Dies ist aber nicht zul¨ assig, da alle Knoten miteinander verbunden sind.

(1)

3. χ(P _n ) = 2

4. Falls n gerade: χ(C _n ) = 2, falls n ungerade: χ(C _n ) = 3 L¨ osung

1. Es gilt ∆(K _n ) = n − 1, woraus χ(K _n ) ≤ n folgt. Wenn wir annehmen, dass χ(K n ) < n ist, dann m¨ ussen zwei Knoten dieselbe Farbe haben.

Dies ist aber nicht zul¨ assig, da alle Knoten miteinander verbunden sind.

2. F¨ ur alle Graphen G = (V , E ) mit E 6= ∅ gilt χ(G) ≥ 2, also auch χ(K _m,n ) ≥ 2. K _m _,n l¨ asst sich f¨ arben, indem jede der zwei Partitionen eine Farbe erh¨ alt.

3. Es gilt wieder χ(P _n ) ≥ 2. Der Graph l¨ asst sich f¨ arben, indem die Farben abwechselnd vergeben werden.

4. Erneut gilt χ(C _n ) ≥ 2. F¨ ur gerade n l¨ asst sich der Graph f¨ arben, indem die Farben abwechselnd vergeben werden. Wir erhalten aus ∆(C _n ) = 2, dass χ(C _n ) ≤ 3. F¨ ur ungerade n gilt χ(C _n ) = 3, denn: Sei C _n = [v ₁ , . . . , v _n , v ₁ ]. Dann m¨ ussen wir abwechselnd Farben bis v _n vergeben, aber v _n und v ₁ haben nun dieselbe Farbe.

Aufgabe 2 Sei G _n,m der Graph bestehend aus n · m Quadraten, wobei jeweils n Quadrate untereinander und m Quadrate nebeneinander liegen.

Zus¨ atzlich sind die beiden diagonal gegen¨ uber liegenden Punkte in einem

Quadrat miteinander verbunden. Z.B ist G _3,2 =

(2)

a b c h

d

e

f g

i j k

l

Bestimmen Sie, welche der G _n,m planar sind. Tipp: Untersuchen Sie zun¨ achst G _1,n f¨ ur alle n ∈ N , anschließend G _2,2 und schließlich alle anderen G _n,m . L¨ osung

Alle G _1,n bzw. G _m,1 lassen sich planar zeichnen, z.B. G _2,1 :

(3)

(4)

b c

e

f

i j k

l

Dies ist eine Unterteilung des K _3,3 , den man durch Entfernen von i und k und Einf¨ ugen der Kanten {b , f } und {c, l } erh¨ alt. {b, j , l } und {c, e, f } sind hierbei die beiden Partitionen.

Alternativ kann auch eine Unterteilung des K ₅ angegeben werden:

b c

e

f

i j k

l

(5)

Bestimmen Sie χ(G) und geben Sie eine 4-F¨ arbung an.

L¨ osung

χ(G) ist h¨ ochstens 4, da G endlich und planar ist. G[b, c, e, f ] ist isomorph zu K ₄ , also ist χ(G) ≥ 4. Insgesamt ist χ(G ) = 4. M¨ ogliche F¨ arbung:

a b c h

d

e

f g

Aufgabe 5 Beweisen Sie: F¨ ur einen Graphen mit m Kanten gilt

χ(G) ≤ 1 2 +

r

2m + 1 4

Hinweis: Nehmen Sie an, ihr Graph hat χ(G) Farbklassen. Was k¨ onnen Sie

dann f¨ ur die Anzahl der Kanten zwischen den Farbklassen folgern?

(6)

L¨ osung

Zwischen zwei Farbklassen muss es mindestens eine Kante geben, also m ≥

P χ(G)−1

i=1 i = χ(G)(χ(G)−1)

2 . Durch Umstellen erhalten wir:

χ(G) (χ(G) − 1) ≤ 2m

⇔χ(G) ² − χ(G) ≤ 2m

⇔χ(G) ² − χ(G) + 1

4 ≤ 2m + 1 4

⇔

χ(G) − 1 2

2 ≤ 2m + 1 4

⇒χ(G) − 1 2 ≤

r

2m + 1 4

⇔χ(G) ≤ 1 2 +

r

2m + 1 4

Aufgabe 6 Wie viele Kreise der L¨ ange r enth¨ alt der vollst¨ andige Graph K n ?

L¨ osung

Idee: Es kommt nur darauf an, wie viele M¨ oglichkeiten es gibt, r Knoten auszuw¨ ahlen, da alle Knoten miteinander verbunden sind. Hierbei ist die Reihenfolge egal, da wir alle Kreise mit derselben Knotenmenge identifizieren.

Wir erhalten also ⁿ _r

verschiedene echte Kreise der L¨ ange r , falls r ≤ n, ansonsten 0.

Aufgabe 7 Beweisen Sie: Ist G = (V , E ) ein Baum mit |V | ≥ 2, so hat jeder Knoten v den Grad d G (v ) ≥ 1 und f¨ ur die Summe aller Knotengrade gilt P

v ∈V d _G (v ) = 2(|V | − 1). Gilt auch die R¨ uckrichtung dieser Aussage?

L¨ osung

Da ein Baum zusammenh¨ angend ist, gilt d _G (v ) ≥ 1 wegen |V | ≥ 2. Induktion uber ¨ |V |:

|V | = 2: P

v ∈V d _G (v ) = 2 = 2(|V | − 1)

|V | → |V | + 1: Sei G ⁰ = (V ⁰ , E ⁰ ) mit V = V ⁰ ] {x } und E ⁰ ⊆ E . Wir

m¨ ussen zeigen, dass es genau ein x ⁰ ∈ V ⁰ gibt mit {x , x ⁰ } ∈ E . W¨ are

E = E ⁰ , so w¨ are G nicht zusammenh¨ angend. G¨ abe es zwei neue Kanten

E = E ⁰ ] {{x ⁰ , x }, {x ⁰⁰ , x }}, so w¨ are G kein Baum, da es einen Pfad

von [x ⁰ , . . . , x ⁰⁰ ] in G ⁰ gibt, da G ⁰ zusammenh¨ angend ist, und wir einen

(7)

Dies ist aber nicht zul¨ assig, da alle Knoten miteinander verbunden sind.

3. χ(P n ) = 2

4. Falls n gerade: χ(C n ) = 2, falls n ungerade: χ(C n ) = 3 L¨ osung

1. Es gilt ∆(K n ) = n − 1, woraus χ(K n ) ≤ n folgt. Wenn wir annehmen, dass χ(K n ) < n ist, dann m¨ ussen zwei Knoten dieselbe Farbe haben.

Dies ist aber nicht zul¨ assig, da alle Knoten miteinander verbunden sind.

2. F¨ ur alle Graphen G = (V , E ) mit E 6= ∅ gilt χ(G) ≥ 2, also auch χ(K m,n ) ≥ 2. K m ,n l¨ asst sich f¨ arben, indem jede der zwei Partitionen eine Farbe erh¨ alt.

3. Es gilt wieder χ(P n ) ≥ 2. Der Graph l¨ asst sich f¨ arben, indem die Farben abwechselnd vergeben werden.

Aufgabe 2 Sei G n,m der Graph bestehend aus n · m Quadraten, wobei jeweils n Quadrate untereinander und m Quadrate nebeneinander liegen.

Zus¨ atzlich sind die beiden diagonal gegen¨ uber liegenden Punkte in einem

Quadrat miteinander verbunden. Z.B ist G 3,2 =

a b c h

d

e

f g

i j k

l

Bestimmen Sie, welche der G n,m planar sind. Tipp: Untersuchen Sie zun¨ achst G 1,n f¨ ur alle n ∈ N , anschließend G 2,2 und schließlich alle anderen G n,m . L¨ osung

Alle G 1,n bzw. G m,1 lassen sich planar zeichnen, z.B. G 2,1 :

b c

e

f

i j k

l

Dies ist eine Unterteilung des K 3,3 , den man durch Entfernen von i und k und Einf¨ ugen der Kanten {b , f } und {c, l } erh¨ alt. {b, j , l } und {c, e, f } sind hierbei die beiden Partitionen.

Alternativ kann auch eine Unterteilung des K 5 angegeben werden:

b c

e

f

i j k

l

Bestimmen Sie χ(G) und geben Sie eine 4-F¨ arbung an.

L¨ osung

χ(G) ist h¨ ochstens 4, da G endlich und planar ist. G[b, c, e, f ] ist isomorph zu K 4 , also ist χ(G) ≥ 4. Insgesamt ist χ(G ) = 4. M¨ ogliche F¨ arbung:

a b c h

d

e

f g

Aufgabe 5 Beweisen Sie: F¨ ur einen Graphen mit m Kanten gilt

χ(G) ≤ 1 2 +

r

2m + 1 4

Hinweis: Nehmen Sie an, ihr Graph hat χ(G) Farbklassen. Was k¨ onnen Sie

dann f¨ ur die Anzahl der Kanten zwischen den Farbklassen folgern?

L¨ osung

Zwischen zwei Farbklassen muss es mindestens eine Kante geben, also m ≥

P χ(G)−1

i=1 i = χ(G)(χ(G)−1)

2 . Durch Umstellen erhalten wir:

χ(G) (χ(G) − 1) ≤ 2m

⇔χ(G) 2 − χ(G) ≤ 2m

⇔χ(G) 2 − χ(G) + 1

4 ≤ 2m + 1 4

⇔

χ(G) − 1 2

2

≤ 2m + 1 4

⇒χ(G) − 1 2 ≤

r

2m + 1 4

⇔χ(G) ≤ 1 2 +

r

2m + 1 4

Aufgabe 6 Wie viele Kreise der L¨ ange r enth¨ alt der vollst¨ andige Graph K n ?

L¨ osung

Idee: Es kommt nur darauf an, wie viele M¨ oglichkeiten es gibt, r Knoten auszuw¨ ahlen, da alle Knoten miteinander verbunden sind. Hierbei ist die Reihenfolge egal, da wir alle Kreise mit derselben Knotenmenge identifizieren.

Wir erhalten also n r

verschiedene echte Kreise der L¨ ange r , falls r ≤ n, ansonsten 0.

Aufgabe 7 Beweisen Sie: Ist G = (V , E ) ein Baum mit |V | ≥ 2, so hat jeder Knoten v den Grad d G (v ) ≥ 1 und f¨ ur die Summe aller Knotengrade gilt P

v ∈V d G (v ) = 2(|V | − 1). Gilt auch die R¨ uckrichtung dieser Aussage?

L¨ osung

Da ein Baum zusammenh¨ angend ist, gilt d G (v ) ≥ 1 wegen |V | ≥ 2. Induktion uber ¨ |V |:

|V | = 2: P

v ∈V d G (v ) = 2 = 2(|V | − 1)

|V | → |V | + 1: Sei G 0 = (V 0 , E 0 ) mit V = V 0 ] {x } und E 0 ⊆ E . Wir

m¨ ussen zeigen, dass es genau ein x 0 ∈ V 0 gibt mit {x , x 0 } ∈ E . W¨ are

E = E 0 , so w¨ are G nicht zusammenh¨ angend. G¨ abe es zwei neue Kanten

E = E 0 ] {{x 0 , x }, {x 00 , x }}, so w¨ are G kein Baum, da es einen Pfad

von [x 0 , . . . , x 00 ] in G 0 gibt, da G 0 zusammenh¨ angend ist, und wir einen

3. χ(P _n ) = 2

4. Falls n gerade: χ(C _n ) = 2, falls n ungerade: χ(C _n ) = 3 L¨ osung

1. Es gilt ∆(K _n ) = n − 1, woraus χ(K _n ) ≤ n folgt. Wenn wir annehmen, dass χ(K n ) < n ist, dann m¨ ussen zwei Knoten dieselbe Farbe haben.

2. F¨ ur alle Graphen G = (V , E ) mit E 6= ∅ gilt χ(G) ≥ 2, also auch χ(K _m,n ) ≥ 2. K _m _,n l¨ asst sich f¨ arben, indem jede der zwei Partitionen eine Farbe erh¨ alt.

3. Es gilt wieder χ(P _n ) ≥ 2. Der Graph l¨ asst sich f¨ arben, indem die Farben abwechselnd vergeben werden.

Aufgabe 2 Sei G _n,m der Graph bestehend aus n · m Quadraten, wobei jeweils n Quadrate untereinander und m Quadrate nebeneinander liegen.

Quadrat miteinander verbunden. Z.B ist G _3,2 =

Bestimmen Sie, welche der G _n,m planar sind. Tipp: Untersuchen Sie zun¨ achst G _1,n f¨ ur alle n ∈ N , anschließend G _2,2 und schließlich alle anderen G _n,m . L¨ osung

Alle G _1,n bzw. G _m,1 lassen sich planar zeichnen, z.B. G _2,1 :

Dies ist eine Unterteilung des K _3,3 , den man durch Entfernen von i und k und Einf¨ ugen der Kanten {b , f } und {c, l } erh¨ alt. {b, j , l } und {c, e, f } sind hierbei die beiden Partitionen.

Alternativ kann auch eine Unterteilung des K ₅ angegeben werden:

χ(G) ist h¨ ochstens 4, da G endlich und planar ist. G[b, c, e, f ] ist isomorph zu K ₄ , also ist χ(G) ≥ 4. Insgesamt ist χ(G ) = 4. M¨ ogliche F¨ arbung:

⇔χ(G) ² − χ(G) ≤ 2m

⇔χ(G) ² − χ(G) + 1

Wir erhalten also ⁿ _r

v ∈V d _G (v ) = 2(|V | − 1). Gilt auch die R¨ uckrichtung dieser Aussage?

Da ein Baum zusammenh¨ angend ist, gilt d _G (v ) ≥ 1 wegen |V | ≥ 2. Induktion uber ¨ |V |:

v ∈V d _G (v ) = 2 = 2(|V | − 1)

|V | → |V | + 1: Sei G ⁰ = (V ⁰ , E ⁰ ) mit V = V ⁰ ] {x } und E ⁰ ⊆ E . Wir

m¨ ussen zeigen, dass es genau ein x ⁰ ∈ V ⁰ gibt mit {x , x ⁰ } ∈ E . W¨ are

E = E ⁰ , so w¨ are G nicht zusammenh¨ angend. G¨ abe es zwei neue Kanten

E = E ⁰ ] {{x ⁰ , x }, {x ⁰⁰ , x }}, so w¨ are G kein Baum, da es einen Pfad

von [x ⁰ , . . . , x ⁰⁰ ] in G ⁰ gibt, da G ⁰ zusammenh¨ angend ist, und wir einen