¨Ubungsserie 11 Abgabe: 06.02.2006

Allgemeine Mechanik – WS 05/06 – Prof. M. Gaberdiel

Ubungsserie 11 ¨

Abgabe: 06.02.2006

Aufgabe 1 [Addition von relativistischen Geschwindigkeiten ]:

Die Lorentztransformation Λ^x(v), die zwei Inertialsysteme mit Relativgeschwindigkeit v inx-Richtung miteinander verbindet, ist gegeben durch

Λ^x(v) : (t, x, y, z)7→(ˆt=γ(t−βx/c),xˆ=γ(x−βct),yˆ=y,zˆ=z), (1) wobei β(v)≡v/c und γ(β)≡1/p

1−β².

(i) Zeige explizit, dass die sukzessive Anwendung zweier solcher Lorentzboosts in x- Richtung Λ^x₁(v₁) : (t, x) 7→ (ˆt,x) und Λˆ ^x₂(v₂) : (ˆt,x)ˆ 7→ (˜t,x) wiederum einen Lor-˜ entzboost Λ^x₁₂(v₁₂) = Λ^x₂(v₂)Λ^x₁(v₁) in x-Richtung ergibt. Bestimme die zugeh¨orige Geschwindigkeit v₁₂(v₁, v₂) als Funktion von v₁ und v₂.

(ii) Betrachte nun den Fall der Hintereinanderschaltung eines Lorentzboosts Λ^x₁(v₁) in x-Richtung, und eines Lorentzboosts Λ^y₂(v₂) in y-Richtung. Zeige, dass die Hinter- einanderschaltung dieser beiden Lorentzboosts Λ^y₂Λ^x₁ als Hintereinanderschaltung eines Boosts bzgl. eines gedrehten Koordinatensystems (R₁^z)⁻¹Λ^x₁₂(v₁₂)R^z₁ und einer anschliessenden Rotation um die z-Achse R^z₁₂(φ₁₂) geschrieben werden kann. Was sind nun Richtung φ₁₂ und Betragv₁₂ der Relativgeschwindigkeit?

Hinweise: Zeige in einem ersten Schritt, dass das Transformationsverhalten der Zeit

˜t(t, x, y) durch eine Rotation R₁^z(φ₁) und einen Boost Λ^x₁₂(v₁₂) erzeugt werden kann. Ei- ne anschliessende Rotationen ¨andert daran nichts mehr. Versuche nun in einem zweiten Schritt durch Nachschalten einer Rotation R^z₂(φ₂) auch f¨ur die r¨aumlichen Koordinaten x und y das korrekte Transformationsverhalten zu erreichen. Somit ist

Λ^y₂Λ^x₁ =R^z₂Λ^x₁₂R^z₁ = (R₂^zR^z₁)(R₁^z)⁻¹Λ^x₁₂R^z₁. (2) Pr¨ufe zur Kontrolle, ob du im nichtrelativistischen Limes das klassische Ergebnis erh¨altst.

Aufgabe 2 [Comptonstreuung ]:

Ein Photon der Wellenl¨ange λ_i wird an einem ruhenden Elektron der Masse m_e elas- tisch gestreut. Nach dem Stoss hat das Photon die Wellenl¨ange λ_f und ist um den Win- kel θ relativ zur urspr¨unglichen Einfallsrichtung abgelenkt. Benutze die (relativistische) Energie- und Impulserhaltung, um zu zeigen, dass die ¨Anderung der Wellenl¨ange des Photons

λ_f −λ_i = h

mec(1−cosθ) (3)

betr¨agt. Der in der Formel auftretende Proportionalit¨atsfaktor λ_c ≡ h/(m_ec) ≈2.43 pm wird als Comptonwellenl¨ange des Elektrons bezeichnet.

Hinweise: Ein Photon mit Wellenl¨ange λund Frequenzν = 1/λhat die Energie E =hν.

Da das Photon keine Masse hat, ist die Energie mit dem Impuls durchE =pcverbunden.

Aufgabe 3 [Auto-Paradoxon ]:

(i) Ein 4 m langes Auto f¨ahrt mit grosser Geschwindigkeit, die Lorentzfaktor γ = 2 entspricht, in eine (sehr stabile) Garage der L¨ange 3 m. Die Garage habe an ihren beiden Enden Tore, die zun¨achst ge¨offnet seien. F¨ur einen Garagenw¨arter ist das Auto 2 m lang. Er urteilt, dass das Auto zwischenzeitlich mit seiner vollen L¨ange in die Garage passt. Aus Sicht des Autofahrers ist die Garage nur 1.5 m lang. Folglich urteilt er, dass sein Auto zu keinem Zeitpunkt in die Garage passt. Erkl¨are, warum die Sichtweisen der beiden Beobachter kein Paradox darstellen.

(ii) Das Tor am hinteren Ende der Garage sei nun geschlossen. Der Garagenw¨arter ur- teilt, dass das Auto, nachdem es vollst¨andig in der Garage verschwunden ist, 1 m Bremsweg hat bevor es an die Wand st¨osst. Sobald das Auto vollst¨andig innerhalb der Garage verschwunden ist, werde deshalb in der Garage ein Bremsmechanismus ausgel¨ost, der auf die Vorder- und Hinterr¨ader des Autos gleichermassen einwirkt und das Auto so zum Stehen bringt. Gleichzeitig wird das hintere Garagentor ge- schlossen. Das Auto befindet sich dann f¨ur alle Zukunft vollst¨andig in der Garage.

Der Autofahrer ist verwirrt ¨uber diesen Umstand, weil nach seinem Urteil das Au- to bis zum Bremsman¨over mindestens 2.5 m aus der Garage herausragen muss. Er f¨urchtet, dass ihm das Garagentor das Heck zerst¨oren k¨onnte. Erkl¨are, warum seine Furcht unbegr¨undet ist.

(iii) Er muss sich dennoch Sorgen um sein Auto machen, denn offensichtlich wird das Auto beim obigen Bremsman¨over auf mindestens 3 m komprimiert, egal, aus wel- chem Material es besteht. Wie ist das zu erkl¨aren? Wie muss das Auto abgebremst werden, um eine Kompression zu vermeiden?

Hinweise:Die Aussage, dass das Auto in die Garage passt, hat keine absolute Bedeutung, sondern h¨angt vom Bezugssystem ab. Zeichne deshalb in das x-t-Koordinatensystem des W¨arters die Weltlinien des Vorder- und Hinterendes des Autos und der Garage. Wie liegen in diesem Minkowski-Diagramm die ˆx-ˆt-Koordinatenachsen des Autofahrers, und wie lautet folglich seine Interpretation der Ereignisse?

Aufgabe 4 [Zwillingsparadoxon ]:

Ein Raumschiff verlasse die Erde im Jahr 2100. An Bord befindet sich einer von zwei 2080 geborenen Zwillingen. Die Flugroute ist so ausgelegt, dass der Pilot das Raumschiff zun¨achst 5 Jahre lang (Bordzeit) geradlinig beschleunigt, und zwar so, dass der Pilot in seinem Ruhesystem stets die Erdbeschleunigung g sp¨urt, um die Gefahr eines vorzeiti- gen Missionsabbruchs wegen Heimwehs nach der Erde zu verhindern. Danach aktiviert er die Schubumkehr, um mit g in die Gegenrichtung 10 Jahre lang zu beschleunigen. Da- nach kehrt er den Schub wieder um und verlangsamt sich 5 Jahre lang ebenfalls mit der Beschleunigung g um schliesslich auf der Erde zu landen. Der Pilot ist jetzt 40 Jahre alt.

(i) Wie alt ist der auf der Erde zur¨uckgebliebene Zwilling bei Ankunft des Raumschiffs?

(ii) Wie weit entfernte sich das Raumschiff von der Erde?

(iii) Die Zwillinge sind unterschiedlich alt bei Wiederkehr des Raumschiffs. Dies scheint paradox zu sein, denn aus Sicht des Raumschiff-Piloten hat sich der andere Zwil- ling die ganze Zeit bewegt, w¨ahrend er selbst in Ruhe blieb. Begr¨unde, warum das Zwillingsparadoxon nur einen scheinbareren Widerspruch darstellt.

Hinweise:

• Die Behauptung, dass beschleunigte K¨orper nur mit der allgemeinen Relativit¨ats- theorie behandelt werden k¨onnen, ist nicht korrekt. F¨ur die Beschreibung unseres beschleunigten Raumschiffs reicht die spezielle Relativit¨atstheorie v¨ollig aus. Also nicht bereits bei diesem Irrtum aufgeben.

• Die Schwierigkeit der Aufgabe besteht darin, die Form der Weltlinie der Rakete im Inertialsystem der Erde zu berechnen. Dazu reicht es aus, das erste Viertel der Reise mit positiver Beschleunigung g zu verstehen, die weiteren Streckenabschnitte ergeben sich dann durch Umkehren der Beschleunigung bzw. andere Anfangsbedin- gungen. Ist die Weltlinie der Rakete x^µ(τ) im Inertialsystem der Erde als Funktion der Eigenzeit τ des Raumschiffs einmal bekannt, kann die zur¨uckgelegte Distanz und die entsprechende irdische Zeit direkt abgelesen werden.

• Bei Start und Landung sp¨urt der Pilot wegen des Schwerefelds der Erde andere Beschleunigungskr¨afte als mg. Die Beschleunigung der Weltlinie des Raumschiffs relativ zum erdfesten Bezugssystem sei aber dennoch derart, dass sie im instantanen Ruhesystem des Piloten stets betragsm¨assig g betrage.

• Die eigentliche Berechnung der Weltlinie kann auf unterschiedliche Arten ausgef¨uhrt werden. Die Grundidee ist immer, eine Differentialgleichung f¨ur die Geschwindig- keit v des Raumschiffs im erdfesten Inertialsystem aufzustellen. Alternativ kann auch eine der Geschwindigkeit verwandte Gr¨osse wie u^µ oder γ verwendet werden.

Anschliessende Integration der L¨osung f¨ur die Geschwindigkeit liefert dann die ge- suchte Weltlinie x^µ. Hier werden zwei Methoden (c= 1) angeboten:

(i) Variante Vierergeschwindigkeit u^µ(τ) des Raumschiffs

– Begr¨unde, weshalb im instantanen Ruhesystem der Rakete f¨ur die Vierer- geschwindigkeit ˆu(τ) folgendes gilt:

d dτ

uˆ₀ ˆ u₁

=g

0 1 1 0

ˆ u₀ ˆ u₁

. (4)

– Zeige, dass diese Gleichung kovariant ist, und deshalb auch f¨ur die Viererge- schwindigkeitu^µ(τ) im erdfesten Inertialsystem g¨ultig ist. Durch Ableiten nach τ erh¨alt man die leicht l¨osbare Differentialgleichung

d²

dτ²u^µ(τ) =g²u^µ(τ). (5) (ii) Variante Geschwindigkeit v(t) des Raumschiffs

– Zeige, dass der Zusammenhang zwischen der Eigenzeit des Piloten τ und der Eigenzeit des erdfesten Zwillings t durch die Differentialgleichung

dt(τ)

dτ =γ(v(t(τ))) (6)

gegeben ist.

– Zeige, dass der Zusammenhang zwischen der konstanten Beschleunigung im instantanen Ruhesystem des Raumschiffs und der Beschleunigung im erdfesten Inertialsystem durch

dv(t)

dt = d²x(t) dt² = 1

γ³

d²x(τˆ )

dτ² = g

γ³(v(t)) (7)

gegeben ist und folgende L¨osung hat (die Integrationskonstante sei u1(0)) v(t) = gt+u₁(0)

p1 + (gt+u₁(0))². (8)

• F¨ur die Weltlinie auf einem Abschnitt mit konstanter Beschleunigung g und den Anfangsbedingungen f¨ur die Rapidit¨at (entspricht der Geschwindigkeit) χ₀ = χ(0) mit χ(τ) ≡ arcsinh(u₁(τ)) = arctanh(v(τ)) und Koordinaten t₀, x₀ erh¨alt man schliesslich f¨ur den Abstand x des Raumschiffs zur Erde und die irdische Eigenzeit t

t(τ) x(τ)

= t₀

x0

+ τ

χ(τ)−χ₀

sinhχ(τ)−sinhχ₀ coshχ(τ)−coshχ0

mit χ(τ) =gτ+χ₀. (9)