Darstellungssatz von Riesz in vollständig regulären Räumen

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Darstellungssatz von Riesz in vollst¨ andig regul¨ aren R¨ aumen

Carina P¨oll 0726726

Wintersemester 2012

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Definitionen und Resultate aus der Topologie 1

3 Der Darstellungssatz von Riesz in vollständig regulären Räumen 2

4 Literatur 10

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1 Einleitung

Ziel ist es den Darstellungssatz von Riesz für vollständig reguläre Räume zu formulieren und zu beweisen. Die aus der Analysis 3 Vorlesung bekannte Version des Darstellungs- satzes von Riesz gilt für lokal-kompakte Hausdorff-Räume. Es seienX ein topologischer Raum, K das System der kompakten Mengen und B=B(X) die σ-Algebra der Borel- Mengen von X.

Darstellungssatz von Riesz. Es seien X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum und I: C_c(X)→K eine positive Linearform. Dann esistiert genau ein Radon-Maß µ: B→ [0,∞], so dass

I(f) = Z

X

f dµ, und das Maß µ erf¨ullt

µ(K) = inf{I(f) :f ∈C_c(X), f ≥χ_K} f¨ur alle K ∈K, µ(A) = sup{µ(K) :K ⊂A, K ∈K} f¨ur alle A ∈B.

2 Definitionen und Resultate aus der Topologie

Zunächst werden wichtige Begriffe definiert, die für den Darstellungssatz von Riesz später verwendet werden. Zur Erinnerung einige Definitionen aus der Analysis 2.

Definition 2.1. SeiXeine nichtleere Menge undT ⊂ P(X) ein System von Teilmengen von X. Erf¨ullt T die folgenden Eigenschaften

1. ∅ ∈ T,X ∈ T.

2. F¨urO1, O2 ∈ T gilt O1∩O2 ∈ T.

3. IstI eine Indexmenge und O_i ∈ T, i∈I, so folgt ∪_i∈IO_i ∈ T

so heißtT eine Topologie aufX. Die Elemente vonT heißen offene Mengen und (X,T) heißt topologischer Raum.

Definition 2.2. Sei (X,T) ein topologischer Raum und x ∈ X. Eine Menge U ⊆ X heißt Umgebung von x, wenn es eine offene Menge O ∈ T gibt mit x ∈ O ⊆ U. Der Umgebungsfilter von x wird mit U(x) bezeichnet und ist die Menge aller Umgebungen von x.

Definition 2.3. Ein topologischer Raum (X,T) heißt T2-Raum oderHausdorff-Raum, wenn es zu je zwei Punkten x, y ∈ X mit x 6= y, disjunkte offene Mengen Ox und Oy

gibt, sodassx∈O_x, y ∈O_y.

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Definition 2.4. Sei (X,T) ein topologischer Raum. Eine Menge A ⊆ X heißt abgeschlossen, wenn A^c offen ist.

Definition 2.5. Ein System {U_i: i ∈ I} offener Teilmengen von X heißt eine offene Uberdeckung¨ von A ⊂ X, falls A ⊂ S

i∈IUi. Eine Teilmenge J der Indexmenge I heißt eine Teil¨uberdeckung, fallsS

i∈JU_i eine ¨Uberdeckung vonA ist.

Definition 2.6. Eine TeilmengeK eines topologischen Raumes X heißtkompakt, wenn jede offene ¨Uberdeckung eine endliche Teil¨uberdeckung besitzt.

Satz 2.7. Jede kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raums ist abgeschlossen.

Satz 2.8. In einem Hausdorff-Raum lassen sich zwei disjunkte kompakte Mengen A, B trennen. Das heißt es gibt disjunkte offene MengenO_AundO_B, sodassA⊂O_A, B ⊂O_B. Definition 2.9. Ein topologischer Raum (X,T) heißtregul¨ar, wenn sich abgeschlossene MengenA und einpunktige Mengen{x}mit x /∈A trennen lassen, das heißt es existiert O_x, O_A∈ T :A ⊂O_A, x∈O_x, O_x∩O_A=∅.

Definition 2.10. Es sei (X,T) ein topologischer Raum. X heißt vollst¨andig regul¨ar, wenn es zu jedem a ∈ X und jeder abgeschlossenen Menge F ⊂ X mit a /∈ F eine stetige Funktionf: X →[0,1] gibt mit f(a) = 0 und f|_F ≡1.

Satz 2.11. Jeder vollständig reguläre Raum ist regulär.

Definition 2.12. Ein topologischer Raum (X,T) heißt normal, wenn sich abgeschlossene Mengen A, B trennen lassen, das heißt es existiert O_A, O_B ∈ T : A ⊂ O_A, B ⊂ O_B, O_B∩O_A =∅.

Definition 2.13. X heißt lokal-kompakt, wenn jedes a∈ X eine kompakte Umgebung hat.

Satz 2.14. Jeder normale Hausdorff-Raum ist vollst¨andig regul¨ar.

Satz 2.15. Jeder lokal-kompakte Hausdorff-Raum ist vollst¨andig regul¨ar.

3 Der Darstellungssatz von Riesz in vollst¨ andig regul¨ aren R¨ aumen

F¨ur den ganzen Abschnitt gelten folgende Bezeichnungen:

Es seienX ein topologischer Raum,K,Odas System der kompakten bzw. offenen Men- gen undB=B(X) die σ-Algebra der Borel-Mengen vonX, also die kleinsteσ-Algebra, die Oenth¨alt. Ferner seienC(X) der Raum der stetigen Funktionen f: X→K, Cb(X) der Raum der beschr¨ankten Funktionen aus C(X) und C⁺(X) bzw. C_b⁺(X) die Menge

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der nicht-negativen Elemente von C(X) bzw. C_b(X). Im Folgenden bezeichnet K den Skalark¨orper und χA ist die Indikatorfunktion auf A.

Zun¨achst werden einige Eigenschaften von Maßen definiert.

Definition 3.1. Es seienA⊃B eine σ-Algebra undµ: A→[0,∞] ein Maß.

(a) µheißtlokal endlich, wenn zu jedemx∈X eine offene UmgebungU von xexistiert mit µ(U)<∞. Ein lokal endliches Maßµ: B→[0,∞] heißt ein Borel-Maß.

(b) Eine MengeA∈A heißt von innen regul¨ar, falls

µ(A) = sup{µ(K) :K ⊂A, K ∈K},

und µheißt von innen regul¨ar, wenn alle A∈A von innen regul¨ar sind.

(c) Eine MengeA∈A heißt von außen regul¨ar, falls

µ(A) = inf{µ(U) : U ⊃A, U ∈O},

und µheißt von außen regul¨ar, wenn alle A∈A von außen regul¨ar sind.

(d) Eine MengeA∈Aheißtregulär, wenn sie von innen und außen regulär ist. Sind alle A∈A regulär, so nennt man µregulär.

(e) Ein von innen regul¨ares Borel-Maß heißt ein Radon-Maß.

Es gilt als Folgerung der Definition 3.1:

Lemma 3.2. Es seien A⊃B eine σ-Algebra und µ: A→[0,∞] ein Maß.

(a) Ist µ lokal-endlich, so hat jedes K ∈ K eine offene Umgebung U mit µ(U) < ∞.

Insbesondere ist µ(K)<∞ f¨ur alle K ∈K.

(b) Jedes endliche Radon-Maß ist regul¨ar.

(c) Ist µ ein Radon-Maß, so ist jedes K ∈K von außen regul¨ar.

Beweis. (a) Ist K ∈ K, so hat jedes x ∈ K eine offene Umgebung U_x mit µ(U_x) <∞, daµlokal-endlich ist. Da K kompakt ist, wird K von endlich vielen U_x ¨uberdeckt, also

µ(K)≤µ [

i∈I

U_x_i

!

≤X

i∈I

µ(U_x_i)<∞, mit xi ∈K f¨ur alle i∈I und |I| ist endlich.

(b) Sei A ∈ B. Da µ ein Radon-Maß ist, ist A^c von innen regul¨ar, das heißt, f¨ur alle

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ε >0 existiert eine kompakte Menge K ⊂A^c mit µ(A^c)−µ(K)≤ ε. Nun ist µ(A^c) = µ(X)−µ(A), also gilt µ(X\K)−µ(A)≤ε und X\K ist eine offene Umgebung vonA.

Also ist A von außen regul¨ar. Damit ist jedesA ∈B regul¨ar.

(c) Wegen (a) gilt, dass K eine offene Umgebung U mit µ(U) < ∞ besitzt. Da µ von innen regul¨ar ist, existiert zu ε > 0 eine kompakte Menge L ⊂ U\K mit µ(L) ≥ µ(U\K)−ε. Nun ist V :=U\L eine offene Umgebung von K mit

µ(V) = µ(U)−µ(L)≤µ(U)−µ(U\K) +ε =µ(K) +ε.

Somit gilt µ(K) = inf{µ(V) : V ⊃K, V ∈O}, was zu zeigen war.

Folgendes Lemma wird sp¨ater in Beweisen n¨utzlich sein.

Lemma 3.3. Es seien X ein vollst¨andig regul¨arer Hausdorff-Raum, K ⊂ X kompakt und U eine offene Umgebung von K. Dann existiert eine stetige Funtkion ϕ: X →[0,1]

mitϕ|_K = 1, ϕ|_U^c = 0.

Beweis. Da X vollständig regulär ist, existiert zu jedem x ∈ K ein stetiges ϕ_x: X → [0,1] mit ϕ_x(x) = 1, ϕ_x|_U^c = 0 (da U eine offene Umgebung von K ist, kann dasselbe U für alle x ∈ K verwendet werden). Die Mengen Vx := {x ∈ X: ϕx > ¹₂} bilden eine offene Überdeckung von K. Da K kompakt ist, existieren endlich viele x₁, . . . , x_n ∈ K so dassV_x₁, . . . , V_x_n bereits ganzK überdecken. Die Funtkionψ := max(2ϕ_x₁, . . . ,2ϕ_x_n) ist stetig auf X mit ψ|_K >1,ψ|_U^c = 0. Daher leistetϕ:= min(ψ,1) das Verlangte.

Bemerkung: ϕist beschr¨ankt.

Definition 3.4. Eine Linearform I: C_b(X) → K ist positiv, wenn I(f) ≥ 0 f¨ur alle f ∈C_b⁺(X).

Fragestellung: Ist eine positive Linearformen I: C_b(X) → K durch ein Radon-Maß darstellbar?

Gesucht wird also ein Radon-Maßµ, das I darstellt gem¨aß I(f) =

Z

X

f dµ, f ∈C_b(X). (1)

Lemma 3.5. Angenommen es existiert ein Radon-Maß µ, das (1) erf¨ullt, so ist dieses eindeutig.

Beweis. Zu zeigen: Unter der Voraussetzung der Darstellbarkeit von I existiert nur ein darstellendes Radon-Maß µ. Es sei µ ein Radon-Maß auf B mit (1). Es wird µ(K) = inf{I(f) : f ∈C_b(X), f ≥χ_K}f¨ur alleK ∈Kbewiesen um die Eindeutigkeit zu zeigen.

Da f¨ur jedes K ∈ K und f ∈ C_b(X) mit f ≥ χ_K offenbar I(f) ≥ µ(K) ist, gilt µ(K) ≤ inf{I(f) : f ∈ C_c(X), f ≥ χ_K}. Es bleibt

”≥“ zu zeigen. Dazu seien K ∈ K,

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ε >0. Nach Lemma 3.2(c) gibt es eine offene UmgebungU vonK mitµ(U)≤µ(K)+ε, und nach Lemma 3.3 existiert einf ∈Cb(X) mit χK ≤f ≤χU. Nun folgt:

I(f) = Z

X

f dµ≤ Z

X

χ_Udµ=µ(U)≤µ(K) +ε,

und daε >0 und f ∈C_b(X) beliebig war, folgt µ(K)≥inf{I(f) : f ∈C_c(X), f ≥χ_K}.

Also ist µ(K) = inf{I(f) :f ∈C_b(X), f ≥χ_K} f¨ur alle K ∈K bewiesen.

Somit istµ auf K eindeutig bestimmt und, da alle A ∈B von innen regul¨ar sind, ist µ eindeutig.

Es bleibt die Frage der Existenz eines Radon-Maßesµf¨ur die gegebene LinearformI zu diskutieren. Dazu wird der Ansatz

µ₀(K) := inf{I(f) : f ∈C_b(X), f ≥χ_K} f¨ur alle K ∈K (2) verwendet.

Es folgen einige grundlegende Eigenschaften vonµ₀:

Lemma 3.6. Es seienX ein vollständig regulärer Hausdorff-Raum,I:C_b(X)→Keine positive Linearform, und µ₀ sei gemäß (2) definiert. Dann gilt:

(K.1) 0≤µ0(K)≤µ0(L)<∞ f¨ur alle K, L ∈K mit K ⊂L.

(K.2) µ₀(K∪L)≤µ₀(K) +µ₀(L) f¨ur alle K, L∈K.

(K.3) µ₀(K∪L) = µ₀(K) +µ₀(L) f¨ur alle K, L∈K mit K∩L=∅.

(KO) Zu jedem K ∈K und ε > 0 existiert eine offene Umgebung U von K so dass f¨ur alle kompakten L⊂U gilt:

µ₀(L)≤µ₀(K) +ε.

Beweis. (K.1) Zunächst gilt, dass aufgrund der Positivität von I auch µ₀ ≥ 0 ist. Die Endlichkeit folgt, da I nach K abbildet. Nach Lemma 3.3 existiert ein f ∈ C_b(X) mit f ≥χL. Genauso gilt es existiert ein g ∈Cb(X) mitg ≥χK. Da für alle h∈Cb(X), die h ≥ χ_L erfüllen, auch h ≥ χ_K gilt, ist inf{I(h) : h ∈ C_b(X), h ≥ χ_K} ≤ inf{I(h) : h ∈ C_b(X), h≥χ_L} und die Behauptung folgt.

(K.2) Sindf,g ∈C_b(X),f ≥χ_L,g ≥χ_K, so istf+g ∈C_b(X) und f+g ≥χ_L+χ_K ≥ χK∪L, also

µ₀(K∪L)≤I(f +g) =I(f) +I(g),

wobei das Ungleichheitszeichen wegen der Definition von µ0 gilt und die Gleichheit, da I linear ist. Da die Ungleichung für alle f, g gilt, ist sie auch für das Infimum gültig,

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woraus die Behauptung folgt.

(K.3) Wegen (K.2) ist nur noch

”≥“ zu zeigen. Dazu sei h ∈ Cb(X) mit h ≥ χK∪L. Offenbar ist U := L^c eine offene Umgebung von K, und nach Lemma 3.3 existiert ein stetiges ϕ: X → [0,1] mit ϕ|_K = 1, ϕ|_U^c =ϕ|_L = 0. Nun liegen f := hϕ (also f(x) :=

h(x)·ϕ(x), wobei · die Multiplikation in K ist), g :=h(1−ϕ) (alsog(x) =h(x)·(1− ϕ(x)) in C_b(X), f ≥χ_K, g ≥χ_L, f+g =h, und es folgt:

I(h) = I(f) +I(g)≥µ₀(K) +µ₀(L).

Da die Ungleichung für beliebige h ∈ C_b(X) mit h ≥ χ_K∪L gilt, ist sie auch für das Infimum gültig und es folgt µ₀(K∪L)≥µ₀(K) +µ₀(L).

(KO)Laut Definition vonµ₀ existiert zu jedemK ∈Kund zu jedemδ >0 einf ∈C_b(X) mit f ≥χ_K und I(f) ≤µ₀(K) +δ. Offenbar ist U :={x∈X: f(x)> _1+δ¹ } eine offene Umgebung vonK. F¨ur jedes kompakte L⊂U ist (1 +δ)f ≥χ_L und daher

µ0(L)≤I((1 +δ)f) = (1 +δ)I(f)≤(1 +δ)(µ0(K) +δ) =µ0(K) +δ(µ0(K) +δ+ 1).

Durch Wahl von δ so klein, dass δ(µ₀(K) +δ+ 1)< ε gilt, folgt die Behauptung.

Folgendes Lemma besagt, dass µ0 eine Straffheitsbedingung erf¨ullt:

Lemma 3.7. Es seienX ein Hausdorff-Raum und µ₀: K→[0,∞)eine Mengenfunktion mit den Eigenschaften (K.1)-(K.3), (KO) aus Lemma 3.6. Dann gen¨ugt µ₀ folgender Straffheitsbedingung:

(S) F¨ur alle K, L∈K mit K ⊂L ist

µ0(L)−µ0(K) = sup{µ0(C) : C⊂L\K, C ∈K}.

Beweis. Für alle kompakten Mengen C ⊂ L\K ist K ∪ C ⊂ L, K ∩ C = ∅, also µ₀(K) +µ₀(C) = µ₀(K∪C)≤µ₀(L), nach(K.3) und(K.1). Somit istµ₀(L)−µ₀(K)≥ µ₀(C) für alle kompakten C, also gilt die Ungleichung auch für das Supremum. Daher braucht für (S) nur noch

”≤“ bewiesen zu werden.

Dazu sei ε >0. Wegen (KO) existiert eine offene UmgebungU von K, so dass

µ0(H)≤µ0(K) +ε f¨ur alle H⊂U, H ∈K. (3) Nun ist L⊂K^c∪U, wobeiK^c,U offen sind.

Zun¨achst wird gezeigt, dass kompakte Mengen C ⊂ K^c, D ⊂ U existieren, so dass C∪D=L.

Die MengenL\K^c=K undL\U sind disjunkte kompakte Mengen im Hausdorff-Raum, haben also disjunkte offene UmgebungenV, W:

K ⊂V, L\U ⊂W, V ∩W =∅.

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Nun sindC :=L\V,D:=L\W kompakt,C ⊂L\K ⊂K^c,D⊂U, C∪D= (L\V)∪(L\W) = L\(V ∩W) = L, also leisten C, D das Verlangte.

Mit den MengenC,Dvon vorher ist nunµ0(L) = µ0(C∪D)≤µ0(C) +µ0(D) aufgrund von (K.2). Also folgt

sup{µ₀( ˆC) : ˆC ⊂L\K, Cˆ ∈K} ≥µ₀(C)≥µ₀(L)−µ₀(D)≥µ₀(L)−µ₀(K)−ε, daD Ungleichung (3) erf¨ullt. Da ε beliebig war, gilt die Ungleichung

”≤“ in (S).

Satz 3.8. Fortsetzungssatz. Es seien X ein Hausdorff-Raum und µ₀: K → [0,∞) eine Mengenfunktion mit der Eigenschaft (S). Dann gestattetµ0 genau eine Fortsetzung zu einem von innen regul¨aren Maß µ: B→[0,∞], und zwar gilt f¨ur alle A ∈B

µ(A) = sup{µ₀(K) : K ⊂A, K ∈K} (4) Beweis. In 1., Seite 332.

Mit diesem Satz folgt: µ₀ l¨asst sich zu einem von innen regul¨aren Maß µ: B → [0,∞]

fortsetzen und

µ(A) = sup{µ₀(K) : K ⊂A, K ∈K} f¨ur alle A∈B. (5) Dieses Maß µ ist endlich, denn f¨ur jedes K ∈ K ist µ₀(K) ≤ I(χ_X). Also ist nach (5) µ(X)≤I(χ_X)<∞, da I nach K abbildet.

Zusammenfassung der bisherigen Resultate: Zu jeder positiven LinearformI: Cb(X)→ Kexistiert gem¨aß (2), (5) ein endliches Radon-Maß µ: B→[0,∞).

In Satz 3.10 wird gezeigt, dass unter geeigneten Zusatzbedingungen dieses Maß µ die LinearformI im Sinn von (1) darstellt.

Lemma 3.9. Es seien X ein vollst¨andig regul¨arer Hausdorff-Raum, I : C_b(X) → K eine positive Linearform und µ das durch (2), (5) definierte endliche Radon-Maß auf B. Dann ist C_b(X)⊂ L¹(µ), und es gilt:

Z

X

f dµ ≤I(f) f¨ur alle f ∈C_b⁺(X) (6) Beweis. Es ist zu zeigen, dass f¨ur alle f ∈ C_b⁺(X) R

Xf dµ ≤ I(f) gilt. Sei u = Pm

j=1α_jχ_A_j, α₁, . . . , α_m > 0, A₁, . . . , A_m ∈ B disjunkt, eine nicht-negative Treppen- funtktion mitu≤f. AlleA_j,j = 1, . . . , m, haben wegen der Endlichkeit vonµendliches Maß. Zu vorgegebenem 0< ε <min(α1, . . . , αm) existieren daher kompakteKj ⊂Aj mit µ(A_j)−ε≤µ(K_j), aufgrund der Definition von µ. Die disjunkten kompakten K_j haben

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disjunkte offene Umgebungen U_j, j = 1, . . . , m, da X ein Hausdorff-Raum ist. U_j kann als Teilmenge der offenen Umgebung {x∈ X: f(x) > αj −ε} von Kj gew¨ahlt werden.

Zu jedemj = 1, . . . , mexistiert wegen Lemma 3.3 ein ϕ_j ∈C_b(X) mit χ_K_j ≤ϕ_j ≤χ_U_j. Dann ist

g :=

m

X

j=1

(α_j−ε)ϕ_j ∈C_b⁺(X), und g ≤f (aufgrund der Konstruktion).

Da I monoton ist, gilt

I(f)≥I(g) =

m

X

j=1

(α_j−ε)I(ϕ_j)≥

m

X

j=1

(α_j−ε)µ(K_j)≥

≥

m

X

j=1

(αj −ε)(µ(Aj)−ε) = Z

X

u dµ−ε

m

X

j=1

(αj+µ(Aj)−ε).

Da die Ungleichung f¨ur alle ε > 0 g¨ultig ist, folgt R

X u dµ≤I(f) f¨ur alle Treppenfunk- tionen u ≤f. Also gilt es auch f¨ur eine Folge von Treppenfunkionen un → f, n → ∞, womit R

Xf dµ ≤I(f). Somit ist die Behauptung gezeigt.

Es gilt also f¨ur alle f ∈ C_b⁺(X), dass R

Xf dµ < ∞, das heißt C_b⁺(X)⊂ L¹(µ). Da f in L¹(µ) liegt genau dann, wenn R

X|f|dµ <∞ ist, gilt C_b(X)⊂ L¹(µ).

Satz 3.10. Darstellungssatz von Riesz für C_b(X). Es seien X ein vollständig regulärerer Hausdorff-Raum, I : C_b(X) →K eine positive Linearform und µ das durch (2), (5) definierte endliche Radon-Maß. Dann istC_b(X)⊂ L¹(µ), und folgende Aussagen sind äquivalent:

(a) I wird durch µ dargestellt gem¨aß I(f) =

Z

X

f dµ f¨ur alle f ∈C_b(X). (7) (b) µ(X) = I(χX).

(c) Zu jedem ε > 0 existiert ein K ∈ K, so dass I(f) < ε f¨ur alle f ∈ C_b(X) mit 0≤f ≤1, f|K = 0.

Ist eine dieser Bedingungen erf¨ullt, so ist µ das eindeutige Radon-Maß auf B mit (7).

Beweis. (a) ⇒ (b): Setze f =χX in (7).

(b) ⇒ (a): Es genügt (7) für 0 ≤ f ≤ 1 zu zeigen, da wenn f(X) ⊆ [a, b] durch f(x) =˜ ^f^(x)−a_b−a der Bildbereich von ˜f im Intervall [0,1] enthalten ist. Nach Lemma 3.9 ist C_b(X)⊂ L¹(µ), und es gilt (6). Für die andere Richtung wendet man (6) aufχ_X −f ∈ C_b⁺(X) an und erhält

µ(X)− Z

X

f dµ= Z

X

(χ_X −f)dµ≤I(χ_X −f) =I(χ_X)−I(f).

(11)

Aufgrund von (b) folgtI(f)≤R

Xf dµ, und somit folgt (a).

(b) ⇒ (c): Sei ε > 0. Aufgrund der Definition von µ gibt es ein K ∈ K mit µ(K) >

µ(X)−ε. F¨urf ∈C_b(X), 0≤f ≤1,f|_K = 0, gilt gem¨aß(b)µ(X)−I(f) =I(χ_X−f)≥ µ(K) > µ(X)−ε, wobei das erste Ungleichheitszeichen aufgrund der Definition von µ gilt, also I(f)< ε.

(c) ⇒ (b): Nach (6) ist µ(X) ≤I(χ_X), so dass nur noch

”≥“ zu zeigen ist. Dazu seien ε >0 und K ∈K zuε gem¨aß (c) bestimmt. Sei nung ∈C_b⁺(X), 0≤g ≤1,g|_K = 1, so dass I(g)≤µ(K) +ε. Dann ist nach (c)

I(χ_X) = I(g) +I(χ_X −g)≤µ(K) + 2ε≤µ(X) + 2ε.

Da ε >0 beliebig war, folgt die Behauptung.

Eindeutigkeit: siehe Lemma 3.5.

Satz 3.10 gilt sinngem¨aß auch f¨ur Linearformen I auf ganz C(X). Diese Aussage ist Thema von Satz 3.12

Lemma 3.11. Sind X ein vollständig regulärer Hausdorff-Raum, I: C(X) → K eine positive Linearform, f ∈ C⁺(X) und f_n := min(n, f) für alle n ∈ N, so gibt es ein n0 ∈ N, so dass I(f) =I(fn) für alle n ≥ n0. Sind insesondere I, J: C(X) → K zwei positive Linearformen, die auf C_b(X) übereinstimmen, so ist I =J.

Beweis. F¨ur jede Wahl reeller λ_n > 0 gilt g := P∞

n=1λ_n(f −f_n) ∈ C⁺(X). g existiert da die Reihe lokal endlich ist (da f¨ur alle x ∈X ein M ∈N existiert, sodass f(x)≤M in einer Umgebung von x ⇒ f −f_n = 0 in der Umgebung von x f¨ur alle n ≥ M). Aus PN

n=1λn(f −fn) ≤ g folgt PN

n=1λn(I(f)−I(fn)) ≤ I(g) f¨ur alle N ∈ N (und es gilt I(f)−I(f_n)≥0 f¨ur alle n ∈N), deshalb konvergiert die Reihe P∞

n=1λ_n(I(f)−I(f_n)).

Insbesondere gilt λ_n(I(f)−I(f_n)) → 0 f¨ur n → ∞. Da λ_n beliebig war, existiert ein n₀ ∈N mit I(f) =I(f_n) f¨ur alle n≥n₀.

Die zweite Behauptung folgt, da I(h) = I(h_n) = J(h_n) = J(h), h ∈ C(X), h_n ∈ C_b(X).

Bemerkung: f_n ist beschr¨ankt f¨ur allen ∈N.

Satz 3.12. Darstellungssatz von Riesz für C(X). Ist X ein vollständig regulärer Hausdorff-Raum, so gilt der Darstellungssatz 3.10 entsprechend für positive Linearfor- men I: C(X)→K, wenn man überall Cb(X) durch C(X) ersetzt.

Beweis. Zur Einschränkung I|_C_b_(X) gehört ein endliches Radon-Maß µ gemäß (2), (5) und nach Lemma 3.9 gilt (6). Es gilt sogar

Z

X

f dµ≤I(f) f¨ur allef ∈C⁺(X).

(12)

Dazu seienf ∈C⁺(X), n₀ ∈N wie in Lemma 3.11 undf_n := min(n, f). Es gilt Z

X

f_ndµ≤I(f_n) = I(f) f¨ur alle n≥n₀.

Da fn eine monoton steigende Folge von Funktionen ist, die gegen f konvergiert, gilt mit dem Satz der monotonen Konvergenz

Z

X

f dµ= lim

n→∞

Z

X

f_ndµ≤I(f).

Insbesondere folgt C(X)⊂ L¹(µ). Zum Beweis ist noch zu zeigen, dass aus (7) I(f) =

Z

X

f dµ, f ∈C(X)

folgt. Dazu wird f zuerst in den Positvteilf⁺ := max{f,0} und den Negativteilf⁻ :=

max{−f,0} zerlegt. Es gilt f =f⁺−f⁻ und insbesondere I(f) = I(f⁺)−I(f⁻). Da f⁺ und f⁻ inC⁺(X) liegen kann Lemma 3.11 angewendet werden und es gilt

I(f⁺) = I(f_n⁺) = Z

X

f_n⁺dµ= Z

X

f⁺dµ f¨ur alle n≥max{n⁺₀, m⁺}

wobein⁺₀ wie in Lemma 3.11 fürf⁺ gewählt wird und aufgrund der monotonen Konver- genz für jedes ε >0 einm⁺ existiert, sodass

R

Xf⁺dµ−R

Xf_n⁺dµ

< εf¨ur allen ≥m⁺. Analog existierenn⁻₀ und m⁻, sodass

I(f⁻) =I(f_n⁻) = Z

X

f_n⁻dµ= Z

X

f⁻dµf¨ur allen ≥max{n⁻₀, m⁻}.

Daraus folgt

I(f) = I(f⁺)−I(f⁻) = Z

X

f⁺dµ− Z

X

f⁻dµ= Z

X

f dµ.

Eindeutigkeit folgt, da wennJ(f) :=R

Xf dµ,f ∈C(X) eine weitere Linearform ist, gilt aufgrund der Eindeutigkeit aufC_b(X) aus Satz 3.10I =J auf C_b(X). Mit Lemma 3.11 folgt nun I =J aufC(X).

4 Literatur

1. Elstrodt, J¨urgen. Maß-und Integrationstheorie. 2010. Springer.

2. Kaltenb¨ack, Michael. Analysis 2 (Vorlesungsskriptum).

3. Kaltenb¨ack, Michael. Analysis 3 (Vorlesungsskriptum).