folien mathematik I VL 9

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Mathematik I

Vorlesung im Bachelorstudium BAU, EIT, LRT

Prof. Dr. Matthias Gerdts

Institut f ür Angewandte Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen Fakult ät f ür Luft- und Raumfahrttechnik

Universit ¨at der Bundeswehr M ¨unchen (UniBw M) matthias.gerdts@unibw.de http://www.unibw.de/ingmathe

(2)

Mathematik I Prof. Dr. Matthias Gerdts

Allgemeine Vektorr ¨aume

Inhalt und Ziele der Lehreinheit:

I Vektorr ¨aume werden axiomatisch eingef ¨uhrt.

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Allgemeine Vektorr ¨aume

Definition (Vektorraum, linearer Raum)

EinVektorraum(V , +, ·) ¨uber dem Skalarenk ¨orper K = R oder K = C besteht aus einer Menge V , auf der die Addition zweier Elemente und die Multiplikation mit einem Skalar aus K mit den folgendenEigenschaftendefiniert sind:

(a) Abgeschlossenheit: x , y ∈ V =⇒ x + y ∈ V x ∈ V , λ ∈ K =⇒ λx ∈ V (b) Kommutativgesetz: x + y = y + x ∀x, y ∈ V (c) Assoziativgesetz: x + (y + z) = (x + y ) + z ∀x, y , z ∈ V

(d) Existenz eines Nullelements: Es existiert 0 ∈ V (Nullelement), so dass f ¨ur alle

x ∈ V gilt:

(4)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Definition (Vektorraum, linearer Raum)

x ∈ V gilt:

(5)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Definition (Vektorraum, linearer Raum)

x ∈ V gilt:

(6)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Definition (Vektorraum, linearer Raum)

x ∈ V gilt:

(7)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Definition (Vektorraum, linearer Raum)

x ∈ V gilt:

(8)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Definition (Vektorraum, linearer Raum)

(e) Existenz eines additiv inversen Elements: Zu jedem x ∈ V gibt es genau ein

Element y ∈ V mit

x + y = 0

(f) Neutralit ¨at der 1: F ¨ur alle x ∈ V gilt 1 · x = x

(g) Multiplikation mit Skalar: F ¨ur alle x , y ∈ V und λ, µ ∈ K gelten λ(µx ) = (λµ)x

(λ + µ)x = λx + µx λ(x + y ) = λx + λy

(9)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Definition (Vektorraum, linearer Raum)

Element y ∈ V mit

x + y = 0

(λ + µ)x = λx + µx λ(x + y ) = λx + λy

(10)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Definition (Vektorraum, linearer Raum)

Element y ∈ V mit

x + y = 0

(λ + µ)x = λx + µx λ(x + y ) = λx + λy

(11)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Definition (Vektorraum, linearer Raum)

Element y ∈ V mit

x + y = 0

(λ + µ)x = λx + µx λ(x + y ) = λx + λy

(12)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Beispiel

(a) Rnist ein Vektorraum ¨uber K = R und Cnist ein Vektorraum ¨uber K = C.

(b) Die Menge allerstetigen Funktionenauf dem Intervall [0, 1] versehen mit der punktweisen Addition und Multiplikation ist ein Vektorraum.

(c) Die Menge allerPolynome vom H ¨ochstgrad ndefiniert einen Vektorraum ¨uber R.

(d) Die Gerade ( ~_{x (t) ∈ R}2 ~x (t) = t " 1 −1 # , t ∈ R )

definiert einen Vektorraum ¨uber R.

(e) Die Gerade

( ~_{x (t) ∈ R}2 ~x (t) = " 1 0 # +t " 1 −1 # , t ∈ R )

(13)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Beispiel

(e) Die Gerade

( ~_{x (t) ∈ R}2 ~x (t) = " 1 0 # +t " 1 −1 # , t ∈ R )

(14)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Beispiel

(e) Die Gerade

( ~_{x (t) ∈ R}2 ~x (t) = " 1 0 # +t " 1 −1 # , t ∈ R )

(15)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Beispiel

(e) Die Gerade

( ~_{x (t) ∈ R}2 ~x (t) = " 1 0 # +t " 1 −1 # , t ∈ R )

(16)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Beispiel

(e) Die Gerade

( ~_{x (t) ∈ R}2 ~x (t) = " 1 0 # +t " 1 −1 # , t ∈ R )

(17)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Definition (Linearkombination)

Gegeben:

I Vektoren x1, . . . ,xmaus einem Vektorraum

I Zahlen λ1, . . . , λm Dann heißt λ1x1+ . . . + λmxm = m X i=1 λixi eineLinearkombination der Vektoren x1, . . . ,xm.

(18)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Beispiel

Wegen      x1 . . . xn      =x1         1 0 . . . 0         + . . . +xn         0 . . . 0 1         =x1e~1+ . . . +xne~n= n X i=1 xi~ei

(19)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Definition (Lineare Unabh ¨angigkeit, lineare Abh ¨angigkeit)

Seien m ≥ 2 Vektoren x1, . . . ,xmaus einem Vektorraum gegeben.

(a) Die Vektoren xk, k = 1, . . . , m, sindlinear unabh ¨angiggenau dann, wenn aus der Darstellung 0 = m X k =1 λkxk = λ1x1+ . . . + λmxm stets folgt λ1= . . . = λm =0.

(b) Die Vektoren xk, k = 1, . . . , m, sindlinear abh ¨angiggenau dann, wenn es Zahlen λk, k = 1, . . . , m, gibt, die nicht alle Null sind und

0 = m X k =1 λkxk = λ1x1+ . . . + λmxm. erf ¨ullen.

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Allgemeine Vektorr ¨aume

Definition (Lineare Unabh ¨angigkeit, lineare Abh ¨angigkeit)

Seien m ≥ 2 Vektoren x1, . . . ,xmaus einem Vektorraum gegeben.

(a) Die Vektoren xk, k = 1, . . . , m, sindlinear unabh ¨angiggenau dann, wenn aus der Darstellung 0 = m X k =1 λkxk = λ1x1+ . . . + λmxm stets folgt λ1= . . . = λm =0.

(b) Die Vektoren xk, k = 1, . . . , m, sindlinear abh ¨angiggenau dann, wenn es Zahlen λk, k = 1, . . . , m, gibt, die nicht alle Null sind und

0 = m X k =1 λkxk = λ1x1+ . . . + λmxm. erf ¨ullen.

(21)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Beispiel

(a) Die Einheitsvektoren ~e1, . . . , ~en∈ Rn

sind linear unabh ¨angig.

(b) Die Vektoren     1 1 0     ,     1 −1 0     ,     1 1 1    

sind linear unabh ¨angig. (c) Die Vektoren     1 1 0     ,     0 0 −1     ,     1 1 1    

sind linear abh ¨angig, denn es gilt

−     1 1 0     +     0 0 −1     +     1 1 1     = ~0.

(22)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Beispiel

sind linear unabh ¨angig. (b) Die Vektoren     1 1 0     ,     1 −1 0     ,     1 1 1    

sind linear unabh ¨angig.

(c) Die Vektoren     1 1 0     ,     0 0 −1     ,     1 1 1    

−     1 1 0     +     0 0 −1     +     1 1 1     = ~0.

(23)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Beispiel

sind linear unabh ¨angig. (b) Die Vektoren     1 1 0     ,     1 −1 0     ,     1 1 1    

sind linear unabh ¨angig. (c) Die Vektoren     1 1 0     ,     0 0 −1     ,     1 1 1    

−     1 1 0     +     0 0 −1     +     1 1 1     = ~0.

(24)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Definition (Basis, Dimension, Unterraum)

Sei V ein Vektorraum.

(a) Die Menge B ⊆ V heißtBasis von V, wenn sich jedes Element aus Veindeutig

als Linearkombination von Elementen aus B darstellen l ¨asst. Die Elemente in B heißenBasiselementeoderBasisvektoren.

(b) DieDimensiondes Vektorraums V ist definiert als die Anzahl der Basiselemente in B.

Ist B endlich, so ist V einendlichdimensionaler Vektorraum, andernfalls ein

unendlichdimensionaler Vektorraum.

(c) Eine Teilmenge U von V heißtUntervektorraumoderTeilraumvon V , wenn U

(25)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Definition (Basis, Dimension, Unterraum)

(26)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Definition (Basis, Dimension, Unterraum)

(27)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Beispiel

(a) B = { ~e1, . . . , ~en} ist eine Basis des Vektorraums Rn. Die Dimension von Rnist n.

(b) B = (" 1 0 # , " 1 −1 #)

ist eine Basis des R2_{. Die Dimension ist 2.}

(c) B = (" 1 0 # , " 1 −1 # , " 0 1 #)

istkeineBasis des R2_.

(d) Die Menge ( ~_{x (t) ∈ R}2 ~x (t) = t " 1 −1 # , t ∈ R )

definiert einen Untervektorraum des R2_.

(e) Die Menge der elementaren Polynome

{1, x, x2, . . . ,xn}

ist eine (n+1)-dimensionale Basis des Vektorraums der Polynome mit H ¨ochstgrad n.

(28)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Beispiel

(b) B = (" 1 0 # , " 1 −1 #)

(c) B = (" 1 0 # , " 1 −1 # , " 0 1 #)

{1, x, x2, . . . ,xn}

(29)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Beispiel

(b) B = (" 1 0 # , " 1 −1 #)

(c) B = (" 1 0 # , " 1 −1 # , " 0 1 #)

{1, x, x2, . . . ,xn}

(30)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Beispiel

(b) B = (" 1 0 # , " 1 −1 #)

(c) B = (" 1 0 # , " 1 −1 # , " 0 1 #)

{1, x, x2, . . . ,xn}

(31)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Beispiel

(b) B = (" 1 0 # , " 1 −1 #)

(c) B = (" 1 0 # , " 1 −1 # , " 0 1 #)

{1, x, x2, . . . ,xn}

(32)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Beachte:

I Basiselemente einer Basis B sind stetslinear unabh ¨angig.

I Andernfalls k ¨onnten die Elemente eines Vektorraums durch verschiedene Linearkombinationen dargestellt werden, was per Definition einer Basis ausgeschlossen ist.

(33)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Satz

U ⊆ V . U 6= ∅, ist genau dann einUntervektorraum von V, wenn U abgeschlossen

ist, d.h. wenn

x , y ∈ U =⇒ x + y ∈ U

(34)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Definition

Sei V ein Vektorraum und x1, . . . ,xn∈ V gegebene Vektoren. Dann heißt U := ( x ∈ V x = n X k =1 λkxk, λk ∈ R, k = 1, . . . , n )

(35)

Allgemeine Vektorr ¨aume

Beispiel

Der durch ~a =     1 0 −1     und ~b =     1 1 0    

erzeugte Vektorraum (2-dimensional)

lautet U =            λ1+ λ2 λ2 −λ1     λ1, λ2∈ R       

Beachte:Der Nullvektor ~0 ist stets im er-zeugten Vektorraum enthalten.

Ebene durch den Ursprung:

-2-1.5 -1-0.5 0 0.5 1 1.5_{2 -1} -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1

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Allgemeine Vektorr ¨aume

Zusammenfassung:

I Sie haben gelernt, welche Eigenschaften einen Vektorraum ausmachen, so dass

Sie auch in abstrakten Vektorr ¨aumen mit Vektoren arbeiten k ¨onnen. Wichtig ist, dass immer dieselben Rechenregeln gelten.

I Wichtige Begriffe wie lineare (Un-)Abh ¨angigkeit, Basis, Dimension, Untervektorraum wurden eingef ¨uhrt.

I Sie k önnen Vektoren auf lineare Abh ängigkeit oder Unabh ängigkeit pr üfen.

Vektoren sind enorm wichtig! Sie m ¨ussen den Umgang mit ihnen unbedingt beherrschen!

(37)

Thanks for your Attention!

Questions?

Further information:

matthias.gerdts@unibw.de www.unibw.de/ingmathe