3.5 Der Quantenmechanische Messprozess

(1)

106 KAPITEL 3. DER MATHEMATISCHE APPARAT DER QUANTENMECHANIK Satz 2: Ein unitärer Operator lässt das unitäre Produkt invariant.

Beweis: Sei |Φi= Â|ψi und hΦ|=hψ|Aˆ⁺. Dann gilt für das unitäre Produkt:

hΦ|Φi=hψ|Aˆ⁺Aˆ

| {z }

=1

|ψi

Die folgenden S¨atze gelten f¨ur hermitesche Operatoren.

Satz 3: Hermitesche Operatoren besitzen einen reellen Erwartungswert. Es gilt also f¨ur alle

|ψi ∈ H:

hAˆiψ = hAˆiψ

_∗

Beweis: Hier k¨onnen wir Satz 1 wie folgt benutzen:

hAˆiψ =hψ|Aˆ|ψi=hψ|Aˆ⁺|ψi^∗ =hψ|Aˆ|ψi^∗

Satz 4: Ein hermitescher Operator Â mit Â= Â⁺ besitzt nur reelle Eigenwerte.

Hermitesche Operatoren bilden also eine ad¨aquate Repr¨asentation physikalischer Observabler.

Hierbei liefert die Messung den Eigenwert.

Satz 5: Sei Â ein Operator mit Â = Â⁺. Dann sind die Eigenvektoren |ai und |a^′i zu verschiedenen Eigenwerten a und a^′ orthogonal, d.h.

ha|a^′i=δa,a^′

Beweis: Zun¨achst gilt:

ha^′|Aˆ|ai=aha^′|ai ha^′|Aˆ⁺|ai=a^′ha^′|ai

Betrachte nun die Differenz. Aufgrund der vorigen Ergebnisse gilt dann:

ha^′|Aˆ|ai − ha^′|Aˆ⁺|ai= 0 = (a−a^′)ha^′|ai . Hieraus folgt aber f¨ura 6=a^′ sofort ha^′|ai= 0.

Bemerkungen: Zu Satz 5 sind noch einige Bemerkungen zu machen. Es gibt auch den Fall

“entarteter” Zust¨ande, bei dem die s Eigenvektoren

|a¹_ni, ...,|a^s_ni zum selben Eigenwert an korrespondieren. Es gilt dann

Aˆ|a^j_ni=an|a^j_ni

f¨urj = 1, ..., s. Man spricht vons-facher Entartung. Die{|a^j_ni}bilden dann einens-dimensionalen Unterraum H^an ⊂ H. Das Problem ist nun, dass zwar die Eigenvektoren zu verschiedenen Ei- genwerten orthogonal sind, aber die{|a^j_ni}im allgemeinen nicht untereinander orthogonal sind.

(2)

Die Lösung ergibt sich durch die Konstruktion eines neuen orthogonalen Satzes von Eigenvek- toren {|b^j_ni}. Die neuen Eigenvektoren ergeben sich über eine unitäre Transformation U aus den alten Eigenvektoren. Für alle j gilt:

|b^j_ni=U|a^j_ni= Xs

i=1

c^ji_n |aⁱ_ni

Die gewünschte Eigenschaft hbⁱ_n|b^j_ni = δij legt die Transformation U fest. Ein Beispiel ist das Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt. Anwendung findet dies z.B. bei den ent- arteten Energie-Niveaus im Wasserstoff-Atom, s. Abschnitt 5.4, oder auch im Rahmen der Störungstheorie für entartete Niveaus, s. Abschnitt 7.3.

3.4 Quantenmechanische Zustandsmessung und vollst¨ andige Observable

Wir stellen uns nun die Frage, welche Größen (Observable) zu messen sind, um einen quantenmechanischen Zustand eindeutig zu bestimmen. In der klassischen Mechanik wird der Zustand vonN Teilchen bestimmt durch die Gesamtheit der Koordinaten und Impulse,{q₁, p₁, ..., q_N, p_N}. Alle weiteren Größen wie etwa Energie oder Drehimpuls sind nun Funktionen vonq undp. Ihre Messung liefert keine neuen Informationen. In der Quantenmechanik wird eine ObservableAbe- schrieben durch einen Operator Â, und der Zustand ist bestimmt durch seine Zustandsvektoren

|ψi ∈ H. Die Messung vonAim station¨aren Fall ist dann bestimmt durch das Eigenwertproblem von ˆA,

Aˆ|aii=ai|aii ,

wobei i = 1, ..., N diskret oder kontinuierlich sein kann. Die Eigenwerte ai sind die möglichen Messwerte von A, und die Eigenvektoren |aii die zugehörigen Zustände des Systems nach der Messung.

Definition:Eine ObservableAist vollst¨andig oder maximal, wenn der quantenmechanische Zustand des Systems eindeutig durch die Messung von A bestimmt ist.

Das heißt also, es existiert keine weitere Observable B deren gleichzeitige Messung mit A zusätzliche Informationen liefert. Die mathematische Bedeutung ist hier, dass die Eigenvektoren von Â,{|aii}, die den Operator vollständig bestimmen⁸, eine Basis inH bilden. Jeder Zustand

|ψi ∈ Hist dann darstellbar als Linearkombination der |aii. Für hermitesche Operatoren einer vollständigen Observable lässt sich ein vollständiges Orthonormalsystem (VONS) konstruieren,

hai|aji=δij.

Eine Normierung auf 1 ist immer m¨oglich durch eine entsprechende Skalierung der Zust¨ande.

Beispiel: Wir betrachten ein quantenmechanisches 1-Teilchen System. Die Ortsmessung durch den Operator ˆq ={qˆx,qˆy,qˆz}ist vollst¨andig, was wir war nach den Ergebnissen f¨ur ein Kasten- potential oder den Oszillator erwarten. Die Messung liefert die Vektorenq_i.

ˆ

q|q_ii=q_i|q_ii .

Die Impuls-Messung liefert dann keine zus¨atzlichen Informationen.

8Aufgabe: man begr¨unde diese Aussage.

(3)

108 KAPITEL 3. DER MATHEMATISCHE APPARAT DER QUANTENMECHANIK Praktisches Vorgehen: Sei nun|ψiein beliebiger Zustand des Systems undAeine vollst¨andige Observable. Die Messung vonA im Zustand |ψiliefert einen m¨oglichen Messwert, also a1

oder a2 oder einen anderen. Dann bilden die zugehörigen Eigenzustände, {|aii}, eine Basis in H, die wir als Orthonormalbasis wählen. Die Entwicklung von |ψi nach diesen Basisvektoren ist dann:

|ψi=X

i

ci|aii .

Nun ist die Frage, wie man die Koeffizientenci bestimmt. Dazu bilden wir das unit¨are Produkt mit einem bestimmten Eigenzustand haj| ∈H˜:

haj|ψi=X

i

cihaj|aii

| {z }

δij

=cj,

wodurch wir die Linearkombination von |ψi umschreiben k¨onnen als

|ψi=X

i

|aii hai|ψi=X

i

Pˆi|ψi . (3.12)

wobei wir die Definition (3.11) des Projektionsoperators auf den Zustand|aiiverwendet haben.

Die erste Gleichung (3.12) f¨uhrt uns auf eine außerordentlich n¨utzliche Darstellung des ˆ1- Operators:

ˆ1 =X

i

|aii hai| (3.13)

Dies ist also gleichzeitig eine kompakte Bedingung f¨ur die Vollst¨andigkeit einer Basis.

Zusammenfassung: Der Zustand eine quantenmechanischen Systems ist bestimmt durch eine vollständige Observable A. Die möglichen Messwerte ai sind die Eigenwerte von Â (man spricht auch vom Spektrum von Â). Die möglichen Zustände |aii sind die Eigenvektoren von A. Dieˆ Bedingung für ein VONSist:

hai|aji=δij (3.14)

X

i

|aii hai|= ˆ1 (3.15)

Einen beliebigen Zustand erhalten wir durch Superposition der Basis-Zust¨ande. Hierbei sind die Entwicklungskoeffizienten ci =hai|ψi komplexe Zahlen. Sie bestimmen die Wahrscheinlichkeit, im Zustand|ψi den Eigenwert ai zu messen:

P_|ψi→|a_ii =|ci|² =| hai|ψi |² (3.16) Wir fragen nun, wie diese Wahrscheinlichkeit experimentell bestimmt werden kann.

(4)

3.5 Der Quantenmechanische Messprozess

Ziel dieses Abschnittes ist es, die Messung physikalischer Größen an einem Quantensystem im Zustand |ψi genauer zu untersuchen. Dabei spielt der stochastische Charakter der Messung eine wichtige Rolle. Wie wir gerade gesehen haben, sind die möglichen Messwerte zunächst ver- knüpft mit dem Finden der vollständigen Observablen, A, und des zughörigen Operators, Â.

Dann müssen wir das Spektrum von Âbestimmen. Das heißt, wir suchen alle Eigenwerteaiund alle Eigenvektoren|aii. Anschließend müssen wir die Messung vonAvornehmen. Die Einzelmes- sung liefert hierbei ein zufälliges Resultat, bei dem einer der Eigenwerte a1, a2, . . . ak realisiert wird, d.h., das System befindet sich nach der Messung im Zustand |a1i,|a2i, ...,|aki. Ein wie- derholbares Messergebnis ist daher nur der Erwartungswert. Diesen können wir durch N-fache Wiederholung und anschließende Mittelung mitN → ∞erhalten, genauso wie wir es bereits für den Doppelspalt diskutiert hatten. Durch Verwendung der eben gefundenen Eigenschschaften einer Basis, Glg. (3.15) und (3.16) erhalten wir dann gleichzeitig wichtige Informationen über quantenmechanische Operatoren.

Die Berechnung des Erwartungswertes des Operators Â einer vollständigen Observable, die k Eigenzustände besitzt, in einem beliebigen Zustand |ψi ergibt sich dann zu

hAiψ = lim

N→∞

1 N

XN

j=1

aj

= Xk

i=1

P_|ψi→|aii·ai

= Xk

i=1

| hai|ψi |²·ai

= Xk

i=1

hψ|aii hai|ψi ·ai

=hψ| Xk

i=1

ai· |aii hai|ψi

=hψ| Xk

i=1

aiPˆi

| {z }

= ˆA

|ψi

Aus der letzten Gleichung können wir zwei wichtige Eigenschaften eines quantenmechanischen Operators ablesen: Zum einen bestätigen wir die bereits verwendete Formel für den Erwartungs- wert. Zum anderen finden wir eine neue Darstellung des Operators–die Spektraldarstellung:

Der Erwartungswert im Zustand |ψi und die Spektraldarstellung des Operators ˆA sind gegeben durch:

hAiψ =hψ|Aˆ|ψi (3.17)

Aˆ=X

i

ai|aii hai|=X

i

aiPˆi (3.18)

Wir besprechen dies f¨ur das Beispiel des harmonischen Oszillators. Das Experiment m¨oge Elek- tronen einer bestimmten Ortsverteilung erzeugen, die durch folgenden Superpositions-Zustand

(5)

110 KAPITEL 3. DER MATHEMATISCHE APPARAT DER QUANTENMECHANIK

|ψi gen¨ahert werden kann, der in der Ortsdarstellung in die Wellenfunktion ¨ubergeht:

|ψi →ψ(x) = i

2ψ0(x) +

√3

2 ψ2(x),

mit den Energien En = ~ω(n+ 1/2). Gesucht sei der Mittelwert der Energie, d.h. der Erwar- tungswert des Hamilton-Operators.

1. Dieser Zustand erf¨ullt die Normierung:

1 = Z∞

−∞

|ψ(x)|²dx= 1 4

Z∞

−∞

ψ²0(x)dx+3 4

Z∞

−∞

ψ²2(x)dx,

da hier wieder gilt (Orthonormalit¨at):

Z∞

−∞

dx ψm(x)ψn(x) = δmn

2. Wir entwickeln nun den Zustand |ψi nach den Basisvektoren ψn(x).

ψ(x) = X∞ n=0

hψn|ψi

| {z }

=cn

ψn(x)

Die Koeffizienten ergeben sich also zu:

cn= Z

ψ_n^∗(x)ψ(x)dx

Als Resultat erhalten wirc0 = ₂ⁱ, c1 = 0, c2 = ^√₂³ und cm = 0 f¨ur alle m≥3.

3. Wir berechnen nun den Erwartungswert des Hamilton-Operators:

hHiψ =hψ|Hˆ|ψi

=hψ|X

i

ai|aii hai|ψi

=X

i

aihψ|aii hai|ψ

=X

i

ai| hψ|aii |²

=X

n

| hψn|ψi |²En

= 1

4E0+ 3

4E2 = 2~ω

Die verwendete Darstellung des Zustandes|ψimit Hilfe vonψ(x) ist der Spezialfall derOrtsdar- stellung. Die Superposition vonψ(x) ist beliebig erweiterbar. Außerdem ist die hier betrachtete Basis aus Oszillator-Eigenfunktionen diskret.

Nun wollen wir die Betrachtung auf den Fall einer kontinuierlichen Basis erweitern. Ein Beispiel wären die Eigenfunktionen für den Potentialtopf endilicher Tiefe bei positiven Energien, E > Vmax. Hier sind theoretisch alle Werte für die Energie erlaubt. Galt Vmin < E < Vmax

(6)

so waren die möglichen Energiewerte diskret. Die Idee ist nun, den kontinuierlichen Fall auf den bereits bekannten diskreten zurückzuführen. Nehmen wir also eine Observable ˆB, deren mögliche Eigenwerte b aus einem Intervall [A, B] kommen können. Nehmen wir nun zunächst wieder diskrete Eigenwerte bi aus diesem Intervall, die jeweils einen Abstand ∆b zueinander haben.

Abbildung 3.2: Ann¨aherung eines kontinuierlichen Eigenwertintervalls durch eine diskrete Ein- teilung

Bezeichnen wir also deni-ten Zustand bei der Breite ∆b durch|bi∆biso fordern wir, dass diese Zust¨ande ein VONS bilden. Also:

|bi∆bi →X

i

|bi∆bi hbi∆b|= 1 hbi∆b|bj∆bi=δij.

Wollen wir nun einen beliebigen Zustand |ψials Superposition dieser Basiszust¨ande darstellen, so erweitern wir die gewohnte Projektionsdarstellung mit ∆b und bilden dann den Grenzwert

∆b→0, wodurch gleichzeitig bi gegen die kontinuierliche Variable b geht:

|ψi= lim

∆b→0

X

i

|bi∆bi hbi∆b|ψi

∆b ∆b

Nun definieren wir:

∆blim→0

|b√i∆bi

∆b =|bi und ebenso:

∆blim→0

hbi√∆b|ψi

∆b =ψ(b) =hb|ψi

Der Zustand |bi aus einem kontinuierlichen Spektrum von Zuständen nimmt nun den Platz des diskreten Zustandes|biiaus den diskreten Eigenzuständen an. Diese intuitive Definition ist mathematisch nicht ganz unproblematisch. Für diskrete Zustände können wir Operatoren durch Matrizen ausdrücken. Das Produkt zweier Operatoren ist dann das Matrixprodukt. Gedanklich tauschen wir nun die Summe der Matrixmultiplikation durch ein Integral und haben uns eine kontinuierliche Matrix vorzustellen. Hierbei ist der Begriff “Matrix” im verallgemeinerten Sinne zu verstehen. Ein weiteres Problem ist, dass|bikein Vektor mehr aus dem Hilbertraum ist (seine Norm ist unendlich). Rechnerisch machen diese Aspekte aber keine Probleme. Mathematisch korrekt wird dies durch die Theorie der Distributionen beschrieben (s.u.). In der kontinuierlichen Superposition⁹ drücken wir nun den Zustand |ψi aus durch:

|ψi= ZB

A

|bi hb|ψidb

= Z

ψ(b)|bidb

9Dies kann man sich vorstellen wie den ¨Ubergang von einer Fourier-Reihe zum Fourier-Integral (Fourier- Transformation).

(7)

112 KAPITEL 3. DER MATHEMATISCHE APPARAT DER QUANTENMECHANIK Hierbei nimmt die Vollst¨andigkeitsrelation auch die Form eines Integrals an:

ˆ1 = ZB

A

|bi hb|db

Ebenso müssen natürlich zwei Zustände |bi und |b^′ieine Orthogonalitätsbedingung erfüllen:

hb|b^′i= lim

∆b→0

hbi∆b|bi∆bi

∆b

= lim

∆b→0

δbb^′

|∆b| =δ(b−b^′)

Im kontinuierlichen Fall wird also das Kronecker-Symbol durch eine Delta-Funktion ersetzt. Es gilt außerdem:

hψ|ψi= Z

hψ|bi hb|ψidb

= Z

ψ^∗(b)ψ(b)db

Hierbei ist ψ(b) = hb|ψi die Darstellung des Zustanden |ψi in der Basis {|bi}. Der Anfangs- ausdruck war der für die Norm des Zustandes |ψi, die wir üblicherweise gleich 1 wählen. Das Endergebnis zeigt dann die uns bereits bekannte Normierungsbedingung der Wellenfunktion ψ(x) in der Ortsdarstellung, wennb →xgewählt wird. Allerdings ist der gefundene Ausdruck viel allgemeiner, da hierb eine beliebige kontinuierliche Variable ist.

Eigenschaften der Delta-Distribution

Wir erw¨ahnen nun im folgenden einige Eigenschaften der Diracschen Delta-Distribution¹⁰. 1. Die Delta-Funktion verkn¨upft zwei Funktionswerte einer Funktion ψ an den Stellenbund

b^′ miteinander:

ψ(b^′) =hb^′|ψi= Z

hb^′|bi hb|ψidb= Z

δ(b−b^′)ψ(b)db.

2. Ist nun ψ die 1-Funktion, so erhalten wir:

Z

δ(b−b^′)db= 1. (3.19)

3. Die Delta-Funktion δ(b − b^′) ist der Integral-Einheitsoperator. Dies lässt sich für ein vollständiges Funktionensystem umschreiben:

(a) F¨ur ein diskretes VONS, mit

ˆ1 = X^∞

n=0

|ni hn|

ergibt sich folgende Darstellung der Delta-Funktion:

δ(b−b^′) = hb|b^′i= X∞ n=1

hb|ni hn|b^′i. (3.20)

10Im Folgenden verwenden wir die ¨ubliche Bezeichnung “Delta-Funktion”.

(8)

(b) F¨ur ein kontinuierliches VONS

ˆ1 =Z

|yi hy|dy

ergibt sich anaolg:

δ(b−b^′) =hb|b^′i= Z

hb|yi hy|b^′idy= Z

y(b)y^∗(b)dy (3.21) 4. Durch partielle Integration l¨asst sich leicht

x d

dxδ(x) = −δ(x) (3.22)

zeigen.

5. Die Fourierdarstellung der Delta-Funktion ist:

2πδ(x) = Z∞

−∞

e^ixydy

6. M¨ochte man einen Faktor a aus dem Argument der Delta-Distribution herausziehen, so geschieht das gem¨aß:

δ(ax) = 1

|a|δ(x).

7. Die dreidimensionale Delta-Funktion (kartesische Koordinaten) ist gegeben durch:

δ(r−r^′) =δ(x−x^′)δ(y−y^′)δ(z−z^′).

8. Die Delta-Funktion ist achsensymmetrisch:

δ(x) =δ(−x).

9. Es gilt:

δ(x)·x= 0.

10. Seiϕ(x) eine stetig differenzierbare Funktion, die an den Stellenxinur einfache Nullstellen hat. Dann gilt:

δ[ϕ(x)] =X

i

δ(x−xi)

|ϕ^′(xi)| .

Man beachte, dass die Deltafunktion dimensionsbehaftet ist, wie man leicht aus dem Integral (3.19) ersieht:

[δ(x)] = 1 [x].