U. Faigle S. Motameny
Ubungsblatt 2 ¨
Diskrete Mathematik WS 06/07
Ausgabe: 27.10.2006 Abgabe: 03.11.2006
Aufgabe 1
Gegeben sei die 4-stellige boolesche Funktion
ϕ(x) = (x1∧x4)∨((x3∨x4)∧(x2∨x4)).
Geben Sieϕ(x) in disjunktiver und konjunktiver Normalform an.
Aufgabe 2
Die in der Vorlesung definierte Menge B={0,1} bildet mit den Operationen∨und
∧einen kommutativen Halbring.
Zeigen Sie: Die Menge aller booleschen Funktionen BM :={ϕ:{0,1}n→ B}
bildet einen kommutativen Halbring unter den Operationen ϕ∨ψ←→(ϕ∨ψ)(x) =ϕ(x)∨ψ(x) ϕ∧ψ←→(ϕ∧ψ)(x) =ϕ(x)∧ψ(x).
Aufgabe 3
SeiM eine m-elementige Menge.
Zeigen Sie: Es gibt genauso viele Teilmengen von M mit gerader wie mit ungerader Anzahl von Elementen.
Aufgabe 4
In einer Universit¨atsstadt seien Mensa (M), Bibliothek (B), H¨orsaalgeb¨aude (H) und Studentenwohnheim (S) durch Einbahnstraßen verbunden. Die Fahrtzeiten zwischen den Geb¨auden sind t(M,B) = 5 min, t(M,H) = 2 min, t(B,S) = 1 min, t(S,M) = 1 min, t(H,S) = 4 min, t(H,B) = 2 min. In allen anderen Fahrtrichtungen d¨urfen die Einbahnstraßen nicht befahren werden.
Stellen Sie eine Distanzmatrix f¨ur die Fahrtzeiten zwischen den Geb¨auden ohne Zwi- schenstation auf. Berechnen Sie die k¨urzeste Fahrtzeit von der Mensa zum Studen- tenwohnheim. ¨Uber wieviele Zwischenstationen f¨uhrt diese k¨urzeste Route?
