨ x

) Negationen nach innen schieben:

¬(¬(x

= ⇒ ¬x

) ∨ x

)

→ (¬(¬(x

= ⇒ ¬x

)) ∧ ¬x

)

→ (x

= ⇒ ¬x

) ∧ ¬x

) Syntaxbaum dazu:

W X

∧

= ⇒ ¬x

x

¬x

Formel: W ∧ (W ⇐⇒ (X ∧ ¬x

)) ∧ (X ⇐⇒ (x

= ⇒ ¬x

))

Beispiel (2)

Berechnung der CNFs der kleinen Subformeln:

W∧(W ⇐⇒ (X∧ ¬x2))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨ ¬(X∧ ¬x2))∧(¬W∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨(¬X∨x2))∧(¬W∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨(x3 =⇒ ¬x1))∧(X∨ ¬(x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨ ¬(¬x3∨ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨(x3∧x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨x3)∧(X∨x1)

Erf¨ ullende Belegung J :

J(W ) = 1, J(X) = 1, J (x

) = 0, J(x

) = 0, J(x

) = 1 Belegung I:

I(x

) = 0, I (x

) = 0, I(x

) = 1 erf¨ ullt F = ¬(¬(x

= ⇒ ¬x

) ∨ x

)

Beispiel (2)

Berechnung der CNFs der kleinen Subformeln:

W∧(W ⇐⇒ (X∧ ¬x2))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨ ¬(X∧ ¬x2))∧(¬W ∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨(¬X∨x2))∧(¬W∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨(x3 =⇒ ¬x1))∧(X∨ ¬(x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨ ¬(¬x3∨ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨(x3∧x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨x3)∧(X∨x1)

Erf¨ ullende Belegung J :

J(W ) = 1, J(X) = 1, J (x

) = 0, J(x

) = 0, J(x

) = 1 Belegung I:

I(x

) = 0, I (x

) = 0, I(x

) = 1 erf¨ ullt F = ¬(¬(x

= ⇒ ¬x

) ∨ x

)

Beispiel (2)

Berechnung der CNFs der kleinen Subformeln:

W∧(W ⇐⇒ (X∧ ¬x2))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨ ¬(X∧ ¬x2))∧(¬W ∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨(¬X∨x2))∧(¬W∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨(x3 =⇒ ¬x1))∧(X∨ ¬(x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨ ¬(¬x3∨ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨(x3∧x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨x3)∧(X∨x1)

Erf¨ ullende Belegung J :

J(W ) = 1, J(X) = 1, J (x

) = 0, J(x

) = 0, J(x

) = 1 Belegung I:

I(x

) = 0, I (x

) = 0, I(x

) = 1 erf¨ ullt F = ¬(¬(x

= ⇒ ¬x

) ∨ x

)

Beispiel (2)

Berechnung der CNFs der kleinen Subformeln:

W∧(W ⇐⇒ (X∧ ¬x2))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨ ¬(X∧ ¬x2))∧(¬W ∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨(¬X∨x2))∧(¬W∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨(x3 =⇒ ¬x1))∧(X∨ ¬(x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨ ¬(¬x3∨ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨(x3∧x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨x3)∧(X∨x1)

Erf¨ ullende Belegung J :

J(W ) = 1, J(X) = 1, J (x

) = 0, J(x

) = 0, J(x

) = 1 Belegung I:

I(x

) = 0, I (x

) = 0, I(x

) = 1 erf¨ ullt F = ¬(¬(x

= ⇒ ¬x

) ∨ x

)

Beispiel (2)

Berechnung der CNFs der kleinen Subformeln:

W∧(W ⇐⇒ (X∧ ¬x2))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨ ¬(X∧ ¬x2))∧(¬W ∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨(¬X∨x2))∧(¬W∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨(x3 =⇒ ¬x1))∧(X∨ ¬(x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨ ¬(¬x3∨ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨(x3∧x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨x3)∧(X∨x1)

Erf¨ ullende Belegung J :

J(W ) = 1, J(X) = 1, J (x

) = 0, J(x

) = 0, J(x

) = 1 Belegung I:

I(x

) = 0, I (x

) = 0, I(x

) = 1 erf¨ ullt F = ¬(¬(x

= ⇒ ¬x

) ∨ x

)

Beispiel (2)

Berechnung der CNFs der kleinen Subformeln:

W∧(W ⇐⇒ (X∧ ¬x2))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨ ¬(X∧ ¬x2))∧(¬W ∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨(¬X∨x2))∧(¬W∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨(x3 =⇒ ¬x1))∧(X∨ ¬(x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨ ¬(¬x3∨ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨(x3∧x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨x3)∧(X∨x1)

Erf¨ ullende Belegung J :

J(W ) = 1, J(X) = 1, J (x

) = 0, J(x

) = 0, J(x

) = 1 Belegung I:

I(x

) = 0, I (x

) = 0, I(x

) = 1 erf¨ ullt F = ¬(¬(x

= ⇒ ¬x

) ∨ x

)

Beispiel (2)

Berechnung der CNFs der kleinen Subformeln:

W∧(W ⇐⇒ (X∧ ¬x2))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨ ¬(X∧ ¬x2))∧(¬W ∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨(¬X∨x2))∧(¬W∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨(x3 =⇒ ¬x1))∧(X∨ ¬(x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨ ¬(¬x3∨ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨(x3∧x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨x3)∧(X∨x1)

Erf¨ ullende Belegung J :

J(W ) = 1, J(X) = 1, J (x

) = 0, J(x

) = 0, J(x

) = 1 Belegung I:

I(x

) = 0, I (x

) = 0, I(x

) = 1 erf¨ ullt F = ¬(¬(x

= ⇒ ¬x

) ∨ x

)

Beispiel (2)

Berechnung der CNFs der kleinen Subformeln:

W∧(W ⇐⇒ (X∧ ¬x2))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨ ¬(X∧ ¬x2))∧(¬W ∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨(¬X∨x2))∧(¬W∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨(x3 =⇒ ¬x1))∧(X∨ ¬(x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨ ¬(¬x3∨ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨(x3∧x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨x3)∧(X∨x1)

Erf¨ ullende Belegung J :

J(W ) = 1, J(X) = 1, J (x

) = 0, J(x

) = 0, J(x

) = 1 Belegung I:

I(x

) = 0, I (x

) = 0, I(x

) = 1 erf¨ ullt F = ¬(¬(x

= ⇒ ¬x

) ∨ x

)

Beispiel (2)

Berechnung der CNFs der kleinen Subformeln:

W∧(W ⇐⇒ (X∧ ¬x2))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨ ¬(X∧ ¬x2))∧(¬W ∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨(¬X∨x2))∧(¬W∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨(x3 =⇒ ¬x1))∧(X∨ ¬(x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨ ¬(¬x3∨ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨(x3∧x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨x3)∧(X∨x1)

Erf¨ ullende Belegung J :

J(W ) = 1, J(X) = 1, J (x

) = 0, J(x

) = 0, J(x

) = 1

Belegung I:

I(x

) = 0, I (x

) = 0, I(x

) = 1 erf¨ ullt F = ¬(¬(x

= ⇒ ¬x

) ∨ x

)

Beispiel (2)

Berechnung der CNFs der kleinen Subformeln:

W∧(W ⇐⇒ (X∧ ¬x2))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨ ¬(X∧ ¬x2))∧(¬W ∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧((W∨(¬X∨x2))∧(¬W∨(X∧ ¬x2)))∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)∧(X ⇐⇒ (x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨(x3 =⇒ ¬x1))∧(X∨ ¬(x3 =⇒ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨ ¬(¬x3∨ ¬x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨(x3∧x1))

→W∧(W∨ ¬X)∧(W∨x2)∧(¬W∨X)∧(¬W∨ ¬x2)

∧(¬X∨ ¬x3∨ ¬x1)∧(X∨x3)∧(X∨x1)

Erf¨ ullende Belegung J :

J(W ) = 1, J(X) = 1, J (x

) = 0, J(x

) = 0, J(x

) = 1 Belegung I:

I(x

) = 0, I (x

) = 0, I(x

) = 1 erf¨ ullt F = ¬(¬(x

= ⇒ ¬x

) ∨ x

)

Cliquen in Graphen

Definition

F¨ ur einen ungerichteten Graph G = (V, E) ist eine

eine Menge V

⊆ V , sodass |V

| = k und f¨ ur alle u, v ∈ V

mit u 6= v gilt: {u, v} ∈ E.

Beispiel:

1

2 3

4

1

2 3

4

5 6

7 8

9

Clique der Gr¨ oße 4

Cliquen in Graphen

Definition

F¨ ur einen ungerichteten Graph G = (V, E) ist eine

eine Menge V

⊆ V , sodass |V

| = k und f¨ ur alle u, v ∈ V

mit u 6= v gilt: {u, v} ∈ E.

Beispiel:

1

2 3

4

1

2 3

4

5 6

7 8

9

Clique der Gr¨ oße 4

Cliquen in Graphen

Definition

F¨ ur einen ungerichteten Graph G = (V, E) ist eine

eine Menge V

⊆ V , sodass |V

| = k und f¨ ur alle u, v ∈ V

mit u 6= v gilt: {u, v} ∈ E.

Beispiel:

1

2 3

4 1

2 3

4

5 6

7 8

9

Clique der Gr¨ oße 4

CLIQUE-Problem

Definition (CLIQUE-Problem)

Das CLIQUE-Problem l¨ asst sich in der gegeben/gefragt-Notation formulieren durch:

gegeben: Ein ungerichteter Graph G = (V, E) und eine Zahl k ∈

.

gefragt: Besitzt G eine Clique der Gr¨ oße mindestens k?

N P -Vollst¨ andigkeit von CLIQUE (1)

Satz

CLIQUE ist N P -vollst¨ andig.

Beweis: CLIQUE

Rate nichtdeterministisch eine Menge V

⊆ V von k Knoten Pr¨ ufe (deterministisch), ob f¨ ur alle u, v ∈ V

:

u 6= v = ⇒ {u, v} ∈ E gilt. Falls ja, akzeptiere.

Daher kann eine NTM konstruiert werden, die CLIQUE in

Polynomialzeit entscheidet.

N P -Vollst¨ andigkeit von CLIQUE (1)

Satz

CLIQUE ist N P -vollst¨ andig.

Beweis: CLIQUE

Rate nichtdeterministisch eine Menge V

⊆ V von k Knoten Pr¨ ufe (deterministisch), ob f¨ ur alle u, v ∈ V

:

u 6= v = ⇒ {u, v} ∈ E gilt. Falls ja, akzeptiere.

Daher kann eine NTM konstruiert werden, die CLIQUE in

Polynomialzeit entscheidet.

N P -Vollst¨ andigkeit von CLIQUE (2)

Beweis: CLIQUE ist

Ziel: 3-CNF-SAT ≤

CLIQUE

Sei F = K

∧ . . . ∧ K

eine 3-CNF, wobei K

= (L

∨ L

∨ L

) f¨ ur i = 1, . . . , m (falls K

< 3 Literale hat, verdopple Literale)

F¨ ur jedes L

erzeuge: Knoten (i, j) im Graphen, d.h. V =

i=1

{(i, 1), (i, 2), (i, 3)}

Keine

Kante innerhalb der drei Knoten {(i, 1), (i, 2), (i, 3)}

Kanten zwischen

” verschiedenen Klauseln“:

E ⊆ {{(i, j), (i

, j

)} | i 6= i

∧ i, i

∈ {1, . . . , m} ∧ j, j

∈ {1, 2, 3}}

E als maximale Menge, sodass sich

(d.h. L

6= L

mit L negiertes Literal zu L: x = ¬x und ¬x = x).

E := {{(i, j), (i

, j

)} | i 6= i

∧i, i

∈ {1, . . . , m}∧j, j

∈ {1, 2, 3}, L

6= L

}

f(F) = ((V, E), m) ist in Polynomialzeit berechenbar.

N P -Vollst¨ andigkeit von CLIQUE (2)

Beweis: CLIQUE ist

Ziel: 3-CNF-SAT ≤

CLIQUE

Sei F = K

∧ . . . ∧ K

eine 3-CNF, wobei K

= (L

∨ L

∨ L

) f¨ ur i = 1, . . . , m (falls K

< 3 Literale hat, verdopple Literale)

F¨ ur jedes L

erzeuge: Knoten (i, j) im Graphen, d.h. V =

i=1

{(i, 1), (i, 2), (i, 3)}

Keine

Kante innerhalb der drei Knoten {(i, 1), (i, 2), (i, 3)}

Kanten zwischen

” verschiedenen Klauseln“:

E ⊆ {{(i, j), (i

, j

)} | i 6= i

∧ i, i

∈ {1, . . . , m} ∧ j, j

∈ {1, 2, 3}}

E als maximale Menge, sodass sich

(d.h. L

6= L

mit L negiertes Literal zu L: x = ¬x und ¬x = x).

E := {{(i, j), (i

, j

)} | i 6= i

∧i, i

∈ {1, . . . , m}∧j, j

∈ {1, 2, 3}, L

6= L

}

f (F) = ((V, E), m) ist in Polynomialzeit berechenbar.

N P -Vollst¨ andigkeit von CLIQUE (2)

Beweis: CLIQUE ist

Ziel: 3-CNF-SAT ≤

CLIQUE

Sei F = K

∧ . . . ∧ K

eine 3-CNF, wobei K

= (L

∨ L

∨ L

) f¨ ur i = 1, . . . , m (falls K

< 3 Literale hat, verdopple Literale) F¨ ur jedes L

erzeuge: Knoten (i, j) im Graphen, d.h.

V =

i=1

{(i, 1), (i, 2), (i, 3)}

Keine

Kante innerhalb der drei Knoten {(i, 1), (i, 2), (i, 3)}

Kanten zwischen

” verschiedenen Klauseln“:

E ⊆ {{(i, j), (i

, j

)} | i 6= i

∧ i, i

∈ {1, . . . , m} ∧ j, j

∈ {1, 2, 3}}

E als maximale Menge, sodass sich

(d.h. L

6= L

mit L negiertes Literal zu L: x = ¬x und ¬x = x).

E := {{(i, j), (i

, j

)} | i 6= i

∧i, i

∈ {1, . . . , m}∧j, j

∈ {1, 2, 3}, L

6= L

}

f (F) = ((V, E), m) ist in Polynomialzeit berechenbar.

N P -Vollst¨ andigkeit von CLIQUE (2)

Beweis: CLIQUE ist

Ziel: 3-CNF-SAT ≤

CLIQUE

Sei F = K

∧ . . . ∧ K

eine 3-CNF, wobei K

= (L

∨ L

∨ L

) f¨ ur i = 1, . . . , m (falls K

< 3 Literale hat, verdopple Literale) F¨ ur jedes L

erzeuge: Knoten (i, j) im Graphen, d.h.

V =

i=1

{(i, 1), (i, 2), (i, 3)}

Keine

Kante innerhalb der drei Knoten {(i, 1), (i, 2), (i, 3)}

Kanten zwischen

” verschiedenen Klauseln“:

E ⊆ {{(i, j), (i

, j

)} | i 6= i

∧ i, i

∈ {1, . . . , m} ∧ j, j

∈ {1, 2, 3}}

E als maximale Menge, sodass sich

(d.h. L

6= L

mit L negiertes Literal zu L: x = ¬x und ¬x = x).

E := {{(i, j), (i

, j

)} | i 6= i

∧i, i

∈ {1, . . . , m}∧j, j

∈ {1, 2, 3}, L

6= L

}

f (F) = ((V, E), m) ist in Polynomialzeit berechenbar.

N P -Vollst¨ andigkeit von CLIQUE (2)

Beweis: CLIQUE ist

Ziel: 3-CNF-SAT ≤

CLIQUE

Sei F = K

∧ . . . ∧ K

eine 3-CNF, wobei K

= (L

∨ L

∨ L

) f¨ ur i = 1, . . . , m (falls K

< 3 Literale hat, verdopple Literale) F¨ ur jedes L

erzeuge: Knoten (i, j) im Graphen, d.h.

V =

i=1

{(i, 1), (i, 2), (i, 3)}

Keine

Kante innerhalb der drei Knoten {(i, 1), (i, 2), (i, 3)}

Kanten zwischen

” verschiedenen Klauseln“:

E ⊆ {{(i, j), (i

, j

)} | i 6= i

∧ i, i

∈ {1, . . . , m} ∧ j, j

∈ {1, 2, 3}}

E als maximale Menge, sodass sich

(d.h. L

6= L

mit L negiertes Literal zu L: x = ¬x und ¬x = x).

E := {{(i, j), (i

, j

)} | i 6= i

∧i, i

∈ {1, . . . , m}∧j, j

∈ {1, 2, 3}, L

6= L

}

f (F ) = ((V, E), m) ist in Polynomialzeit berechenbar.

N P -Vollst¨ andigkeit von CLIQUE (2)

Beweis: CLIQUE ist

Ziel: 3-CNF-SAT ≤

CLIQUE

Sei F = K

∧ . . . ∧ K

eine 3-CNF, wobei K

= (L

∨ L

∨ L

) f¨ ur i = 1, . . . , m (falls K

< 3 Literale hat, verdopple Literale) F¨ ur jedes L

erzeuge: Knoten (i, j) im Graphen, d.h.

V =

i=1

{(i, 1), (i, 2), (i, 3)}

Keine

Kante innerhalb der drei Knoten {(i, 1), (i, 2), (i, 3)}

Kanten zwischen

” verschiedenen Klauseln“:

E ⊆ {{(i, j), (i

, j

)} | i 6= i

∧ i, i

∈ {1, . . . , m} ∧ j, j

∈ {1, 2, 3}}

E als maximale Menge, sodass sich

(d.h. L

6= L

mit L negiertes Literal zu L: x = ¬x und ¬x = x).

E := {{(i, j), (i

, j

)} | i 6= i

∧i, i

∈ {1, . . . , m}∧j, j

∈ {1, 2, 3}, L

6= L

}

f (F ) = ((V, E), m) ist in Polynomialzeit berechenbar.

N P -Vollst¨ andigkeit von CLIQUE (2)

Beweis: CLIQUE ist

Ziel: 3-CNF-SAT ≤

CLIQUE

Sei F = K

∧ . . . ∧ K

eine 3-CNF, wobei K

= (L

∨ L

∨ L

) f¨ ur i = 1, . . . , m (falls K

< 3 Literale hat, verdopple Literale) F¨ ur jedes L

erzeuge: Knoten (i, j) im Graphen, d.h.

V =

i=1

{(i, 1), (i, 2), (i, 3)}

Keine

Kante innerhalb der drei Knoten {(i, 1), (i, 2), (i, 3)}

Kanten zwischen

” verschiedenen Klauseln“:

E ⊆ {{(i, j), (i

, j

)} | i 6= i

∧ i, i

∈ {1, . . . , m} ∧ j, j

∈ {1, 2, 3}}

E als maximale Menge, sodass sich

(d.h. L

6= L

mit L negiertes Literal zu L: x = ¬x und ¬x = x).

E := {{(i, j), (i

, j

)} | i 6= i

∧i, i

∈ {1, . . . , m}∧j, j

∈ {1, 2, 3}, L

6= L

}

f (F ) = ((V, E), m) ist in Polynomialzeit berechenbar.

N P -Vollst¨ andigkeit von CLIQUE (2)

Beweis: CLIQUE ist

Ziel: 3-CNF-SAT ≤

CLIQUE

Sei F = K

∧ . . . ∧ K

eine 3-CNF, wobei K

= (L

∨ L

∨ L

) f¨ ur i = 1, . . . , m (falls K

< 3 Literale hat, verdopple Literale) F¨ ur jedes L

erzeuge: Knoten (i, j) im Graphen, d.h.

V =

i=1

{(i, 1), (i, 2), (i, 3)}

Keine

Kante innerhalb der drei Knoten {(i, 1), (i, 2), (i, 3)}

Kanten zwischen

” verschiedenen Klauseln“:

E ⊆ {{(i, j), (i

, j

)} | i 6= i

∧ i, i

∈ {1, . . . , m} ∧ j, j

∈ {1, 2, 3}}

E als maximale Menge, sodass sich

(d.h. L

6= L

mit L negiertes Literal zu L: x = ¬x und ¬x = x).

E := {{(i, j), (i

, j

)} | i 6= i

∧i, i

∈ {1, . . . , m}∧j, j

∈ {1, 2, 3}, L

6= L

}

f (F ) = ((V, E), m) ist in Polynomialzeit berechenbar.

N P -Vollst¨ andigkeit von CLIQUE (3)

Zu Zeigen: F erf¨ ullbar, g.d.w. (V, E) eine Clique der Gr¨ oße mindestens m hat.

” ⇒“

Wenn F erf¨ ullbar ist:

∃ I, sodass in jeder Klausel I (K

) mind 1 Literal wahr. D.h.: L

, . . . , L

mit I (L

) = 1, . . . , I(L

) = 1. Diese k¨ onnen sich paarweise nicht widersprechen

= ⇒ sind im Graphen paarweise miteinander verbunden

Sie formen eine Clique der Gr¨ oße m.

N P -Vollst¨ andigkeit von CLIQUE (3)

Zu Zeigen: F erf¨ ullbar, g.d.w. (V, E) eine Clique der Gr¨ oße mindestens m hat.

” ⇒“

Wenn F erf¨ ullbar ist:

∃ I, sodass in jeder Klausel I (K

) mind 1 Literal wahr.

D.h.: L

, . . . , L

mit I (L

) = 1, . . . , I(L

) = 1.

Diese k¨ onnen sich paarweise nicht widersprechen

= ⇒ sind im Graphen paarweise miteinander verbunden

Sie formen eine Clique der Gr¨ oße m.

N P -Vollst¨ andigkeit von CLIQUE (4)

Zu Zeigen: F erf¨ ullbar, g.d.w. (V, E) eine Clique der Gr¨ oße mindestens m hat.

” ⇐“

(V, E) hat Clique der Gr¨ oße mindestens m.

Dann gibt es Clique V

= {(i

, j

), . . . (i

, j

)},

Da (i, x) und (i, y) nie miteinander verbunden sind, m¨ ussen alle i

, . . . , i

paarweise verschieden sein, also

{i

, . . . , i

} = {1, . . . , m}.

Daher: Die Literale L

, . . . Li

, j

widersprechen sich paarweise nicht

Daher Belegung I mit I (x) = 1 wenn L

= x und I (x) = 0

wenn L

= ¬x und I (y) = 1 f¨ ur alle anderen Variablen

I macht F wahr

Beispiel

Sei F = (x

∨ x

∨ x

) ∧ (¬x

∨ ¬x

∨ ¬x

)

(1,1) (1,2) (1,3)

(2,1) (2,2) (2,3)

Es gibt keine Kanten, da sich (1, i) und (2, j) stets widersprechen.

Beispiel (2)

Sei F = (x

∨ x

∨ x

) ∧ (¬x

∨ ¬x

∨ x

)

(1,1) (1,2) (1,3)

(2,1) (2,2) (2,3)

Jede der Cliquen der Gr¨ oße 2 f¨ uhrt zu erf¨ ullender Belegung, die x

wahr macht.

Beispiel (2)

Sei F = (x

∨ x

∨ ¬x

) ∧ (¬x

∨ x

∨ x

) ∧ (x

∨ ¬x

∨ ¬x

)

(1,1)

(2,2)

(3,3)

(1,1) (1,2) (1,3)

(2,1) (2,2) (2,3)

(3,1) (3,2) (3,3)

Beispiel (2)

Sei F = (x

∨ x

∨ ¬x

) ∧ (¬x

∨ x

∨ x

) ∧ (x

∨ ¬x

∨ ¬x

) (1,1)

(2,2)

(3,3)

(1,1) (1,2) (1,3)

(2,1) (2,2) (2,3)

(3,1) (3,2) (3,3)

Unabh¨ angige Knotenmenge

Definition

F¨ ur einen Graphen G = (V, E) ist V

⊆ V eine unabh¨ angige Knotenmenge (independent set), wenn keine zwei Knoten aus V

¨

uber eine Kante verbunden sind, d.h. u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} 6∈ E.

Beispiel:

5 2

7 8

1

5 7

8

1

5 6

9

1

5 7

9

2

5 7

9

5 2

7 8

1 3 4 6

9

Unabh¨ angige Knotenmenge

Definition

F¨ ur einen Graphen G = (V, E) ist V

⊆ V eine unabh¨ angige Knotenmenge (independent set), wenn keine zwei Knoten aus V

¨

uber eine Kante verbunden sind, d.h. u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} 6∈ E.

Beispiel:

5 2

7 8

1

5 7

8

1

5 6

9

1

5 7

9

2

5 7

9

5 2

7 8

1 3 4 6

9

Unabh¨ angige Knotenmenge

Definition

F¨ ur einen Graphen G = (V, E) ist V

⊆ V eine unabh¨ angige Knotenmenge (independent set), wenn keine zwei Knoten aus V

¨

uber eine Kante verbunden sind, d.h. u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} 6∈ E.

Beispiel:

5 2

7 8

1

5 7

8

1

5 6

9

1

5 7

9

2

5 7

9

5 2

7 8

1 3 4 6

9

Unabh¨ angige Knotenmenge

Definition

F¨ ur einen Graphen G = (V, E) ist V

⊆ V eine unabh¨ angige Knotenmenge (independent set), wenn keine zwei Knoten aus V

¨

uber eine Kante verbunden sind, d.h. u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} 6∈ E.

Beispiel:

5 2

7 8

1

5 7

8

1

5 6

9

1

5 7

9

2

5 7

9

5 2

7 8

1 3 4 6

9

Unabh¨ angige Knotenmenge

Definition

F¨ ur einen Graphen G = (V, E) ist V

⊆ V eine unabh¨ angige Knotenmenge (independent set), wenn keine zwei Knoten aus V

¨

uber eine Kante verbunden sind, d.h. u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} 6∈ E.

Beispiel:

5 2

7 8

1

5 7

8

1

5 6

9

1

5 7

9

2

5 7

9

5 2

7 8

1 3 4 6

9

Unabh¨ angige Knotenmenge

Definition

F¨ ur einen Graphen G = (V, E) ist V

⊆ V eine unabh¨ angige Knotenmenge (independent set), wenn keine zwei Knoten aus V

¨

uber eine Kante verbunden sind, d.h. u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} 6∈ E.

Beispiel:

5 2

7 8

1

5 7

8

1

5 6

9

1

5 7

9

2

5 7

9

5 2

7 8

1 3 4 6

9

Unabh¨ angige Knotenmenge

Definition

F¨ ur einen Graphen G = (V, E) ist V

⊆ V eine unabh¨ angige Knotenmenge (independent set), wenn keine zwei Knoten aus V

¨

uber eine Kante verbunden sind, d.h. u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} 6∈ E.

Beispiel:

5 2

7 8

1

5 7

8

1

5 6

9

1

5 7

9

2

5 7

9

5 2

7 8

1 3 4 6

9

Komplementgraph

F¨ ur Graph G = (V, E) ist der Komplementgraph zu G, der Graph G = (V, E) mit E = {{u, v} | u, v ∈ V, u 6= v, {u, v} 6∈ E}

Lemma

F¨ ur jeden ungerichteten Graph G gilt: G hat eine unabh¨ angige Knotenmenge der Gr¨ oße k genau dann, wenn G eine Clique der Gr¨ oße k hat.

Beweis:

V

ist unabh¨ angige Knotenmenge der Gr¨ oße k

g.d.w. V

⊆ V mit u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} 6∈ E und |V

| = k g.d.w. u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} ∈ E

g.d.w. V

ist eine Clique der Gr¨ oße k in G

Komplementgraph

F¨ ur Graph G = (V, E) ist der Komplementgraph zu G, der Graph G = (V, E) mit E = {{u, v} | u, v ∈ V, u 6= v, {u, v} 6∈ E}

Lemma

F¨ ur jeden ungerichteten Graph G gilt: G hat eine unabh¨ angige Knotenmenge der Gr¨ oße k genau dann, wenn G eine Clique der Gr¨ oße k hat.

Beweis:

V

ist unabh¨ angige Knotenmenge der Gr¨ oße k

g.d.w. V

⊆ V mit u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} 6∈ E und |V

| = k g.d.w. u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} ∈ E

g.d.w. V

ist eine Clique der Gr¨ oße k in G

Komplementgraph

F¨ ur Graph G = (V, E) ist der Komplementgraph zu G, der Graph G = (V, E) mit E = {{u, v} | u, v ∈ V, u 6= v, {u, v} 6∈ E}

Lemma

F¨ ur jeden ungerichteten Graph G gilt: G hat eine unabh¨ angige Knotenmenge der Gr¨ oße k genau dann, wenn G eine Clique der Gr¨ oße k hat.

Beweis:

V

ist unabh¨ angige Knotenmenge der Gr¨ oße k

g.d.w. V

⊆ V mit u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} 6∈ E und |V

| = k g.d.w. u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} ∈ E

g.d.w. V

ist eine Clique der Gr¨ oße k in G

Komplementgraph

F¨ ur Graph G = (V, E) ist der Komplementgraph zu G, der Graph G = (V, E) mit E = {{u, v} | u, v ∈ V, u 6= v, {u, v} 6∈ E}

Lemma

F¨ ur jeden ungerichteten Graph G gilt: G hat eine unabh¨ angige Knotenmenge der Gr¨ oße k genau dann, wenn G eine Clique der Gr¨ oße k hat.

Beweis:

V

ist unabh¨ angige Knotenmenge der Gr¨ oße k g.d.w. V

⊆ V mit u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} 6∈ E und |V

| = k

g.d.w. u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} ∈ E

g.d.w. V

ist eine Clique der Gr¨ oße k in G

Komplementgraph

F¨ ur Graph G = (V, E) ist der Komplementgraph zu G, der Graph G = (V, E) mit E = {{u, v} | u, v ∈ V, u 6= v, {u, v} 6∈ E}

Lemma

F¨ ur jeden ungerichteten Graph G gilt: G hat eine unabh¨ angige Knotenmenge der Gr¨ oße k genau dann, wenn G eine Clique der Gr¨ oße k hat.

Beweis:

V

ist unabh¨ angige Knotenmenge der Gr¨ oße k g.d.w. V

⊆ V mit u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} 6∈ E und |V

| = k g.d.w. u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} ∈ E

g.d.w. V

ist eine Clique der Gr¨ oße k in G

Komplementgraph

F¨ ur Graph G = (V, E) ist der Komplementgraph zu G, der Graph G = (V, E) mit E = {{u, v} | u, v ∈ V, u 6= v, {u, v} 6∈ E}

Lemma

F¨ ur jeden ungerichteten Graph G gilt: G hat eine unabh¨ angige Knotenmenge der Gr¨ oße k genau dann, wenn G eine Clique der Gr¨ oße k hat.

Beweis:

V

ist unabh¨ angige Knotenmenge der Gr¨ oße k g.d.w. V

⊆ V mit u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} 6∈ E und |V

| = k g.d.w. u, v ∈ V

= ⇒ {u, v} ∈ E

g.d.w. V

ist eine Clique der Gr¨ oße k in G

Beispiel

1

2 3

4

5 6

7 8

9

Komplementgraph dazu: 1

2 3

4

5 6

7 8

9

INDEPENDENT-SET Problem

Definition (INDEPENDENT-SET-Problem)

Das INDEPENDENT-SET-Problem l¨ asst sich in der gegeben/gefragt-Notation formulieren durch:

gegeben: Ein ungerichteter Graph G = (V, E) und eine Zahl k ∈

. gefragt: Besitzt G eine unabh¨ angige Knotenmenge der Gr¨ oße min-

destens k?

N P -Vollst¨ andigkeit von INDEPENDENT-SET

Satz

INDEPENDENT-SET ist N P-vollst¨ andig.

Beweis, Teil 1: INDEPENDENT-SET

Rate nichtdeterministisch Menge V

von k Knoten.

Verifiziere deterministisch, ob f¨ ur jedes Paar {u, v} ∈ V

gilt:

{u, v} 6∈ E. Dies geht in Polynomialzeit.

Daher kann INDEPENDENT-SET in Polynomialzeit auf einer

NTM entschieden werden.

N P -Vollst¨ andigkeit von INDEPENDENT-SET (2)

INDEPENDENT-SET ist N P-hart.

Sei f ((V, E, m)) = (V, E, m) mit E = {{u, v} | u, v ∈ V, {u, v} 6∈ E}.

Dann gilt:

(V, E) hat eine CLIQUE der Gr¨ oße mindestens k g.d.w.

(V, E) hat ein INDEPENDENT-SET der Gr¨ oße mindestens k.

Funktion f kann in Polynomialzeit berechnet werden.

Daher: CLIQUE ≤

INDEPENDENT-SET Da CLIQUE N P-hart, folgt

INDEPENDENT-SET ist N P-hart.