NP -Vollst¨andigkeit,SatzvonCook P und NP , Komplexit¨atstheorie,TeilI:Laufzeitkomplexit¨at, FormaleSprachenundKomplexit¨at Inhalt Komplexit¨atstheorie Komplexit¨atstheorie:Teilbereiche

Formale Sprachen und Komplexit¨ at

Sommersemester 2019

Komplexit¨ atstheorie, Teil I:

Laufzeitkomplexit¨ at, P und N P , N P -Vollst¨ andigkeit, Satz von Cook

Prof. Dr. David Sabel

LFE Theoretische Informatik

Letzte ¨Anderung der Folien: 17. Juli 2019

Inhalt

Einleitung: Was ist Komplexit¨ atstheorie?

Zeitkomplexit¨ at

Komplexit¨ atsklassen P und N P Das P -vs-N P -Problem

Polynomielle Reduktionen und N P -Vollst¨ andigkeit Satz von Cook: N P -Vollst¨ andigkeit von SAT

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Komplexit¨ atstheorie

Teilgebiet der Theoretischen Informatik

Grobes Thema: Komplexit¨ at von entscheidbaren Problemen Maße zum Messen des Ressourcenbedarfs von Algorithmen

Rechenzeit Platzbedarf . . .

Komplexit¨ at eines Problems = Komplexit¨ at des besten Algorithmus bez¨ uglich des Maßes

Ziel: Einordnung von Problemen in Komplexit¨ atsklassen

Komplexit¨ atstheorie: Teilbereiche

1

Nachweis von oberen Schranken:

Finde m¨ oglichst guten Algorithmus f¨ ur konkretes Problem Analysieren der Laufzeit- und Platzkomplexit¨ at

z.B. CYK-Algorithmus liefert obere Schranke O(|P | · n ³ ) f¨ ur das Wortproblem f¨ ur CFGs (mit n = Wortl¨ ange, P Produktionen der CFG)

2

Nachweis von unteren Schranken:

Zeige, dass es keinen besseren Algorithmus gibt.

Schwieriger, da man ¨ uber alle Algorithmen argumentieren muss.

Oft ist Ω(n) (n = Gr¨ oße der Eingabe) eine untere Schranke f¨ ur die Laufzeit, da man die Eingabe lesen muss.

3

Auswirkung der Maschinenmodelle auf den Ressourcenbedarf, insbesondere Determinismus vs. Nichtdeterminismus

Wichtige ungel¨ oste Frage: Das P vs. N P -Problem

Wir besch¨ aftigen uns in diesem Abschnitt hiermit.

Zeitkomplexit¨ at: Annahmen und Festlegungen

Wir betrachten nur entscheidbare Sprachen

Deswegen keine Einschr¨ ankung: TMs, die auf jeder Eingabe anhalten:

DTMs: Wir nehmen an, dass es

” Verwerfe“-Zust¨ ande gibt, f¨ ur die die TM keine Nachfolgekonfiguration besitzen.

NTMs: Haben solche Zust¨ ande von Haus aus Mehrband- vs. Einband-TMs:

Wir nehmen Mehrband-TMs, passen zu

” normalen“ Rechnern.

Kein ” Vergeuden“ von Rechenzeit, nur um die Eingaben zu suchen.

Unterschied: n-Schritte auf Mehrband-TM k¨ onnen in

O(n ² ) Schritten auf Einband-TM ausgef¨ uhrt werden Unterschied macht sich in Komplexit¨ atsklassen P und N P nicht bemerkbar (s. sp¨ ater)

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Deterministische Laufzeit

Definition (time _M )

Sei M eine stets anhaltende DTM mit Startzustand z ₀ . F¨ ur Eingabe w definieren wir

time _M (w) := i, wenn z ₀ w ` ⁱ _M uzw und

z ist Endzustand oder Verwerfe-Zustand.

Definition (Klasse TIME (f(n)))

F¨ ur eine Funktion f : N → N sei die Klasse TIME (f(n)) genau die Menge der Sprachen, f¨ ur die es eine deterministische, stets anhaltende, Mehrband-TM M gibt, mit L(M ) = L und time _M (w) ≤ f (|w|) f¨ ur alle w ∈ Σ ^∗

Sprache ist daher in TIME (f (n)), wenn sie von einer DTM f¨ ur jede Eingabe der L¨ ange n in ≤ f(n) Schritten entschieden wird.

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Die Klasse P

Definition (Polynom)

Ein Polynom ist eine Funktion p : N → N der Form:

p(n) =

k

X

i=0

a _i · n ⁱ = a _k n ^k + a _k−1 n ^k−1 + · · · + a ₁ n + a ₀

mit a _i ∈ N und k ∈ N .

Definition (Komplexit¨ atsklasse P ) Die Klasse P ist definiert als

P = [

p Polynom

TIME (p(n))

Nochmal: Zugeh¨ origkeit zu P

Formale Sprache L ist in Klasse P enthalten, wenn:

Es gibt stets anhaltende DTM M und ein Polynom p mit:

L = L(M)

∀w ∈ Σ ^∗ : time _M (w) ≤ p(|w|)

Polynomielle Komplexit¨ at

Nachweis der polynomiellen Komplexit¨ at:

Zeige, dass die Komplexit¨ at O(n ^k ) f¨ ur Konstante k ist.

Beispiele: Algorithmus mit Laufzeit

n log n hat polynomielle Komplexit¨ at, da n log n ∈ O(n ² ) 2 ⁿ hat keine polynomielle Komplexit¨ at

n ^{log n} hat keine polynomielle Komplexit¨ at Sprechweisen:

Algorithmus ist effizient = Algorithmus hat polynomielle Komplexit¨ at

Analog: Problem ist effizient l¨ osbar = Problem in P

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Polynomielle Komplexit¨ at: Andere Modelle

Sei M eine DTM mit time _M (w) ≤ f (|w|).

Analyse unserer ¨ Aquivalenzbeweise zeigt:

TMs k¨ onnen durch GOTO-Programme simuliert werden, konstant viele Schritte, um einen TM-Schritt zu simulieren GOTO in WHILE: Anzahl der Durchl¨ aufe durch die einzige WHILE-Schleife nicht gr¨ oßer als f (|w|)

WHILE evtl. sogar durch LOOP:

y := f (|w|); LOOP y DO . . . END, wenn f LOOP-berechenbar

Wenn f selbst LOOP-berechenbar ist, dann sind auch Funktionen mit Laufzeitkomplexit¨ at f(n) LOOP-berechenbar.

Daher TIME (2 ⁿ ) oder sogar TIME (2 ²

...2

| {z }

n-mal

) noch in der Klasse der LOOP-berechenbaren Funktionen.

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Kostenmaße

Konsequenz der vorherigen Aussagen:

I.a. asymptotisch kein Unterschied, ob Turingmaschine, WHILE-Programm oder GOTO-Programm

Vorsicht: Falle!

In x _i := x _j d¨ urfen die Zahlen nicht zu groß werden (bei uniformen Kostenmaß)

Uniformes Kostenmaß:

Ausf¨ uhrung von x _i := x _j in konstanter Zeit (1 Schritt) Logarithmisches Kostenmaß:

Ausf¨ uhrung von x _i := x _j in Anzahl der Bits (| log x _j |-Schritte) Turingmaschine muss so viele Bits kopieren!

Daher bei großen Zahlen logarithmisches Kostenmaß verwenden.

Beispiel

WHILE-Programm

x ₀ := 2;

WHILE x ₁ 6= 0 DO x ₀ := x ₀ ∗ x ₀ ; x ₁ := x ₁ − 1;

END

berechnet 2 ²

in x ₀ .

Uniformes Kostenmaß: Laufzeit O(x ₁ )

Turingmaschine: mindestens 2 ^x

Schritte alleine um das Ergebnis auf das Band zu schreiben.

Hier also: Logarithmisches Kostenmaß verwenden!

Unser Vorgehen: logarithmisches Kostenmaß wenn notwendig,

sonst uniformes Kostenmaß

Nichtdeterminismus

Auf f¨ ur NTMs nehmen wir an, dass sie auf allen Berechnungspfaden anhalten.

Beachte: Ein Wort wird nicht akzeptiert, wenn auf allen Berechnungspfaden verworfen wird

Definition (ntime _M )

Sei M eine Mehrband-NTM, die f¨ ur jede Eingabe anh¨ alt. Dann definieren wir die Laufzeit von M als

ntime _M (w) = max{i | z ₀ w ` <sup>i</sup> <sub>M</sub> uzw und uzw 6` . . .}

Beachte: Sch¨ oning verwendet eine andere Definition (mit

Minimum), es macht f¨ ur die Definition der Klasse N P aber keinen Unterschied.

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NTIME und N P

Definition

F¨ ur eine Funktion f : N → N bezeichne NTIME (f (n)) die Klasse aller Sprachen L, f¨ ur die es eine nichtdeterministische

Mehrband-TM M gibt mit L(M) = L und f¨ ur alle w ∈ Σ ^∗ gilt ntime _M (w) ≤ f (|w|).

Definition

Die Klasse N P ist definiert als N P = [

p Polynom

NTIME (p(n))

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P ⊆ N P

Lemma

Es gilt TIME (f (n)) ⊆ NTIME (f (n)) und damit auch P ⊆ N P . Beweis:

DTM als NTM auffassen

ergibt NTM mit einem m¨ oglichen Berechnungspfad.

time _M (w) = ntime _M (w)

L ∈ TIME (f (n)) = ⇒ L ∈ NTIME (f (n)) P ⊆ N P

P -vs.-N P

Die Frage P = N P oder P 6= N P ist ungel¨ ost!

Das P-vs-N P-Problem ist eines der sieben sogenannten

Millennium-Probleme, die vom Clay Mathematics Institute im Jahr

2000 als Liste ungel¨ oster Probleme der Mathematik herausgegeben

wurde und f¨ ur dessen L¨ osung ein Preisgeld von einer Million US

Dollar ausgelobt wurde.

P-vs.-N P (2)

Wesentlicher Grund, der f¨ ur P 6= N P spricht:

Man m¨ usste f¨ ur P = N P einen Polynomialzeitalgorithmus finden, f¨ ur ein Problem, f¨ ur das bisher nur (deterministische) Exponentialzeitalgorithmen bekannt sind. (*)

Viele haben gesucht, keiner hat einen solchen Algorithmus gefunden.

(*) Begr¨ undung: Folgt sp¨ ater

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Lage der Komplexit¨ atsklasse (Schema)

alle Sprachen semi-entscheidbar (Typ 0)

entscheidbare Sprachen LOOP-berechenbar

N P P

Dabei unklar, ob N P = P

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Polynomialzeit-Reduktion

Definition (Polynomialzeit-Reduktion (einer Sprache auf eine andere)) Sei L ₁ ⊆ Σ ^∗ ₁ und L ₂ ⊆ Σ ^∗ ₂ Sprachen. Dann sagen wir L ₁ ist auf L ₂ polynomiell reduzierbar (geschrieben L ₁ ≤ _p L ₂ ), falls es eine totale und in deterministischer Polynomialzeit berechenbare Funktion f : Σ ^∗ ₁ → Σ ^∗ ₂ gibt, sodass f¨ ur alle w ∈ Σ ^∗ ₁ gilt: w ∈ L ₁ ⇐⇒ f (w) ∈ L ₂ .

Analogie zu Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie L ₁ ≤ L ₂ : Zusatz hier: Polynomialzeit!

N¨ achste Analogie:

Berechenbarkeitstheorie: Komplexit¨ atstheorie:

L ₁ ≤ L ₂ und L ₂ (semi-) entscheidbar L ₁ ≤ _p L ₂ und L ₂ ∈ (N )P

= ⇒ L ₁ (semi-) entscheidbar = ⇒ L ₁ ∈ (N )P

Polynomialzeit-Reduktion (Eigenschaften)

Lemma

Falls L ₁ ≤ _p L ₂ und L ₂ ∈ P, dann gilt L ₁ ∈ P. Ebenso gilt: Falls L ₁ ≤ _p L ₂ und L ₂ ∈ N P , dann gilt L ₁ ∈ N P.

Beweis:

Sei L ₁ ≤ _p L ₂ und f in Polynomialzeit berechenbar

Sei M _f die DTM, die f in Polynomialzeit durch p beschr. berechnet.

Sei L ₂ ∈ P, L(M ₂ ) = L ₂ , wobei Schritte von M ₂ ≤ q(|w|) L(M _f ; M ₂ ) = L ₁ , M _f ; M ₂ h¨ alt stets in Polynomialzeit:

|f (w)| ≤ |w| + p(|w|)

(da M _f nicht mehr in p(|w|)-Schritten schreiben kann) M _f ; M ₂ h¨ ochstens r(|w|) := p(|w|) + q(|w| + p(|w|)) Schritte Es gilt L ₁ ∈ P.

F¨ ur N P analog.

Polynomialzeit-Reduktion (Eigenschaften) (2)

Lemma

Die Relation ≤ _p ist transitiv, d.h. wenn L ₁ ≤ _p L ₂ und L ₂ ≤ _p L ₃ , dann gilt auch L ₁ ≤ _p L ₃

Analog zum vorherigen Beweis:

Komposition von zwei Polynomen bleibt Polynom.

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N P -Vollst¨ andigkeit

Definition (N P -Vollst¨ andigkeit)

Eine Sprache L ₀ heißt N P-vollst¨ andig, wenn gilt

1

L ₀ ∈ N P und

2

L ₀ ist N P-hart (manchmal auch N P-schwer genannt):

F¨ ur alle L ∈ N P gilt L ≤ _p L ₀

N P-vollst¨ andige Probleme sind die schwierigsten Probleme in N P:

N P-H¨ arte besagt, dass man mit dem N P-vollst¨ andigen Problem alle anderen Probleme aus N P (in zus¨ atzlicher deterministischer Polynomialzeit) l¨ osen kann

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N P -Vollst¨ andigkeit beweisen

Nachweis der N P-Vollst¨ andigkeit von L

Zugeh¨ origkeit zu N P: Gebe polynomiell Laufzeit-beschr¨ ankte NTM an, die L entscheidet

N P-H¨ arte: Statt jedes mal neu zu beweisen, dass alle Probleme aus N P auf L polynomiell reduzierbar, w¨ ahle ein N P-hartes Problem L ₀ und zeige L ₀ ≤ _p L.

Dann folgt L ist N P -hart:

Da L ₀ N P-hart gilt L ⁰ ≤ _p L ₀ f¨ ur alle L ∈ N P und damit L ⁰ ≤ _p L ₀ ≤ _p L und mit Transitivit¨ at von ≤ _p :

L ⁰ ≤ _p L f¨ ur alle L ⁰ ∈ N P .

Komplett analog zum Vorgehen wie bei der Unentscheidbarkeit, wesentlicher Unterschied: Polynomialzeit-Reduktion

Satz

Sei L ein N P-vollst¨ andiges Problem. Dann gilt L ∈ P ⇐⇒ P = N P.

Beweis:

Sei L N P-vollst¨ andig und L ∈ P Aus N P-H¨ arte von L folgt:

F¨ ur alle L ⁰ ∈ N P: L ⁰ ≤ _p L und damit L ⁰ ∈ P.

Da dies f¨ ur alle L ⁰ ∈ N P gilt, folgt P = N P .

Also: Es reicht aus f¨ ur ein N P -vollst¨ andiges Problem

nachzuweisen, dass es in P bzw. nicht in P liegt, um die

P-vs-N P-Frage ein f¨ ur allemal beantworten.

Vermutete Lage der Probleme

N P

P N P-vollst.

Es ist bekannt (Ladner 1975):

Unter der Annahme P 6= N P gibt es Probleme in N P gibt, die nicht in P liegen und nicht N P -vollst¨ andig sind.

M¨ oglicher Kandidat:

Graph-Isomorphismus-Problem. Weder ein polynomieller Algo- rithmus noch dessen N P -Vollst¨ andigkeit bekannt.

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SAT-Problem

Wir brauchen ein erstes Problem, dessen N P-Vollst¨ andigkeit wir per Hand nachweisen m¨ ussen.

Daf¨ ur nehmen wir das SAT-Problem.

Definition (SAT-Problem)

Das Erf¨ ullbarkeitsproblem der Aussagenlogik (kurz SAT) ist:

gegeben: Eine Aussagenlogische Formel F

gefragt: Ist F erf¨ ullbar, d.h. gibt es eine erf¨ ullende Belegung der Variablen mit den Wahrheitswerten 0 und 1, sodass F den Wert 1 erh¨ alt.

Als formale Sprache:

SAT = {code(F ) ∈ Σ ^∗ | F ist erf¨ ullbare Formel der Aussagenlogik}

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SAT ∈ N P

Lemma SAT ∈ N P Beweis:

code(F ) Eingabe einer NTM M

M berechnet, welche Variablen in F vorkommen Sei dies {x ₁ , . . . , x _n }.

M verwendet Nichtdeterminismus, um Belegung I : {x ₁ , . . . , x _n } → {0, 1} zu

” raten“

Jede der 2 ⁿ n.d. Berechnungen berechnet Wert von I(F ) Akzeptanz bei 1, sonst verwerfen.

Da jede Belegung ¨ uberpr¨ uft wird, gilt M akzeptiert eine Formel F g.d.w. F ∈ SAT.

Jeder Berechnungspfad von M l¨ auft in Polynomialzeit in

|code(F )|, da die Anzahl der Variablen durch die Eingabegr¨ oße beschr¨ ankt ist.

N P = Polynomiell verifizierbar

Nachweis, dass Sprache in N P-liegt geht oft so wie bei SAT

Verwende Nichtdeterminismus um potentielle L¨ osung zu raten

Zeige, dass eine L¨ osung in Polynomialzeit verifiziert werden

kann.

Hilfssatz f¨ ur den N P -H¨ arte Beweis von SAT

Lemma

F¨ ur aussagenlogische Variablen {x ₁ , . . . , x _n } gibt es eine aussagenlogische Formel exactlyOne(x ₁ , . . . , x _n ) sodass

I (exactlyOne(x ₁ , . . . , x _n )) = 1 g.d.w. I genau eine der Variablen x _i auf 1 setzt und alle anderen auf 0.

Dabei ist die Gr¨ oße der Formel exactlyOne(x ₁ , . . . , x _n ) in O(n ² ).

Beweis:

exactlyOne(x ₁ , . . . , x _n ) := (x ₁ ∨ . . . ∨ x _n ) ∧ ^

1≤i<j≤n

¬(x _i ∧ x _j )

(x ₁ ∨ . . . ∨ x _n ) sichert atLeastOne(x ₁ , . . . , x _n ) zu V

1≤i<j≤n ¬(x _i ∧ x _j ) sichert atMostOne(x ₁ , . . . , x _n ) zu Gr¨ oße O(n ² )

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N P -H¨ arte von SAT: Ideen

Wir m¨ ussen zeigen:

L ≤ _p SAT f¨ ur alle L ∈ N P

Da L ∈ N P, gibt es polynomiell zeitbeschr¨ ankte NTM M , die L akzeptiert.

Erstelle Formel F , sodass F erf¨ ullbar g.d.w. M akzeptiert Da Laufzeit polynomiell beschr¨ ankt, beschr¨ ankt dies auch die Gr¨ oße der Formel und wir haben ≤ _p

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SAT ist N P -hart (1)

Lemma

SAT ist N P-hart.

Beweis: Wir m¨ ussen zeigen: L ≤ _p SAT Sei L ∈ N P beliebig.

Sei M die NTM mit L(M ) = L und ntime _M (w) ≤ p(|w|).

Sei w eine Eingabe f¨ ur M .

Ziel: Konstruiere aussagenlogische Formel F , sodass gilt w ∈ L ⇐⇒ F ist erf¨ ullbar

Dabei muss F in Polynomialzeit konstruierbar sein.

D.h. wir geben eine in Polynomialzeit berechenbare Funktion f (w) an, sodass w ∈ L ⇐⇒ f(w) ∈ SAT.

SAT ist N P -hart (2)

Eingabe: w = a

· · · a

∈ Σ

Bandalphabet: Γ = {b

, . . . , b

} Zust¨ ande: Z = {z

, . . . , z

} Startzustand: z

Aussagenlogische Variablen in der Formel F : Variable Index-Bereich Bedeutung State _t,z t = 0, 1, . . . , p(n)

z = z ₀ , . . . , z _k

State _t,z = 1 g.d.w.

nach t Schritten ist M im Zustand z.

Pos _t,i t = 0, 1, . . . , p(n) i = −p(n), . . . , p(n)

Pos _t,z = 1 g.d.w. nach t Schritten ist der Schreib-Lesekopf auf Position i Tape _t,i,b

t = 0, 1, . . . , p(n) i = −p(n), . . . , p(n) b = b ₁ , . . . , b _l

Tape _t,i,b = 1 g.d.w. nach t Schritten steht in Position i das Zeichen b Bandpositionen: Position 0 am Anfang

Bereiche reichen aus, da die TM nicht mehr als p(n) Schritte macht

SAT ist N P -hart (3)

Aufbau der Formel F :

F = Rand ∧ Anfang ∧ Transition ∧ Ende Rand: Randbedingungen

Anfang: Anfangsbedingungen

Transition: Bedingungen f¨ ur den Zustands¨ ubergang Ende: Endbedingung

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SAT ist N P -hart (4)

Randbedingungen:

Zu jedem Zeitpunkt t:

. . . ist M in genau einem Zustand z:

V

t∈{0,...,p(n)} exactlyOne (State _t,z

, . . . , State _t,z

) . . . ist der Kopf von M in genau einer Position auf dem Band:

V

t∈{0,...,p(n)} exactlyOne(Pos _t,−p(n) , . . . , Pos _t,p(n) ) . . . befindet sich in jeder Bandzelle genau ein Symbol aus Γ:

V

t∈{0,...,p(n)}

V

i∈{−p(n),...,p(n)} exactlyOne(Tape _t,i,b

1

, . . . , Tape _t,i,b

l

) Daher:

Rand := V

t∈{0,...,p(n)}







exactlyOne(State _t,z

, . . . , State _t,z

)

∧exactlyOne(Pos _t,−p(n) , . . . , Pos _t,p(n) )

∧ V

i∈{−p(n),...,p(n)}

exactlyOne(Tape _t,i,b

1

, . . . , Tape _t,i,b

l

)







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SAT ist N P -hart (5)

Anfangsbedingungen:

Fixieren die Bedingungen zum Zeitpunkt t = 0:

M ist im Startzustand: State _0,z

Der Schreib-Lesekopf ist auf Position 0: Pos _0,0

Die Eingabe w = a ₁ · · · a _n steht auf dem Band, und alle anderen Zellen enthalten das Blank-Symbol.

( ^

i∈{0,...,n−1}

Tape _0,i,a

i+1

) ∧ ( ^

i∈{−p(n),...,−1}

Tape _0,i,2 ) ∧ ( ^

i∈{n,...,p(n)}

Tape _0,i,2 ).

Daher:

Anfang := State _0,z

∧ Pos _0,0

∧( V

i∈{0,...,n−1}

Tape _0,i,a

) ∧ ( V

i∈{−p(n),...,−1}

Tape _0,i,2 ) ∧ ( V

i∈{n,...,p(n)}

Tape _0,i,2 )

SAT ist N P -hart (6)

Transitionsbedingungen:

F¨ ur ¨ Ubergang von t zu t + 1: Zustand, Bandinhalt, Position ¨ andern.

Sei dir(N ) = 0, dir(L) = −1, dir(R) = 1.

^

t∈{0,...,p(n)−1}, z∈Z,

i∈{−p(n)+1,...,p(n)−1}, b∈Γ





State _t,z ∧ Pos _t,i ∧ Tape _t,i,b

= ⇒ W

(z

,b

,y)∈δ(z,b)

State _t+1,z

∧ Pos t+1,i+dir(y) ∧ Tape _t+1,i,b





Zellen auf denen der Kopf nicht steht, bleiben unver¨ andert.

^

t∈{0,...,p(n)−1}, i∈{−p(n),...,p(n)},

b∈Γ

¬Pos _t,i ∧ Tape _t,i,b

= ⇒ Tape _t+1,i,b

SAT ist N P -hart (7)

Transitionsbedingungen:

Ergibt zusammen:

Transition :=

V

t∈{0,...,p(n)−1}, z∈Z,

i∈{−p(n)+1,...,p(n)−1}, b∈Γ





State _t,z ∧ Pos _t,i ∧ Tape _t,i,b

= ⇒ W

(z

,b

,y)∈δ(z,b)

State _t+1,z

∧ Pos t+1,i+dir(y) ∧ Tape _t+1,i,b





∧ V

t∈{0,...,p(n)−1}, i∈{−p(n),...,p(n)},

b∈Γ

¬Pos _t,i ∧ Tape _t,i,b

= ⇒ Tape _t+1,i,b

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SAT ist N P -hart (8)

Endbedingung: Ein akzeptierender Zustand wird erreicht:

Ende := _

z∈E,t∈{0,...,p(n)}

State _t,z

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SAT ist N P -hart (9)

F = V

t∈{0,...,p(n)}







exactlyOne(State _t,z

, . . . , State _t,z

)

∧exactlyOne(Pos _t,−p(n) , . . . , Pos _t,p(n) )

∧ V

i∈{−p(n),...,p(n)}

exactlyOne(Tape _t,i,b

, . . . , Tape _t,i,b

l

)







∧State 0,z

∧ Pos 0,0 ∧ ( V

i∈{0,...,n−1}

Tape _0,i,a

) ∧ ( V

i∈{−p(n),...,−1}

Tape _0,i,2 ) ∧ ( V

i∈{n,...,p(n)}

Tape _0,i,2 )

∧ V

t∈{0,...,p(n)−1}, z∈Z, i∈{−p(n)+1,...,p(n)−1},

b∈Γ

State _t,z ∧ Pos _t,i ∧ Tape _t,i,b

= ⇒ W

(z

,b

,y)∈δ(z,b)

State _t+1,z

∧ Pos t+1,i+dir(y) ∧ Tape _t+1,i,b

∧ V

t∈{0,...,p(n)−1}, i∈{−p(n),...,p(n)},

b∈Γ

¬Pos t,i ∧ Tape _t,i,b

= ⇒ Tape _t+1,i,b

∧ W

State _t,z

SAT ist N P -hart (10)

Wenn w ∈ L, dann z ₀ w ` ^r _M uz _e v mit z _e ∈ E und r ≤ p(n).

Lauf liefert Belegung I der Variablen von F , sodass I(F ) = 1 In Rand belege die besuchten Zust¨ ande, Positionen und Bandinhalte mit 1. Falls die Folge nach t e < p(n) Schritten endet, so setze die Variablen f¨ ur t > t _e auf die Werte f¨ ur den Zeitpunkt t e .

In Anfang liefert die Belegung f¨ ur die dort vorkommenden Variablen. Diese passen zur Anfangskonfiguration.

F¨ ur Transition setze I(State _t,z ) = 1, I(Pos _t,i ) = 1, Tape _t,i,b entsprechend der besuchten Zust¨ ande und alle anderen auf 0.

Das macht I(Transition) = 1 und Variable State t,z

f¨ ur z e ∈ E wird dadurch auf 1 gesetzt.

Daher I (F ) = 1

SAT ist N P -hart (11)

Umgekehrt: Wenn es eine erf¨ ullende Belegung I gibt mit I(F ) = 1, dann kann daraus ein akzeptierender Lauf f¨ ur die TM auf Eingabe w konstruiert werden.

Damit gilt w ∈ L ⇐⇒ F ist erf¨ ullbar.

F kann in (deterministischer) Polynomialzeit berechnet werden:

Gr¨ oße von F : (Anzahl an Variablenvorkommen):

Subformel Gr¨ oße Rand: O(p(n) ³ ) Anfang: O(p(n)) Transition: O(p(n) ² ) Ende: O(p(n))

F O(p(n) ³ )

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Satz von Cook

Insgesamt haben wir damit gezeigt:

Satz von Cook

Das Erf¨ ullbarkeitsproblem der Aussagenlogik ist N P -vollst¨ andig.

TCS | 11 Komplexit¨atstheorie I | SoSe 2019 42/42 Einleitung Zeitkomplexit¨at P N P N P-Vollst. SAT