Die Betragsfunktion mathphys-online

Aufgaben und Lösungen



Aufgabe 2

Schreiben Sie folgende Funktionsterme h_i(x) betragsfrei und geben Sie jeweils die Definitions- menge an.

Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen h_i mit den entsprechenden Punkten auf der Nahtstelle, sofern sie definiert sind.

a) h1 x( ) x2  x1 b) h2 x( ) x3  x2 c) h3 x( ) x2

x1



d) h4 x( ) x 1 x1  1



Teilaufgabe a)

Funktionsterm: h1 x( )  x2  x 1 Definitionsmenge: D=IR

Fallunterscheidung:

1. Fall: x 20x10 auflösen x 1x Funktionsterm: x 2  x 1 annehmen x 1 3 2. Fall: x 20x10 auflösen x x2 Funktionsterm: x 2  x 1 annehmen x 2 3 3. Fall: x 20x10 auflösen x  2x1

Funktionsterm: x 2  x 1 annehmen2x1 2 x 1

4. Fall: xx 2200xx1100 auflösen xauflösen x   keine Lösung

h1 x( ) 3 if x2

2 x 1 if 2x1 3 if x1



5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1 1 2 3 4 5 Graph von h1

x-Achse

y-Achse

Teilaufgabe b)

Funktionsterm: h2 x( )  x2  x 3 Definitionsmenge: D=IR

Fallunterscheidung:

1. Fall: x 20x30 auflösen x 2x Funktionsterm: x 2  x 3 annehmen x 2 2 x  1

2. Fall: x 20x30 auflösen x x3 Funktionsterm: x 2  x 3 annehmen x 3 2 x 1 3. Fall: x 20x30 auflösen x  3x2 Funktionsterm: x 2  x 3 annehmen3x2 5

4. Fall: xx 2200xx3300 auflösen xauflösen x   keine Lösung

h2 x( ) 2 x 1 if x3 5 if 3x2 2 x 1 if x2



5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

x-Achse

y-Achse

Teilaufgabe c)

Funktionsterm: h3 x( ) x 2 x 1



Nullstellen des Nenners: x 1=0auflösen x 1 Definitionsmenge: D=IR \ { 1 }

Fallunterscheidung:

1. Fall: x 20x10 auflösen x 2x

Funktionsterm: x 2

x 1 annehmen x 2 x 2 x 1



2. Fall: x 20x10 auflösen x x1

Funktionsterm: x 2

x 1 annehmen x 1 x2 x1



3. Fall: x 20x10 auflösen x  1x2

Funktionsterm: x 2

x 1 annehmen1x2 x2 x1





4. Fall: xx 2200xx1100 auflösen xauflösen x   keine Lösung

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

2

1 1 2 3 4 5 6 Graph von h3

x-Achse

y-Achse

h3 x( ) x2

x1 if x1 x2

x1

 if 1x2 x2

x1 if x2



Teilaufgabe c)

Funktionsterm: h4 x( ) x  1 x 1 1

 Nullstellen des Nenners:

x 1 1=0

annehmen x 1 auflösen x 2

x 1 1=0

annehmen x 1 auflösen x 0

Definitionsmenge: D=IR \ { 0 ; 2 } Fallunterscheidung:

1. Fall: x0x10 auflösen x 1x

Funktionsterm: x  1

x 1  1 annehmen x 1 x1 x2



2. Fall: x0x10 auflösen x x0

Funktionsterm: x  1

x 1  1 annehmen x 0 x1

 x

Funktionsterm: x  1

x 1  1 annehmen 0 x1 x1

 x



4. Fall: xx00xx1100 auflösen xauflösen x   keine Lösung

h4 x( ) x1

x if x0 x1

 x if 0x1 x1

x2 if x1x2



5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1 1 2 3 4 5 Graph von h4

x-Achse

y-Achse