Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 2014/2015 Universität Bielefeld
Präsenzaufgaben zu Analysis 1 Blatt V vom 13.11.14
Aufgabe V.1
Seien K ein geordneter Körper und (an) eine konvergente Folge in K mit a 6= 0 und an6= 0für alle n∈N. Beweisen Sie, dass auch die Folge(bn), definiert durch
bn= 1
an für n∈N, konvergiert.
Aufgabe V.2
Seien K ein geordneter Körper,C(K) der Ring der Cauchy-Folgen in K und N(K) die Untergruppe der Nullfolgen inK (vgl. Vorlesung).
a) Zeigen Sie, dass N(K) ein echtes Ideal inC(K) ist, d.h.
(i) N(K)⊂ C(K),N(K)6=C(K), (ii) ∀a, b∈ N(K) : a−b∈ N(K), (iii) ∀a∈ N(K) ∀b∈ C(K) : ab∈ N(K).
b) Sei X=C(K). Zeigen Sie, dass durch
a∼b, fallsa−b∈ N(K) eine Äquivalenzrelation aufX definiert ist.
Aufgabe V.3
Betrachten Sie die Folgen
an= 1 + 1 n
n
, bn= 1 + 1 n
n+1
fürn∈N,
vgl. Übungsaufgabe IV.4.b.
Zeigen Sie, dass lim
n→∞(an−bn) = 0gilt.
