VL-15: NP-vollst¨andige Graphprobleme (Berechenbarkeit und Komplexit¨at, WS 2019) Gerhard Woeginger

VL-15: NP-vollst¨ andige Graphprobleme

(Berechenbarkeit und Komplexit¨ at, WS 2019) Gerhard Woeginger

WS 2019, RWTH

Organisatorisches

N¨achste Vorlesung:

Mittwoch, Januar 15, 10:30–12:00, Aula

Webseite:

https://algo.rwth-aachen.de/Lehre/WS1920/BuK/BuK.py

Wiederholung

Wdh.: NP-schwer & NP-Vollst¨ andig

Definition

Ein ProblemL^∗ heisstNP-schwer, falls∀L∈NP : L≤_pL^∗

Ein ProblemL^∗heisstNP-vollst¨andig, fallsL^∗∈NPund L^∗NP-schwer.

Satz

WennL^∗NP-vollst¨andig ist, dann gilt: L^∗∈P ⇒ P=NP

Unter der AnnahmeP6=NP (unserer Standardannahme) besitzt also kein NP-vollst¨andiges Problem einen polynomiellen Algorithmus.

Wdh.: Der Satz von Cook & Levin

Problem: Satisfiability (SAT)

Eingabe:Boole’sche Formelϕin CNF ¨uber der VariablenmengeX Frage:Existiert eine Wahrheitsbelegung vonX, dieϕerf¨ullt?

Satz (Cook & Levin) SATistNP-vollst¨andig.

Arbeitsphase A: F¨ur jeden Zeitpunktt beschreiben die Variablen Q(t,q),H(t,j)undB(t,j,a)eine legale Konfiguration.

Arbeitsphase B: Die Konfiguration zum Zeitpunktt+1entsteht legal aus der Konfiguration zum Zeitpunktt.

Arbeitsphase C: Startkonfiguration und Endkonfiguration sind legal.

Wdh.: Die Komplexit¨ atslandschaft

NP

P

Graph- zusammenhang Primzahl

SAT

Clique Ind-Set VC

Ex-Cover

Ham-Cycle TSP Partition

Subset-Sum Knapsack

BPP Coloring 3-SAT

Warnung: Dieser Abbildung liegt die AnnahmeP6=NP zu Grunde.

Wdh.: Landkarte mit Karp’s 20 Reduktionen

SAT INTEGER

PROG 3-SAT

COLORING

CLIQUE COVER

EXACT COVER 3-DIM

MATCHING

STEINER TREE

HITTING SET

SUBSET-SUM

JOB SEQUENCING PARTITION

MAX-CUT SET COVER FEEDBACK

ARC SET

FEEDBACK VERTEX

SET DIRECTED

HAM-CYCLE

HAM CYCLE

VERTEX COVER INDEP

SET

CLIQUE

Wdh.: Kochrezept f¨ ur NP-Vollst¨ andigkeitsbeweise

Kochrezept:

1. Man zeigeL∈NP.

2. Man w¨ahle eine NP-vollst¨andige SpracheL^∗.

3. (Reduktionsabbildung): Man konstruiere eine Funktion f, die Instanzen von L^∗auf Instanzen vonL abbildet.

4. (Polynomielle Zeit):Man zeige, dass f in polynomieller Zeit berechnet werden kann.

5. (Korrektheit): Man beweise, dassf tats¨achlich eine Reduktion ist.

F¨urx ∈ {0,1}^∗gilt x∈L^∗genau dann, wennf(x)∈L.

Vorlesung VL-15

Einige NP-vollst¨ andige Graphprobleme

NP-Vollst¨andigkeit von CLIQUE NP-Vollst¨andigkeit von INDEP-SET NP-Vollst¨andigkeit von Vertex Cover

NP-Vollst¨andigkeit von Ham-Cycle (gerichtet) NP-Vollst¨andigkeit von Ham-Cycle (ungerichtet) NP-Vollst¨andigkeit des TSP

NP-Vollst¨ andigkeit von CLIQUE

CLIQUE: Definition

Problem: CLIQUE

Eingabe:Ein ungerichteter GraphG = (V,E); eine Zahl k Frage:Enth¨altG eine Clique mit≥k Knoten?

k =4

Satz

CLIQUE ist NP-vollst¨andig.

CLIQUE: Nach unserem Kochrezept

1. Wir wissen bereits (aus VL-12), dass CLIQUE in NP liegt.

2. Wir w¨ahlen die NP-vollst¨andige SpracheL^∗=SAT und wir werden SAT≤p CLIQUEzeigen.

3. (Reduktionsabbildung):

Wir konstruieren eine Funktionf, die eine CNF-Formelϕin einen GraphenG = (V,E)und eine Zahlk ∈Ntransformiert, sodass gilt:

ϕist erf¨ullbar ⇔ G besitztk-Clique

CLIQUE: Beschreibung der Funktion f

Es seien c₁, . . . ,c_mdie Klauseln der Formel ϕ.

Es seiki die Anzahl an Literalen in deri-ten Klauselci. Es seien `i,1, . . . , `i,ki die Literale in deri-ten Klauselci.

F¨ur jedes Literal in jeder Klausel erzeugen wir einen entsprechenden Knoten: V = {`i,j|1≤i ≤m, 1≤j≤k_i}

Zwei Knoten werden mit einer Kante verbunden, wenn sie aus verschiedenen Klauseln stammen und wenn ihre Literale nicht Negationen voneinander sind.

Wir setzenk =m.

4. (Polynomielle Zeit):

Die Funktion f ist in Polynomialzeit berechenbar.

CLIQUE: Beispiel

ϕ= (x1∨ ¬x2∨ ¬x3)∧(¬x1∨x2∨x3)∧(x2∨x3)

x3

x2

¬x1

x₁ ¬x₂ ¬x₃

x₂

x₃ c₁=x₁∨ ¬x2∨ ¬x3

c2=¬x1∨x2∨x3 c3=x2∨x3

Erf¨ullende Belegung:x₁=0,x₂=0,x₃=1

CLIQUE: Korrektheit (1)

Lemma A: Formel ϕerf¨ullbar⇒G hatm-Clique Betrachte beliebige erf¨ullende Belegung vonϕ

Bilde MengeU mit einem erf¨ullten Literal von jeder Klausel Behauptung:U bildetm-Clique

Begr¨undung:

Laut Definition ist|U|=m

Es seien`und`⁰zwei verschiedene Literale ausU

Nach Konstruktion kommen` und`⁰ aus verschiedenen Klauseln Da`und `⁰erf¨ullt sind, sind sie nicht Negationen voneinander.

Also gibt es eine Kante zwischen`und`⁰

CLIQUE: Korrektheit (2)

Lemma B: G hatm-Clique⇒Formelϕerf¨ullbar Betrachtem-CliqueU inG

Dann geh¨oren die Literale inU zu lauter verschiedenen Klauseln U enth¨alt somit genau ein Literal pro Klausel

Kein Literal tritt sowohl positiv als auch negiert auf Ergo: Alle diese Literale k¨onnen gleichzeitig erf¨ullt werden Also istϕerf¨ullbar

5. (Korrektheit):

f ist Reduktion: x ∈L^∗ ⇔ f(x)∈L ϕ∈SAT ⇔ f(ϕ) =hG;mi ∈CLIQUE

NP-Vollst¨ andigkeit von

INDEP-SET und Vertex Cover

Independent Set

Unabh¨angige Menge (independent set):

Teilmenge der Knoten, die keine Kanten induziert Problem: INDEP-SET

Eingabe:Ein ungerichteter GraphG⁰= (V⁰,E⁰); eine Zahlk⁰ Frage:Enth¨altG⁰ eine unabh¨angige Menge mit ≥k⁰ Knoten?

Satz

INDEP-SET ist NP-vollst¨andig.

Beweisskizze: im Tutorium

Wir zeigenCLIQUE≤pINDEP-SET

SetzeV⁰=V undE⁰=V ×V −E undk⁰=k

Vertex Cover (1)

Vertex Cover: Teilmenge der Knoten, die alle Kanten ber¨uhrt Problem: Vertex Cover (VC)

Eingabe:Ein ungerichteter GraphG⁰⁰= (V⁰⁰,E⁰⁰); eine Zahlk⁰⁰ Frage:Enth¨altG⁰⁰ ein Vertex Cover mit≤k⁰⁰ Knoten?

Satz

Vertex Cover ist NP-vollst¨andig.

Beweisskizze:

Wir zeigenINDEP-SET≤p Vertex Cover SetzeV⁰⁰=V⁰undE⁰⁰=E⁰ undk⁰⁰=|V⁰| −k⁰

Vertex Cover (2)

Rechtfertigung

In einem ungerichteten GraphenG = (V,E)gilt f¨ur alleS⊆V: S ist unabh¨angige Menge ⇔ V −S ist Vertex Cover S ist Vertex Cover ⇔ V −S ist unabh¨angige Menge

NP-Vollst¨ andigkeit von

Ham-Cycle (gerichtet)

D-Ham-Cycle: Definition

Problem: Gerichteter Hamiltonkreis (D-Ham-Cycle) Eingabe:Ein gerichteter GraphG = (V,A) Frage:BesitztG einen gerichteten Hamiltonkreis?

Satz

D-Ham-Cycle ist NP-vollst¨andig.

D-Ham-Cycle: Nach unserem Kochrezept

1. D-Ham-Cycle liegt in NP

2. Wir w¨ahlen die NP-vollst¨andige SpracheL^∗=SAT und wir werden SAT≤p D-Ham-Cyclezeigen.

3. (Reduktionsabbildung):

Wir konstruieren eine Funktionf, die eine CNF-Formelϕin einen gerichteten GraphenG = (V,A)transformiert, sodass gilt:

ϕist erf¨ullbar ⇔ G hat gerichteten Hamiltonkreis Die CNF-Formelϕbesteht aus Klauselnc1, . . . ,cm mit Boole’schen Variablenx1, . . . ,xn.

D-Ham-Cycle: Reduktion / Diamantengadgets (1)

F¨ur jede Variablexi enth¨alt der GraphG dasDiamantengadget Gi: si

ri

l_i

t_i

D-Ham-Cycle: Reduktion / Diamantengadgets (2)

DiesenDiamantengadgets werden miteinander verbunden, indem wir die Knotenti undsi+1 (f¨ur1≤i ≤n−1) sowietn unds1miteinander identifizieren:

s₁

r1

l₁

t1

s2

r2

l2

t₂ s₃

r3

l₃

t3

t1=s2

t₂=s₃

D-Ham-Cycle: Reduktion / Diamantengadgets (3)

In dem resultierenden Graphen besucht jede Rundreise, die im Knotens₁ startet, die Diamantengadgets in der ReihenfolgeG1,G2, . . . ,Gn. Die Rundreise hat dabei f¨ur jedes GadgetGi die Freiheit, das Gadget

entwedervon links nach rechts (also: vonl_i bisr_i)

odervon rechts nach links(also: vonri bisli) zu durchlaufen.

Die LR Variante interpretieren wir als Variablenbelegungxi=0, und die RL Variante als Variablenbelegungx_i=1.

D-Ham-Cycle: Reduktion / Klauselknoten (1)

Jetzt f¨ugen wir f¨ur jede Klauselc_j einen weiteren Knoten ein.

(a) Falls das Literalx_i in Klausel c_j enthalten ist,

so verbinden wir GadgetGi wie folgt mit dem Klauselknotencj:

r_i li

cj

D-Ham-Cycle: Reduktion / Klauselknoten (2)

(b) Falls das Literalx¯i in Klausel cj enthalten ist,

so verbinden wir GadgetG_i wie folgt mit dem Klauselknotenc_j:

ri

l_i

c_j

D-Ham-Cycle: Reduktion / Klauselknoten (3)

Frage

Ist es nach Hinzuf¨ugen der Klauselknoten m¨oglich, dass

eine Rundreise zwischen den Diamantengadgets hin- und herspringt, anstatt sie in der vorgesehenen Reihenfolge zu besuchen?

Antwort

Nein. (Warum??)

D-Ham-Cycle: Illustration

s₁

r₁ l1

t1

s2

r2

l2

t₂ s₃

r₃ l3

t3

ϕ= (x1∨ ¬x2∨ ¬x3)∧(¬x1∨x2∨x3)∧(x2∨x3)

c₁

c2

c₃

D-Ham-Cycle: Korrektheit (1)

Lemma A: G hat gerichteten Hamiltonkreis ⇒ ϕerf¨ullbar

Wenn ein Klauselknotencj aus einem GadgetGi herausvon links nach rechts durchlaufen wird, so muss nach unserer Konstruktion die Klausel cj das Literal ¯xi enthalten.

Also wird diese Klausel durch die mit der Laufrichtung von links nach rechts assoziierten Belegungxi =0erf¨ullt.

Wenn ein Klauselknotencj aus einem GadgetGi herausvon rechts nach links durchlaufen wird, so muss nach unserer Konstruktion die Klausel c_j das Literal x_i enthalten.

Also wird diese Klausel cj durch die mit der Laufrichtung von rechts nach links assoziierten Belegungx_i =1erf¨ullt.

Also erf¨ullt die mit der Rundreise assoziierte Wahrheitsbelegung der Variablen die Formelϕ.

D-Ham-Cycle: Korrektheit (2)

Lemma B: ϕerf¨ullbar ⇒ G hat gerichteten Hamiltonkreis

Eine erf¨ullende Wahrheitsbelegung der Variablen legt f¨ur jedes DiamantengadgetG1, . . . ,Gnfest, ob es von rechts nach links oder von links nach rechts durchlaufen wird.

Klauselknotencj k¨onnen wir in die Rundreise einbauen, indem wir eine Variable x_i ausw¨ahlen, diec_j erf¨ullt, undc_j durch einen kleinen Abstecher vom DiamantengadgetGi aus besuchen.

ri

l_i

cj

D-Ham-Cycle: Korrektheit (3)

r_i l_i

c_j

Wenn c_j f¨urx_i=1erf¨ullt ist, so istx_i positiv inc_j enthalten. Ein Besuch voncj beim Durchlaufen des DiamantengadgetsGi von rechts nach linksist m¨oglich.

Wenn cj f¨urxi=0erf¨ullt ist, so istxi in negierter Form incj

enthalten. Ein Besuch vonc_j beim Durchlaufen des DiamantengadgetsG_i von links nach rechtsist m¨oglich.

Also k¨onnen alle Klauselknoten in die Rundreise eingebunden werden.

D-Ham-Cycle: Zusammenfassung

4. (Polynomielle Zeit):

Die Funktion f ist in Polynomialzeit berechenbar.

Die Konstruktion verwendetnDiamantengadgets mit jeO(m)Knoten Die Konstruktion verwendetmKlauselknoten

5. (Korrektheit):

f ist Reduktion: x ∈L^∗ ⇔ f(x)∈L ϕ∈SAT ⇔ f(ϕ) =hGi ∈D-Ham-Cycle

NP-Vollst¨ andigkeit von

Ham-Cycle (ungerichtet)

Ham-Cycle: Definition

Problem: Hamiltonkreis (Ham-Cycle)

Eingabe:EinungerichteterGraphG = (V,E) Frage:BesitztG einen Hamiltonkreis?

Satz

Ham-Cycle ist NP-vollst¨andig.

Beweis:

Wir zeigen D-Ham-Cycle≤_p Ham-Cycle

Es seiG⁰= (V⁰,A⁰)eine Instanz von D-Ham-Cycle

Wir konstruieren in polynomieller Zeit einen ungerichteten Graphen G = (V,E), sodass gilt: G⁰∈D-Ham-Cycle ⇔ G ∈Ham-Cycle

Ham-Cycle: Reduktion

Es seiG⁰= (V⁰,A⁰)eine Instanz von D-Ham-Cycle

Der ungerichtete Graph G ensteht ausG⁰ durch lokale Ersetzung:

v vin vmid vout

G⁰ G

Interpretation:

vin ist der Eingangsknoten f¨urvmid

v_out ist der Ausgangsknoten f¨urv_mid

Ham-Cycle: Korrektheit

G⁰hat gerichteten Hamiltonkreis ⇔ G hat Hamiltonkreis

(A) Jeder Hamiltonkreis inG⁰ kann offensichtlich in einen Hamiltonkreis inG transformiert werden.

(B) Wie sieht es mit der Umkehrrichtung aus?

Jeder Hamiltonkreis inG besucht den Knotenv_mid zwischen den beiden Knotenvin undvout

Entweder: vin –vmid –vout Oder:vout –vmid –vin

Vonv_outaus kann man nur Knoten vom Typu_in erreichen (und dazu muss der gerichtete Graph die entsprechende gerichtete Kante vonv nachu enthalten)

Daher kann jeder Hamiltonkreis in G in einen gerichteten Hamiltonkreis inG⁰ ¨ubersetzt werden.

Ham-Cycle: ¨ Ubung

Ubung¨

Zeigen Sie: Ham-Cycle ≤_p D-Ham-Cycle Hinweis: Verwenden Sie lokale Ersetzungen

NP-Vollst¨ andigkeit des TSP

TSP: Alte und neue Definitionen

Problem: Travelling Salesman Problem (TSP)

Eingabe:St¨adte1, . . . ,n; Distanzend(i,j); eine Zahlγ

Frage:Gibt es eine Rundreise (TSP-Tour) mit L¨ange h¨ochstensγ?

Zwei Spezialf¨alle:

Problem:∆-TSP

Eingabe:St¨adte1, . . . ,n; symmetrische Distanzend(i,j)mit Dreiecksungleichungd(i,j)≤d(i,k) +d(k,j); eine Zahlγ Frage:Gibt es eine Rundreise (TSP-Tour) mit L¨ange h¨ochstensγ?

Problem:{1,2}-TSP

Eingabe:St¨adte1, . . . ,n; symmetrische Distanzend(i,j)∈ {1,2};

eine Zahlγ

Frage:Gibt es eine Rundreise (TSP-Tour) mit L¨ange h¨ochstensγ?

TSP: Beweis der NP-Schwere

Satz

Die ProblemeTSPund∆-TSPund {1,2}-TSPsind NP-schwer.

Es gen¨ugt zu zeigen, dass {1,2}-TSPNP-schwer ist.

Wir zeigen: Ham-Cycle ≤_p {1,2}-TSP

Aus einem ungerichteten Graphen G = (V,E)f¨urHam-Cycle konstruieren wir eine entsprechendeTSP Instanz.

Jeder Knoten v ∈V wird zu einer Stadt

Der Abstand zwischen Stadt uund Stadtv betr¨agt d(u,v) =

1 falls{u,v} ∈E 2 falls{u,v}∈/E

Der GraphG hat genau dann einen Hamiltonkreis,

wenn die konstruierte TSP Instanz eine Tour mit L¨ange≤ |V|hat.

Landkarte mit Karp’s 20 Reduktionen

SAT INTEGER

PROG 3-SAT

COLORING

CLIQUE COVER

EXACT COVER 3-DIM

MATCHING

STEINER TREE

HITTING SET

SUBSET-SUM

JOB SEQUENCING PARTITION

MAX-CUT SET COVER FEEDBACK

ARC SET

FEEDBACK VERTEX

SET DIRECTED

HAM-CYCLE

HAM CYCLE

VERTEX COVER INDEP

SET

CLIQUE