Die Betragsfunktion, Aufgabe 3 - Lösung mathphys-online

(1)

mathphys-online

0 10 20 30 40 50 60 70 80

10 10 20 30 40 50 60

x-Achse

y-Achse

u0

Die Betragsfunktion, Aufgabe 3 - Lösung

Aufgabe mit Anwendungsbezug



Aufgabe 3

Drei Häuser A(0/50), B(20/25) und C(70/40) werden an die Hauptgasleitung (x-Achse) angeschlossen. Die Quartier-Nebenleitung soll rechtwinklig an die Hauptleitung angeschlossen werden und die Hauszuleitungen rechtwinklig an die Nebenleitung.

a) Wo muss die Nebenleitung platziert werden, damit möglichst wenig gegraben werden muss?

Wie groß ist die Länge aller benötigten Rohre.

b) Geben Sie mithilfe von CAS die betragsfreie Darstellung an.

c) Es wird noch ein viertes Haus D(50/15) geplant. Wo muss jetzt die Nebenleitung gelegt werden?

Wie groß ist die Länge aller benötigten Rohre.

d) Geben Sie mithilfe von CAS die betragsfreie Darstellung an.

Teilaufgabe a)

Darstellung

Zielfunktion für die Verbindung dreier Häuser aufstellen:

f u( ) 50 u uxB  u xC ⇒ f u( )  u u20  u 70 50

Position der Nebenleitung: u0 37 Funktionswert: f u0

 

^ ¹³⁷

0 10 20 30 40 50 60 70 80 20

40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Leitungen für drei Häuser

Position u

Länge der Rohre

A u0

C

B

Hauptleitung

Länge der benötigten Rohre: L^ f u0

 

^^m ^L^^{137 m}

Minimale Länge: Lmin f 20( )m Lmin 120 m

___________________________

CAS-F-04_betragsfkt-aufg3-Lsg.xmcd Die Betragsfunktion, Aufgabe 3 Seite 1 von 4

(2)

mathphys-online

Teilaufgabe b)

Zielfunktion für die Verbindung dreier Häuser:

f u( )  u u20  u 70 50

1. Fall: u200u 700 auflösen u 70u

Funktionsterm: f1 u( ) f u( ) annehmen u 70 3 u 40

2. Fall: u200u 700 auflösen u 20u70

Funktionsterm: f2 u( ) f u( ) annehmen 20 u70  u 100

3. Fall: u200u 700 auflösen u u20

Funktionsterm: f3 u( ) f u( ) annehmen u 20 140 u

4. Fall: uu202000uu 707000 auflösen uauflösen u  

Betragsfreie Darstellung:

h u( ) (3 u  40) if u70 u 100

( ) if 20u70 140u

( ) if 0u20

=

___________________________

(3)

mathphys-online

Teilaufgabe c)

Darstellung

Zielfunktion für die Verbindung dreier Häuser aufstellen:

g u( ) 50 u uxB  u xC  uxD

g u( )  u u 20  u50  u 70 50

Position der Nebenleitung: u0 37 Funktionswert: g u0

 

^ ¹⁵⁰

0 10 20 30 40 50 60 70 80

10 10 20 30 40 50 60

x-Achse

y-Achse

u0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 20

40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Leitungen für drei Häuser

Position u

Länge der Rohre

A u0

C

B

D Hauptleitung

Länge der benötigten Rohre: L^ g u0

 

^^m ^L^^{150 m}

Minimale Länge: Lmin g 20( )m Lmin 150 m

___________________________

(4)

mathphys-online

Teilaufgabe d)

Zielfunktion für die Verbindung von vier Häusern aufstellen:

g u( )  u u 20  u50  u 70 50

1. Fall: u200u 700u50 0 auflösen u 70u

Funktionsterm: g1 u( ) g u( ) annehmen u 70  4 u 90

2. Fall: uu202000uu 707000uu5050 00 auflösen uauflösen u  

3. Fall: u200u 700u50 0 auflösen u 50u70

Funktionsterm: g3 u( ) g u( ) annehmen 50 u70  2 u 50

4. Fall: u200u 700u50 0 auflösen u 20u50

Funktionsterm: g4 u( ) g u( ) annehmen 20 u50  150

5. Fall: uu202000uu 707000uu5050 00 auflösen uauflösen u  

6. Fall: u200u 700u50 0 auflösen u u20

Funktionsterm: g6 u( ) g u( ) annehmen u 20 190 2 u

7. Fall: uu202000uu 707000uu5050 00 auflösen uauflösen u  

8. Fall: uu202000uu 707000uu5050 00 auflösen uauflösen u  

Betragsfreie Darstellung:

g u( ) 190 2 u if 0u20 150 if 20 u50

2 u 50

( ) if 50 u70 4 u 90

( ) if u70

=

___________________________