Wenn ein Knoten mehrere

Bäume

Wenn ein Knoten mehrere

Nachfolger hat

Definition

„ Ein Baum ist eine endliche Menge B eines oder mehrerer Knoten

derart, dass

‹ Es ein ausgezeichnetes Element, Wurzel genannt, gibt

‹ Die übrigen Knoten in m≥0

disjunkte Mengen aufgeteilt sind und jede dieser Mengen

(Unterbäume) ein Baum ist

Bemerkungen

„ Die Definition ist rekursiv

„ Jeder Knoten eines Baums ist die

Wurzel eines Unterbaums

Terminologie

„ Ist K ein Knoten eines Baums so ist Grad(K) = Anzahl Unterbäume von B

„ Falls Grad(K) = 0 so heisst K Blattknoten

„ Ist B ein Baum und K ∈ B so ist

ZE(K, B) = 0 , falls K die Wurzel von B ist und falls K ∈ U für einen

Unterbaum U ist, so ist ZE(K,B) =

ZE(U,B) + 1

Terminologie (Fortsetzung)

„

Ist K ein Knoten und die Menge {B ₁ , ..., B _m } seine Unterbäume, so ist Grad(K) = m

„

K ist der Vater von B ₁ , ..., Bm

„

Jeder B _i ist der Sohn von K

„

Alle B _i 's sind Brüder

„

Falls alle Bi für alle K in einer

bestimmten Reihenfolge vorliegen, so ist B geordnet

„

Ein Wald ist eine Menge von 0 oder

mehreren disjunkten Bäumen

Klassifizierung von Indo-europäische Sprachen

italisch hellenisch germanisch

oskisch/umbrisch griechisch nordgermanisch west germanisch

oskisch umbrisch islandisch norwegisch schwedisch nieder

deutsch hoch

deutschYiddisch lateinisch

franz spanisch ital roumaen.

A

B C D

E F G H I

J K L M N O P Q R S T U

a)

Beispiel:

Abstammungsbaum

„ Bei Genealogien

‹ Ahnentafel: Von einer Person alle Vorfahren

‹ Stammtafel: Abstammung der

genealogischen Abfolge von einem Urahnen

„ Datenstrukturen verwenden zweite

Art von Baum

Definition

„ Ein Binärbaum B ist eine

geordnete endliche Menge von

Knoten , die entweder leer ist oder aus 2 Binärbäumen {B ₁ ,B ₂ }

besteht

„ B ₁ heisst linker Unterbaum und B ₂

heisst rechter Unterbaum von B

Bemerkungen

„ Die Definition eines Binärbaums ist rekursiv

„ Ein Binärbaum ist kein Sonderfall eines Baums

„ Ein Binärbaum ist geordnet

„ Ab jetzt sind alle Bäume

Binärbäume

Ein geordneter Baum

10

5 15

3 8

9

12 18

1 4 14

Programmdarstellung Binärbäume

„ Daten werden in gewöhnlicher DATA

Struktur gehalten

„ Beide Nachfolger jedes Knoten werden mit Zeiger verkettet

„ Leere Nachfolger werden mit

Zeigerwert NULL dargestellt

Die Datei baum.h

typedef ... DATA;

typedef struct Bknoten{

DATA d;

struct Bknoten *links;

struct Bknoten *rechts;

} BKNOTEN;

typedef BKNOTEN *BAUMZEIGER;

BAUMZEIGER Wurzel;

Einige Baumoperationen

„ Leere Baum initialisieren:

„ Baum mit 1 Knoten initialisieren:

„ Prüfe, ob der Baum leer ist:

„ Daten einfügen:

BAUMZEIGER initBaum()

BAUMZEIGER initBaum(DATA *)

int istLeer()

void einfuegen(BAUMZEIGER *, DATA);

Noch einige Baumoperationen

„ Linken Baum anheften:

„ Rechten Baum anheften:

„ Daten holen:

BAUMZEIGER linksSetzen(BAUMZEIGER, DATA *);

BAUMZEIGER rechtsSetzen(BAUMZEIGER, DATA *);

DATA getData(BAUMZEIGER);

Bemerkungen

„

Einige Operationen sind privat, da sie interne Operationen ausführen, z.B.

Linken Baum anheften

„

Nicht vergessen, der Baum ist nach einer vorgegebenen Regel geordnet, daher z.B. einfuegen ohne Knotenzeiger

„

Siehe Bild: Für jeden Knoten sind alle

Daten links kleiner und alle Daten rechts

größer als die Daten des Knotens

Operation: Einfügen eines Knoten

void einfuegen(BAUMZEIGER *WurzelPtr, DATA *dataPtr){

if ( *WurzelPtr == NULL){

*WurzelPtr = (BAUMZEIGER)malloc(sizeof(BKNOTEN));

(*WurzelPtr)->d = *dataPtr;

(*WurzelPtr)->links = (*WurzelPtr)->rechts = NULL;}

else if (*dataPtr < (*WurzelPtr)->d)

einfuegen(&((*WurzelPtr)->links), dataPtr);

else if (*dataPtr > (*WurzelPtr)->d)

einfuegen(&((*WurzelPtr)->rechts), dataPtr);

else fprintf(stderr, "Element is bereits vorhanden\n");

}

Bemerkungen

„

Diese Funktion wurde rekursiv realisiert

„

Knoten werden immer am Rande des Baums (d.h. bei Blattknoten) eingefügt

„

Die Adresse des Knotenzeigers muss übergeben werden

„

Eine Funktion void einfuegen(DATA)

könnte diese private Funktion verwenden

Durchlauf eines Binärbaums

„ Preorder

‹ Wurzel besuchen

‹ linken Teilbaum besuchen

‹ rechten Teilbaum besuchen

„ Inorder

‹ linken Teilbaum besuchen

‹ Wurzel besuchen

‹ rechten Teilbaum besuchen

Durchlauf eines Binärbaums (Fortsetzung)

„ Postorder

‹ linken Teilbaum besuchen

‹ rechten Teilbaum besuchen

‹ Wurzel besuchen

Beispielprogramm

Siehe Folie

Beispiel: Ausdruck (A-B*C)*(D+E/F)

*

- +

A *

C

D /

B F

„ Preorder: *-A*BC+D/EF

„ Inorder: A-B*C*D+E/F

Postorder: ABC*-DEF/+*