++= kzjyixr rrrr = )z,y,x(P

Koordinatensysteme

Kartesische Koordinaten

) z , y , x ( P =

k z j

y i

x

r r r r

r = + +

Betrag des Ortsvektors:

2 2

2

y z

x

r = + +

Abstand zwischen zwei Punkten (x₂,y₂,z₂) und (x₁,y₁,z₁):

( x

x

) (

y

y

) (

z

z

)

d = − + − + −

Volumenelement:

dxdydz

dV =

Zylinderkoordinaten

) z , , (

P = ρ φ

(in der Ebene Polarkoordinaten)

k z j sin i

cos

r r r r

r = ρ φ + ρ φ +

2

2

z

r = ρ +

Abstand zwischen zwei Punkten (ρ₂,φ₂,z2) und (ρ₁,φ₁,z1):

( ^z

^z

)

²

^cos (

)

d = − + ρ + ρ − ρ ρ φ − φ

Volumenelement:

dz d

d

dV = ρ ⋅ ρ φ ⋅

Kugelkoordinaten

) r , , (

P = ϕ ϑ

k cos r

j sin sin

r i cos sin

r

r r r r

r = ϑ ϕ + ϑ ϕ + ϑ

r r = r

Zylinderkoordinaten können folgendermaßen in Kugelkoordinaten umgerechnet werden:

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ρ

ϑ arctan z

2

2

z

r = ρ +

ϕ = φ

Volumenelement:

ϕ ϑ

⋅ ϑ

⋅

= dr rd r sin d

dV

Koordinatentransformationen

Es seien (x,y,z) die Koordinaten eines beliebigen Punktes bezüglich eines Koordinatensystems A. Wir interessieren uns für die Koordina- ten (x’,y’,z’) dieses Punktes, nachdem er um einen Vektor ver- schoben bzw./und um eine vorgegebene Achse gedreht wurde.

rT

r

Translation

Der Punkt (x,y,z) werde um den Vektor ^rrT =^(a,b,c)

von der Position P auf die Position P’ verschoben. Dann gilt für die neuen Koordinaten (x’,y’,z’) des Punktes an der Position P’:

r

r '

r r r

r = +

Im einzelnen haben wir dann:

c z ' z b y ' y a x '

x = + = + = +

y

' v r

v r v r ^T

x

Rotation

Der Punkt P soll um den Winkel φ_D verdreht werden. Wir wählen als Rotationsachse die z-Achse. Allgemein können die Koordinaten eines Punktes bezüglich der gegeneinander verdrehten Systeme durch eine Gleichung der Form

r D ˆ '

r r

r = ∗

ineinander überführt werden. Hier ist die Transformationsmatrix, welche die Koordinaten eines Punktes

D ˆ r r

bezüglich des ruhenden Sys- tems A vor der Drehung in die Koordinaten

r r '

nach der Drehung transformiert. Für die Berechnung der neuen Koordinaten

r r '

aus den alten

r r

gilt:

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

φ φ

φ

− φ

=

1 0

0

0 cos

sin

0 sin

cos D ˆ

D D

D D

Ausmultipliziert erhalten wir:

z ' z cos

y sin

x ' y sin

y cos

x '

x = Φ

− Φ

= Φ

+ Φ

=

In Zylinderkoordinaten gilt einfacher:

z ' z

; '

;

' = Φ + Φ

ρ = ρ =

Φ

Umgekehrt kann man natürlich auch den Übergang von

r r '

nach

r r

berechnen, wenn die Koordinaten bezüglich des verdrehten Systems B bekannt sind:

' r ' D ˆ

r r

r = ∗

Für D’ gilt dann:

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

φ φ

−

φ φ

=

1 0

0

0 cos

sin

0 sin

cos '

D ˆ

D D

D D

' z z cos

' y sin

' x y

sin ' y cos

' x

x = Φ

+ Φ

= − Φ

+ Φ

=

Zusammengesetzte Transformationen

Im allgemeinen Fall kann eine Transformation in eine Translation und eine Drehung zerlegt werden.

Aufeinanderfolgende Koordinatentransformationen sind i.a. in der Reihenfolge durchzuführen, wie sie stattgefunden haben. Insbesondere dürfen mehrere Drehungen nicht in ihrer Reihenfolge vertauscht wer- den.

Wird ein Punkt zuerst um die z-Achse verdreht und dann verschoben, so erhält man:

T A

B

' D ˆ r r

r r r

r = ∗ +

Wird der Punkt P zuerst verschoben und danach um die z-Achse ge- dreht, so gilt:

) r r

( D ˆ '

r

r

r

r = ∗ +

Wenn sich ein Punkt P bewegt, ändern sich die Größen φ_D und rrT

mit der Zeit.