Otto-von-Guericke Universit¨at Magdeburg Institut f¨ur Mathematische Optimierung
Wintersemester 2012/2013
Prof. Volker Kaibel, Jun.-Prof. Gennadiy Averkov O
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8. ¨ Ubung zur Vorlesung
Komplexit¨ atstheorie
(Besprechung am 13.12.2012)
1. Aufgabe
Seic∈N. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Die Berechnung des Produktes von zwei n×n Matrizen (n∈N) mit Eintr¨agen ausZ/2kZ f¨urk∈Nmit 2k≤nc ist alsNC-Schaltkreis realisierbar.
(b) Die Berechnung der Potenz An einer n×n Matrix A mit Eintr¨agen aus Z/2kZ f¨ur k ∈ N mit 2k ≤ncist als NC-Schaltkreis realisierbar.
Bemerkung: Die Elemente vonZ/2kZwerden als nichtnegative ganze Zahlen mit≤kBin¨arstellen kodiert.
2. Aufgabe
Beweisen Sie die InklusionNL⊆NC.
Hinweis: Beweisen Sie, dass man mit Hilfe eines NC-Schaltkreises entscheiden kann, ob zwei Knoten eines gerichteten Graphen mit einem Pfad verbunden sind.
3. Aufgabe
Zeigen Sie, dass jede SpracheL⊆ {0,1}∗, f¨ur die ein Polynompexistiert mit|L∩ {0,1}n| ≤p(n) f¨ur alle n∈N, zuP/poly geh¨ort.
4. Aufgabe
Zeigen Sie, dass f¨ur eine ganze Zahlaund nat¨urliche Zahlenn, k(die in Bin¨ardarstellung gegeben sind) der Wert (anmodk)∈ {0, . . . , k−1} in polynomialer Zeit berechenbar ist.
