Ubung 6 zur Analysis I ¨
Georg Biedermann 30.5.2018 Aufgabe 1:[10 Punkte]
Beschreiben Sie Ihre Rechnungen kurz, aber pr¨azise. Wir benutzen die Schreib- weise
[anan−1. . . a0, a−1a−2. . .]b=anbn+an−1bn−1. . .+a0b0+a−1b−1+a−1b−2+. . . mitaj ∈ {0, . . . , b−1}f¨ur allej∈N, um einenb-adischen Bruch bzgl. einer Basis b6= 10 zu bezeichnen.
1. Stellen Sie den b-adischen Bruch [0,23]b f¨urb= 4 undb= 10 als gek¨urzten Bruch mn dar.
2. Entwickeln Sie 17 als b-adischen Bruch f¨urb= 2 und b= 10.
Aufgabe 2:[10 Punkte]
Beweisen Sie, dass eine Folge (an)n∈N genau dann gegenakonvergiert, wenn lim sup
n→∞
an= lim inf
n→∞ an=a gilt.
Aufgabe 3:[10 Punkte]
Geben Sie einen zur Vorlesung alternativen Beweis der Existenzk-ter Wurzeln in R. Sei a ∈R, a >0 und k∈ N, k ≥2. W¨ahlen Sie dazu ein geeignetes Intervall I0, von dem Sie wissen, dass die k-te Wurzel (falls sie existiert) enthalten ist.
Definieren Sie dann eine Intervallschachtelung (In)n∈N, indem Sie das vorherige Intervall (wie in einigen Beweisen der Vorlesung) halbieren. Zeigen Sie dann, dass das durch die Intervallschachtelung bestimmte Element y eine k-te Wurzel vona ist, indem Sie den Abstand |yk−a|absch¨atzen.
Aufgabe 4:[10 Punkte]
Geben Sie einen zur Vorlesung alternativen Beweis der Existenzk-ter Wurzeln in R. Seia∈R, a >0 und k∈N, k≥2. Zeigen Sie, dass die Menge
M ={x∈R|xk< a}
ein Supremumybesitzt. Beweisen Sie dannyk=a, indem Sie die Aussagenyk < a und yk> azum Widerspruch f¨uhren.
Abgabe: 6.6.2018 bis 10:00 Uhr in D.13.08
Aufgaben f¨ur die ¨Ubungen
Aufgabe: (Tipp zu Aufgabe 3!) SeienA, B∈R. Zeigen Sie, dass es f¨ur alle k∈N eine Konstante C∈R, C >0 (die vonk abh¨angen darf) gibt mit:
|A−B|< ε =⇒ |Ak−Bk|< C·ε.
Aufgabe: (Tipp zu Aufgabe 4!) Zeigen Sie f¨ur 0< δ <1, dass f¨ur alley∈R, y >0 und alle k∈N, dass
(y+δ)k=yk+δ·
k
X
j=1
k j
yk−jδj−1≤yk+δ· (y+ 1)k−yk
gilt.
Aufgabe: (Tipp zu Aufgabe 4!) Zeigen Sie f¨ur 0< δ <1, dass f¨ur alley∈R, y >0 und alle k∈N, dass
(y−δ)k=yk+·
k
X
j=1
k j
(−δ)jyk−j =yk−δ·
k
X
j=1
k j
(−δ)j−1yk−j
≥yk−δ· (y+ 1)k−yk gilt.
