M4. Mechanische Wellen

Anleitung Mechanik, Stand: 21.08.08, Elmar Breuer

1 M4. Mechanische Wellen

Zu behandelnde Begriffe: fortschreitende und stehende Wellen, Reflexion am offenen und am festen Ende, Eigenschwingungen und Oberschwingungen, Fourier-Analyse/-Synthese, Resonanz, transversale und longitudi- nale Wellen, Wellengleichung und ihre Lösung, Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen auf eingespannten Saiten, Interferenzerscheinungen, Hyperbeln

I Verständnisfragen zur Vorbereitung

1) Definieren Sie transversale und longitudinale Wellen. Geben Sie Beispiele für beide Wellentypen an.

2) stellen die eindimensionale Wellengleichung für die Funktion f(x,t) auf. Was ist die allgemeinste Lösung dieser Gleichung? Welche anschauliche Bedeutung hat die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit?

3) In der Praxis behandeln wir meist ebene Wellen oder Kugelwellen. Geben sie die Form einer ebenen Welle und einer Kugelwelle an für die Messgrösse p(x,y,z,t) (z.könnte das der Druck in einer Schallwelle sein) und definieren sie alle Grössen, die im Funktionsargument vorkommen. Geben sie die beziehungen an zwischen Frequenz, Wellenlänge, Geschwindigkeit, Periodendauer, Wellenzahl k und Kreisfrequenz ω.

Warum spielen diese Wellenformen denn eine so wichtige Rolle in der Physik, obwohl die Form von Wellen extrem vielfältig sein kann?

4) Stellen sie Bedingungsgleichungen dafür auf, dass sich auf Wellenträgern der Länge l eindimensionale ste- hende Wellen ausbilden können. Unterscheiden Sie dabei drei Fälle für die Reflexion an den Enden des Wellen- trägers: zwei feste Enden, zwei lose Enden, ein loses und ein festes Ende.

5) Finden Sie heraus, wie die Fourierspektren von Dreiecks- und Rechteckssignalen aussehen.

6) Wie ist eine Hyperbel mathematisch definiert?

II Versuche

II.1 Qualitative Versuche zur Wellenausbreitung

Für qualitative Versuche zu Experimenten zur Wellenausbreitung und zur Reflexion von Wel- len stehen lange Stahlfedern (und Seile) zur Verfügung.

II.2 Untersuchung von Seilwellen (transversal)

i) Erzeugen Sie zunächst spielerisch stehende Wellen auf einem Gummiband oder auf einem Wollfaden („Seil“). Die Anregung erfolgt durch einen Gleichstrommotor, der an einen Sinus- generator angeschlossen ist. Beobachten Sie, wie klein der Frequenzbereich ist, für den sich eine stabile stehende Welle ergibt. Variieren Sie auch die Seilspannung (Gewicht am Seilen- de) und beobachten Sie die Unterschiede, die sich ergeben.

ii) In diesem Versuchsteil soll bei fester Seilspannung die Ausbreitungsgeschwindigkeit der

Transversalwellen auf dem Seil untersucht werden. Wählen Sie eine Seilspannung für die sich

gut beobachtbar Schwingungsbäuche ergeben. Stehende Wellen mit einem bis zu fünf

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Schwingungsbäuchen sind auf der Apparatur leicht realisierbar und beobachtbar. Bestimmen Sie die Anzahl der Schwingungsbäuche bzw. die Wellenlänge in Abhängigkeit von der Erre- gerfrequenz: Tragen Sie in einem Diagramm die Wellenlänge und den Kehrwert der Wellen- länge gegen die Erregerfrequenz auf. Überprüfen Sie, ob die Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Erregerfrequenz unabhängig ist. Berechnen sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.

(Erneute Durchführung des Versuchs mit veränderter Seilspannung: Untersuchung des Ein- flusses auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit.)

II.3 Akustische Wellen am Kundtschen Rohr

Am Kundtschen Rohr werden entsprechende Untersuchungen für Schallwellen, also für Lon- gitudinalwellen durchgeführt. Ziel ist hier die Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft.

Die Anregung der stehenden Wellen erfolgt durch einen Lautsprecher, an dem ein Sinusgene- rator angeschlossen ist. Die zu stehenden Wellen gehörigen Frequenzen werden hier am leich- testen durch die Amplitudenmaxima aufgespürt, die ein Mikrofon im Kundtschen Rohr, das mit einem Oszilloskop verbunden ist, misst. Regeln Sie also allmählich die Erregerfrequenz hoch und notieren Sie die Werte, für die das Mikrofon Amplitudenmaxima registriert.

Überlegen Sie, wie sie aus der Aufeinanderfolge von Resonanzfrequenzen des Kundtschen Rohres die Schallgeschwindigkeit in Luft ermitteln können. Bestimmen sie die Schallge- schwindigkeit.

II.4 Untersuchung des Frequenzspektrums der Klänge von Musikinstrumenten

Regt man die Wellenträger (Saiten, Luftsäulen) von Musikinstrumenten durch Zupfen oder Blasen zu Schwingungen an, so entsteht auf diesen ein Spektrum von unterschiedlichen Schwingungsmoden. Es überlagern sich alle prinzipiell möglichen stehenden Wellen auf dem Wellenträger additiv.

In diesem Versuchsteil sollen die Klangspektren verschiedener Instrumente, insbesondere von

einem Monochord, verschiedenen Pfeifen und der menschlichen Stimme durch Fourieranaly-

se untersucht werden. Auch die Untersuchung selbst mitgebrachter Instrumente könnte

reizvoll sein. Ein Messmikrophon wird hierzu an ein PC-Oszilloskop angeschlossen. Im ent-

sprechenden Modus liefert das Oszilloskop dann automatisch Fourierspektren der registrierten

Klänge in logarithmischer Darstellung.

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Tipp: Für erste Versuche mit der Fourieranalyse eignet sich als Schallquelle eine Stimmga- bel, die idealerweise nur einen einzelnen Peak liefern sollte.

Vergleichen Sie die Spektren der unterschiedlichen Instrumente miteinander. Lassen sich prinzipiell Unterschiede erkennen? (Eine „gedackte“ (also oben geschlossene) Orgelpfeife sollte sich deutlich von einer nicht „gedackten“ unterscheiden.)

Wenn derselbe Ton mit verschiedenen Vokalen gesungen wird, muss natürlich die Grundfre- quenz diselbe sein. Wodurch unterscheidet sich dann ein A von einem O,U oder I?

II.5 Interferenzen in der Wellenwanne

Für spielerische Experimente zur Interferenz steht eine so genannte Wellenwanne zur Verfü-

gung. Arbeiten Sie mit zwei punktförmigen Erregern. Betrachten Sie die Interferenzerschei-

nungen, während Sie die Erregerfrequenz und die Amplitude variieren. Können Sie erklären,

warum es sich bei den Kurven größter Verstärkung und totaler Auslöschung jeweils um Hy-

perbeln handelt?