Allgemeine Mechanik – WS 05/06 – Prof. M. Gaberdiel
Ubungsserie I ¨
Abgabe: 7.11.2005
Aufgabe 1 [Galilei-Gruppe ]: Zeige, dass die Galilei-Transformationen x′ =Rx+vt+b (R ∈O(3),v,b∈R3)
t′ =±t+a (a ∈R3) (1)
eine Gruppe bilden.
Aufgabe 2[Galilei-Invarianz]: Betrachte ein mechanisches System vonN Massenpunk- ten imR3 mit dem Kraftgesetz
mix¨i =−∇x
iV(x1, . . . ,xN), (2)
wobei das Potential invariant unter den euklidischen Transformationen ist, also
V(Rx1+a, . . . , RxN +a) =V(x1, . . . ,xN). (3) (i) Zeige die Galilei-Invarianz des Kraftgesetzes, d. h. wennxi(t) eine L¨osung des Kraft-
gesetzes (2) ist, so ist x′i(t′) eine L¨osung von mix¨′i =−∇
x′iV(x′1, . . . ,x′N).
(ii) Betrachte den Fall zweier (N = 2) Massepunkte, die zur Anfangszeit in Ruhe sind.
Zeige, dass die Bewegung der beiden Punkte in der Geraden verl¨auft, die die An- fangslagen enth¨alt.
(iii) Wie sieht die entsprechende Behauptung f¨ur drei (N = 3) Massepunkte aus?
(iv) Zeige, dass man f¨ur zwei Massepunkte (die zur Anfangszeit nicht notwendigerweise in Ruhe sind) immer ein Inertialsystem finden kann, in dem die Bewegung in einer Ebene verl¨auft.
Aufgabe 3[Zeitabh¨angige Rotationen]: SeiR(t) eine zeitabh¨angige Rotation, alsoR(t)∈ SO(3).
(i) Seix(t) =R(t)ymit festem Vektory. Zeige, dass ˙x= Ωxgilt, wobei sich die lineare Abbildung Ω :R3 →R3 als Ωx=ω∧x schreiben l¨asst. Den Vektor ω nennt man die Winkelgeschwindigkeit.
(ii) Sei Ω (bzw. ω) zeitunabh¨angig. Berechne R(t) durch Summation der Exponential- reihe
R(t) = exp(Ωt)≡ X∞ n=0
1
n!(Ωt)n. (4)
