Physik IV – Atome und Molek¨ ule SS11
Prof. Thomas M¨uller, Karlsruher Institut f¨ur Technologie (KIT) Dr. Frank Hartmann, Karlsruher Institut f¨ur Technologie (KIT)
Aufgabenblatt 7; ¨Ubung am 06. Juni (Montag)
Ubungsleiter: Frank Hartmann, Forschungszentrum Karlsruhe,¨ Tel.: +41 (76) 487 4362; Email: Frank.Hartmann@cern.ch
L ¨OSUNGENUbung 7¨
1. Ein paar Fragen bez¨uglich des Wasserstoffatoms zum ’frei’ in den ¨Ubungen vorzutragen, bzw. an die Tafel zu skizzieren!
(a) Warum kann man Abh¨angigkeitenr, φ, Θ separieren?
L¨osung:
Potential nur vonr abh¨angig, daher Trennung vonrzu Φ, Θ m¨oglich. Separation von Φ und Θ m¨oglich, da Potential isotrop!
(b) Erkl¨aren Sie die Quantenzahlen n,l,m! Wie lauten die Abh¨angigkeiten?
L¨osung:
n= 1,2,3, ...Hauptquantenzahl (Energie) Variable des Radialanteils l= 0,1, ..., n−1 Drehimpulsquantenzahl; Drehimplus:|L|=p
(l+ 1)l·¯h ml =−l,−l+ 1, ...,0, ...,+lmagnetische Quantenzahl
Die Drehimpulsquantenzahl l misst hierbei den Bahndrehimpuls des Elektrons, und die magnetische Quantenzahl m seine Projektion auf eine beliebige Richtung, die im Allgemeinen als z bezeichnet wird (z steht dabei f¨ur die z-Achse) oder schlicht gesagt die r¨aumliche Orientierung des Elektronen-Bahndrehimpuls.
(c) Was bedeutet ’Entartung’ ? Gibt es bei n=1 Entartung?
L¨osung:Zu einem Energiewert gibt es mehrere Zust¨ande. Z.B. Beim Wasserstoffatom gibt esk=n2Zust¨ande gleicher Energie. Man sagt der EnergiewertEn ist k-fach ent- artet. 12= 1 daher ist der Energiezustand f¨ur n=1 nicht entartet. Die Entartung gibt es be allena/r-Potentialen. Sie wird unter Ber¨ucksichtung weiterer Effekte, z.B. relati- vistische Effekte, Elektronenspin, Kernpotential aufgehoben (siehe sp¨atere Vorlesung) (d) Zeichnen Sie das Termschema bis n=4!
L¨osung:
Abbildung 1:Einfaches Termschema
2. Radial-Eigenfunktionen des 1s-Zustandes des Wasserstoffatoms Schr¨odingergleicheiung
1
(a) Ψ(r) =ae−r1r
Radialteil der Schr¨odingergleichung:
[−2m¯h2 r12∂r∂ (r2∂r∂ )−4πǫe20r+¯h
2l(l+1)
2mr2 ]R(r) =E·R(r) s-Zustand:l= 0:
[−2m¯h2 1 r2
∂
∂r(r2∂r∂ )−4πǫe20r]ae−r1r = [−2m¯h2 r12∂r∂ (r2−r11)−4πǫe20r]ae−r1r = [−2m¯h2[−2r
1 r1 +r12
1]−4πǫe20r]ae−r1r =E·ae−r1r (¯hm2r11 −4πǫe20) + (2emr¯h2 2
1 −E)r= 0 E=−2mr¯h221 =2(4πǫme04)2h¯2 mitr1=4πǫe20mh¯2
(b) W(1)dr =|Ψ|24πr2dr mit 4πr2= Fl¨ache der Kugelschale mit Radius r W(1)dr = 4πr2a2e−r12rdr
W(1) = 4πr2a2e−r12r
(c) dW(r)dr = 0⇒2r−r2 2r1 = 0⇒r=r1
(d)
Abbildung 2:Funktionen 3. Positronium→H-¨ahnliches Atom
Unten wird recht ausf¨uhrlich gerechnet, im Prinzip k¨onnen die Bohr-Sommerfeldschen For- meln f¨ur das H-Atom benutzt werden unter Ber¨ucksichtigung der effektiven Masse:
(0) effektive Masse:µ= mm11+mm22 =m2memee = m2e
(1) Bohr-Modell: E=12µv2−4πǫe20r; [E=Epot+Ekin] (2) Kr¨aftegleichgewicht: µvr2 =4πǫe20r2
(3) Quantisierung des Drehimpulsesµvr=n¯h (2)µω2r= 4πǫe20r2
(3)µωr2=n¯h→r=q
n¯h µω (4) in (2): µω2(µωn¯h)3/2=4πǫe20 →√
ω= 4πǫe02(n¯µ1/2h)3/2 → 2πω =32πµe3ǫ420¯h3 1 n3
Im Grundzustand n=1:µ= m2e → 2πω = 64πm3eǫe24
0h¯3 = 3.288×1015 1s in (4): r = (n¯µh)1/2q
16π2ǫ20¯h3
µe4 n3 = 4πǫµe02¯h2n2 = (mit n = 1 und µ = me/2) 8πǫme0e¯h22 = 1.059×10−10m.
in (1):E =12µω2r2−4πǫe20r = 12µ(16πµe2ǫ420¯h3 1
n2)2×(4πǫµe02h¯2n2)2−4πǫe20
µe2 4πǫ0¯h2
1
n2 = 321 π2µeǫ204h¯2 1 n2 =
−641 mee4
π2ǫ20¯h2 =−6.80eV
2
4. Myon-Atom
(a) (siehe letzte Aufgabe, gleiche Rechnung) µ= mmµµ+mmee = 207m207mee+mmee = 1.625×10−28kg En =−321
Z2µe4
π2ǫ20¯h2 =−2531Zn22eV (Achtung im Haken-Wolf wurde stattµnurmµ einge- setzt, deswegen das abweichende Ergebnis)
(b) rn= 4πǫZµe0¯h22n2= 2.84×10−3nZ2˚A
(c) hν=En=2−En=1=−321 πZ22ǫµe20¯h42(1/4−1) = 1898Z2eV 5. Drehimpulsoperatoren
(a) [ ˆLz,Lˆ2] = 0
[ ˆLz,Lˆ2] =
= [ ˆLz,Lˆ2x] + [ ˆLz,Lˆ2y] + [ ˆLz,Lˆ2z]
= [Lz, Lx]Lx+Lx[Lz, Lx] + [Lz, Ly]Ly+Ly[Lz, Ly]
= i¯h(LyLx+LxLy−LxLy−LyLx) = 0 (b) Warum Eigenwertl(l+ 1) und nichtl2
ˆl−ˆl+Fl,m = (ˆlx−iˆly)(ˆlx+iˆly)Fl,m
= (ˆl2x+ ˆly2+iˆlxˆly−iˆlyˆlx)Fl,m
= (ˆl2−ˆl2z−¯hˆlz)Fl,m
= (ω2¯h2−m2¯h2−m¯h2)Fl,m
SetzeFl,m=Fl,mmax =Fl,l
dann gilt ˆl+Fl,mmax = 0 oder damitω2=m2max−mmax= 0 ω2=mmax(mmax+ 1) =l(l+ 1)
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