Differentialgleichungen f¨ ur Ingenieure WS 06/07

Differentialgleichungen f¨ ur Ingenieure WS 06/07

14. Vorlesung Michael Karow

Uberarbeitete Fassung¨ Thema heute:

• Separation in Kugelkoordinaten, Kugelfunktionen

Kugelkoordinaten

Beziehung zwischen kartesischen und Kugelkoordinaten:

x = ρ sin(θ) cos(φ) y = ρ sin(θ) sin(φ) z = ρ cos(θ)

ρ = p

x² + y² + z²

= (x,y,z) X

ρ θ z

x y

φ

Kugelkoordinaten

Beziehung zwischen kartesischen und Kugelkoordinaten:

x = ρ sin(θ) cos(φ) y = ρ sin(θ) sin(φ) z = ρ cos(θ)

ρ = p

x² + y² + z²

= (x,y,z) X

ρ θ z

x y

φ ρcos( )_θ

Kugelkoordinaten

Beziehung zwischen kartesischen und Kugelkoordinaten:

x = ρ sin(θ) cos(φ) y = ρ sin(θ) sin(φ) z = ρ cos(θ)

ρ = p

x² + y² + z²

= (x,y,z) X

ρ θ z

x y

φ

sin( )_θ ρ

Kugelkoordinaten

Beziehung zwischen kartesischen und Kugelkoordinaten:

x = ρ sin(θ)cos(φ) y = ρ sin(θ)sin(φ) z = ρ cos(θ)

ρ = p

x² + y² + z²

= (x,y,z) X

ρ θ z

x y

φ

sin( )_θ ρ

cos( ) sin( )θ φ

sin( )φ sin( )

ρ

ρ θ

Laplace-Operator in Kugelkoordinaten

Sei u : R³ _→ C eine beliebige Funktion. Wir setzen e

u(ρ, φ, θ) := u(x, y, z), wobei

x = ρ cos(φ) sin(θ), y = ρ sin(φ) sin(θ), z = ρ cos(θ).

e

u ist die Darstellung der Funktion u bez¨uglich Kugelkoordinaten.

Sei u zweimal stetig diff’bar. Wie eine m¨uhselige Rechnung zeigt, gilt dann

∆u(x, y, z) =

∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z²

u(x, y, z)

=

∂²

∂ρ² + 2 ρ

∂

∂ρ + 1 ρ² ∆_S

e

u(ρ, φ, θ), (∗) wobei

∆_S = 1 sin(θ)

∂

∂θ

sin(θ) ∂

∂θ

+ 1

sin(θ)²

∂²

∂φ².

Der Differentialoperator in (∗) ist der Laplace-Operator bez¨uglich Kugelkoordinaten.

Der Differentialoperator ∆_S ist der Laplace-Operator auf der Einheitssph¨are (=Oberfl¨ache der Kugel mit Radius ρ = 1).

W¨armeleitung auf ein einer d¨unnen Kugelschale

Die W¨armeleitungsgleichung f¨ur eine d¨unne Kugelschale vom Radius 1 lautet u(φ, θ, t)˙ −∆_Su(φ, θ, t) = f(φ, θ, t).

Dabei sind alle Materialkonstanten =1 gesetzt. Macht man f¨ur die homogene Gleichung u(φ, θ, t)˙ −∆_S u(φ, θ, t) = 0

einen Separationsansatz u(θ, φ, t) = T(t)Y (θ, φ), dann bekommt man T˙(t)Y (θ, φ)−T(t)∆_S Y (θ, φ) = 0.

Teilen durch T(t)Y (θ, φ) ergibt

T˙(t)

T(t) + −∆_SY (φ, θ)

Y (φ, θ) = 0.

Damit diese Gleichung immer gilt, muessen beide Quotienten konstant sein:

T˙(t)

T(t) = −λ, −∆_S Y (θ, φ)

Y (θ, φ) = λ Die linke Gleichung hat die L¨osungen T(t) = c e^{−λ t}.

Die Rechte Gleichung ist ein Eigenwertproblem f¨ur −∆_S: −∆_SY (θ, φ) = λY (θ, φ).

Selbstadjungiertheit von −∆_S

Das Skalarprodukt f¨ur zwei auf der Einheitssph¨are S = { (x, y, z) | p

x² + y² + z² = 1 } definierte komplexwertige Funktionen u, v : S → C ist definiert durch

hu, vi^S :=

Z

S

u v do =

Z _2π

0

Z _π

0

u(θ, φ)v(φ, θ) sin(θ)dθ dφ

| {z }

=do

Der Operator

−∆_S = −

1

sin(θ)

∂

∂θ

sin(θ) ∂

∂θ

+ 1

sin(θ)²

∂²

∂φ²

ist selbstadjungiert bzgl. dieses Skalarprodukts, denn mit part. Integration beweist man h−∆_S u, vi^S = hu, −∆_S vi^S =

Z 2π 0

Z _π

0

sin(θ) ∂u

∂θ

∂v

∂θ(θ, φ) + 1 sin(θ)

∂u

∂φ

∂v

∂φ(θ, φ)

dθ dφ.

Der Operator −∆_S ist auch positiv definit, denn f¨ur u 6≡ 0 ist

h−∆_S u, ui^S =

Z 2π 0

Z π 0

sin(θ)

∂u

∂θ(θ, φ)

2

+ 1

sin(θ)

∂u

∂φ(θ, φ)

2!

dθ dφ > 0.

Folgerungen: Die Eigenwerte von −∆_S sind alle positiv. Eigenfunktionen zu verschie- denen Eigenwerten sind orthogonal zueinander. Weil es sich bei der Sph¨are um ein endliches ’Gebiet’ handelt, erwarten wir, dass ein vollst¨andiges Orthonormalsystem von Eigenfunktionen existiert, so dass man jede ’vern¨unftige’ Funktion auf der Sph¨are nach diesen Eigenfunktionen in eine unendliche Reihe entwickeln kann.

Auf der n¨achsten Seite wird diskutiert, wie man ein solches Orthonormalsystem be- kommt. Auf die Darstellung der langwierigen Rechnung wird verzichtet.

Das Eigenwertproblem −∆_S Y = λY (∗)

Separationsansatz: Y (θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ), wobei Θ(θ) = P(cos(θ)). Einsetzen des Ansatzes in (∗) liefert f¨ur die gesuchten Funktionen Φ und P die DGL (1) Φ^′′(φ) + m²Φ(φ) = 0

(2) (1− z²)P^′′(z) − 2z P^′(z) +

λ − m² 1 − z²

P(z) = 0, z = cos(θ) ∈ (−1,1) Allgemeine L¨osung von (1):

falls m = 0: Φ(φ) = c1φ + c2,

falls m 6= 0: Φ(φ) = A cos(mφ− φ0) = c1 cos(mφ) +c2 sin(mφ) = e^{c1eimφ +}e^c2e−imφ, wobei A, φ0, c1, c2,e^c1,e^c2 ∈ C beliebige Konstanten sind.

Damit Y (θ, φ) 2π-periodisch ist, muss m ganzzahlig sein.

L¨angere Rechnungen mit einem verallgemeinerten Potenzreihenansatz zeigen, dass die DGL (2) nur f¨ur den Fall

λ = ℓ(ℓ + 1_{), ℓ ∈} N_{0, |m| ≤ ℓ}

L¨osungen besitzt, f¨ur die Y (θ, φ) = P(cos(θ)) Φ(φ) eine differenzierbare Funktion auf der Sph¨are ist. Diese L¨osungen von (2) sind die Vielfachen der Funktionen

P_ℓ,|m|(z) = 1

2^ℓℓ! (1 − z²)^|m|/2 d^ℓ+|m|

dz^ℓ+|m|(z² − 1)^ℓ.

Die Funktionen P_ℓ,0 sind Polynome vom Grad ℓ (Legendre-Polynome).

Die Funktionen P_ℓ,|m|, m 6= 0, heissen assoziierte Legendre-Funktionen.

Kugelfunktionen I

Die Kugel(fl¨achen)funktionen (engl.: spherical harmonics) sind folgendermaßen definiert:

Y_ℓ,m(θ, φ) := c_ℓ,m P_ℓ,|m|(cos(θ))e^imφ,

wobei ℓ ∈ N_{0, m = −ℓ,−ℓ}+ 1, . . . ,0, . . . ,ℓ − 1,ℓ und c_ℓ,m = (−1)^(m+|m|)/2q

(2ℓ+1) (ℓ−|m|)!

4π(ℓ+|m|)! . Die Kugelfunktionen erf¨ullen die Eigenwertgleichungen:

−∆_S Y_ℓ,m = ℓ(ℓ + 1)Y_ℓ,m, −i ∂

∂φ Y_ℓ,m = mY_ℓ,m.

Die Operatoren −∆_S und −i _∂φ^∂ sind beide selbstadjungiert bzgl. des Skalarprodukts auf der Einheitssph¨are. Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Operators zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal zueinander. Daraus folgt, dass

hY_ℓ,m, Y_ℓ^′_,m^′i^S =

Z 2π 0

Z π 0

Y_ℓ,m(θ, φ)Y_ℓ^′_,m^′(θ, φ) sin(θ)dθ dφ = 0 wenn (ℓ,m) 6= (ℓ^′,m^′).

Die Vorfaktoren c_ℓ,m sind so gew¨ahlt, dass kY_ℓ,mk^S = p

hY_ℓ,m, Y_ℓ,mi^S =

Z 2π 0

Z _π

0 |Y_ℓ,m(θ, φ)|² sin(θ)dθ dφ = 1.

Die Kugelfunktionen bilden also ein Orthonormalsystem.

Dieses ist vollst¨andig (siehe ¨ubern¨achste Seite).

Kugelfunktionen II

Das Bild unten links zeigt den Realteil der Kugelfunktion Y10,4(θ, φ) = c10,4 P10,4(cos(θ)) e^i4φ.

Die Farbe stellt den Funktionswert dar. Die schwarzen Kurven (Knotenlinien) bilden die Menge der Punkte, an denen der Realteil von Y10,4(θ, φ) den Wert 0 hat.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Die Funktion P_10,4(cos(θ)) = P_10,4(z)

z=cos(θ) -

assoziierte Legendre-Funktion:

P10,4(z) = ₂10¹10! (1− z²)² _dz^d1414(z² − 1)¹⁰ Die H¨ohen (z-Koordinaten) der horizontalen schwarzen Kreislinien sind die Nullstellen der Funktion z 7→ P10,4(z), z = cos(θ).

Beispiele: Realteile der Kugelfunktionen Y5,m(θ, φ) = c5,mP5,m(cos(θ))e^{i m φ}

m = 0 m = 1 m = 2

m = 3 m = 4 m = 5

Kugelfunktionen III

Die Kugelfunktionen Y_ℓ,m bilden ein vollst¨andiges Orthonormalsystem auf der Einheits- sph¨are. Dies heisst genau folgendes: Jede komplexwertige Funktion u = u(θ, φ), f¨ur die das Integral

kuk²S = hu, ui^S = Z

S |u|² do =

Z 2π 0

Z π

0 |u(φ, θ)|² sin(θ)dθ dφ

existiert und endlich ist (quadratintegrierbare Funktion) hat eine Darstellung als unend- liche Reihe

u = X∞ ℓ=0

Xℓ m=−ℓ

a_ℓ,mY_ℓ,m mit a_ℓ,m = hY_ℓ,m, ui^S.

Die Konvergenz der Reihe gegen u ist im quadratischen Mittel, d.h. es ist

llim→∞

Xl ℓ=0

Xℓ m=−ℓ

a_ℓ,mY_ℓ,m − u S

= 0.

Wenn u diff’bar ist, dann hat man punktweise Konvergenz, d.h.

u(θ, φ) = lim

l→∞

Xl ℓ=0

Xℓ m=−ℓ

a_ℓ,mY_ℓ,m(θ, φ) f¨ur jedes (θ, φ).

Anwendung der Kugelfunktionen I

Das Anfangswertproblem f¨ur die W¨armeleitung auf der Einheitssph¨are S u(θ, φ, t)˙ −∆_Su(θ, φ, t) = f(θ, φ, t), u(θ, φ,0) = u⁰(θ, φ)

l¨asst sich mit Hilfe von Kugelfunktionen folgendermaßen l¨osen:

Stelle alle vorkommenden Funktionen als Linearkombinationen von Kugelfunktionen dar:

u = X∞ ℓ=0

Xℓ m=−ℓ

u_ℓ,m(t)Y_ℓ,m, f = X∞ ℓ=0

Xℓ m=−ℓ

f_ℓ,m(t)Y_ℓ,m, u⁰ = X∞ ℓ=0

Xℓ m=−ℓ

u⁰_ℓ,mY_ℓ,m

Einsetzen in die DGL ergibt wegen −∆_SY_ℓ,m = ℓ(ℓ+ 1)Y_ℓ,m: X∞

ℓ=0

Xℓ m=−ℓ

( ˙u_ℓ,m(t) + ℓ(ℓ+ 1)u_ℓ,m(t) )Y_ℓ,m = X∞ ℓ=0

Xℓ m=−ℓ

f_ℓ,m(t)Y_ℓ,m

Durch Koeffizientenvergleich bekommt man die gew¨ohnlichen AWP 1. Ordnung u˙_ℓ,m(t) + ℓ(ℓ + 1)u_ℓ,m(t) = f_ℓ,m(t), u_ℓ,m(0) = u⁰_ℓ,m,

mit den L¨osungen (Variation-der-Konstanten-Formel):

u_ℓ,m(t) = u⁰_ℓ,me^{−ℓ(ℓ+1)t} + Z t

0

e^{−ℓ(ℓ+1)(t−τ)}f_ℓ,m(τ)dτ.

Bemerkung: Die ganze Prozedur sieht auf den ersten Blick kompliziert aus, ist aber die gleiche, die wir schon im r¨aumlich 1-dimensionalen Fall besprochen haben.

Anwendung der Kugelfunktionen II (Quantenmechanik)

Die Schr¨odinger-Gleichung f¨ur ein (spinloses) Teilchen in einem Potential V lautet i~ ^∂

∂tψ(x_{, t) =}

−~²

2µ ∆ + V (x₎

ψ(x_{, t),} x _∈ R³_{, ψ(}x_{, t) ∈} C_.

Dabei ist µ die Masse und ~ _{= h/(2π),} h=Plancksches Wirkungsquantum. Die Funktion x _{7→ ψ(}x, t) ist der quantenmechanische Zustand des Teilchens zur Zeit t. U.a. gilt:

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen zur Zeit t im Gebiet G ⊆ R³ befindet, ist Z

G|ψ(x_{, t)|}² _dx_.

Ein Separationsansatz der Form ψ(x_{, t) = T(t) Ψ(}x_{) ergibt} T₍t_{) =} e^−(i/~)Et_,

−~² 2_µ

∆ ₊ V₍x₎

Ψ₍x_{) =} EΨ₍x_). Man hat also wieder ein Eigenwertproblem zu l¨osen.

Interpretation des Eigenwerts E: Energie des Teilchens.

Wenn das Potential zentralsymmetrisch ist, V (x_{) = V} (ρ), dann lohnt sich ein Separati- onsansatz in Kugelkoordinaten

Ψ(x_{) = R(ρ)Y (θ, φ)}

Eine Durchrechnung des Ansatzes ergibt f¨ur Y die Kugelfunktionen Y = Y_ℓ,m und f¨ur R ein weiteres Eigenwertproblem mit einem gew¨ohnlichen Differentialoperator 2. Ordnung, der von V und ℓ, m abh¨angt.

F¨ur den Fall V (ρ) = −const/ρ bekommt man so die Elektronenorbitale eines Atoms.

(Siehe Animation in der VL)

Weitere Anwendungsbeispiele f¨ur die homogene Wellengleichung 1. Linearisierte Gleichung f¨ur den Druck in einem Gas (Schall) Druck: P(x_{, t) = p0 + p(}x, t). Es ist n¨aherungsweise

p(¨ x_{, t) − c}²_∆p(x_{, t) = 0,}

wobei c=Schallgeschwindigkeit (h¨angt von p0 und der Temperatur ab).

2. Gleichungen f¨ur Elektromagnetische Wellen in einem isotropen ungeladenen Nichtleiter:

E¨₍x_{, t) − c}²_∆E₍x_{, t) = 0,} B¨₍x_{, t)− c}² _∆B₍x_{, t) = 0,} wobei E= elektrische Feldst¨arke, B=magnetische Induktion,

c=Lichtgeschwindigkeit.

Erinnerung:

Die homogene Wellengleichung

u(¨ x_{, t) − c}²_∆u(x_{, t) = 0,} x _∈ Rⁿ_, hat die stehenden Wellen

u(x_{, t) = A cos(ω t − φ)U(}x_),

als L¨osungen. Dabei sind A, φ ∈ R beliebige Konstanten (Amplitude, Phasenverschie- bung), ω = c k, und U ist eine L¨osung der Helmholtz’schen Schwingungsgleichung

−∆U(x_{) = k}²_U(x_{), k ∈} R _(∗)

(∗) ist die Eigenwertgleichung f¨ur den Operator −∆: k²=Eigenwert, U(x)=Eigenfunktion.

In der Literatur findet man (∗) meist in der Form (∆ + k²)U(x_{) = 0.}

Terminologie: k heisst Wellenzahl.

Bemerkungen:

1. Wenn keine Randbedingungen vorgegeben sind, dann ist jeder Wert von k ∈ R m¨oglich, denn (∗) hat zumindest die L¨osungen

U(x_{) = f(}k _· x_), k _∈ Rⁿ_{, k}k_{k = |k|,} wobei f : R _→ C eine 2mal diff’bare Funktion ist.

Es gibt aber noch viele andere L¨osungen (siehe n¨achste Seite).

2. Wenn die Eigenfunktion U Randbedingungen erf¨ullen muss, dann sind nur bestimmte Wellenzahlen k m¨oglich. Diese bestimmen dann die Eigenkeisfrequenzen ω = c k.

(Siehe schwingende Seite, schwingende Membran)

Anwendung der Kugelfunktionen III

Macht man f¨ur die L¨osungen der Schwingungsgleichung in R³

−∆U(x_{) = k}² _U(x_{), k ∈} R_, x _∈ R³ _(∗) einen Separationsansatz in Kugelkoordinaten

U(x_{) =} R(ρ) Θ(θ) Φ(φ), dann bekommt man f¨ur k > 0 die komplexen L¨osungen

U(x_{) = A} ^J_√^{λ(k ρ)}

k ρ Y_ℓ,m(θ, φ), A ∈ C

mit den Kugelfunktionen Y_ℓ,m und den Besselfunktionen 1. Art, J_λ, zum halbzahligen Index

λ = ±

ℓ+ 1 2

.

Es ist

J_λ(x) = X∞ m=0

(−1)^m

m! Γ(m + λ + 1) _x

2

2m+λ

mit Γ(x) =

Z _∞

0

e^−tt^x−1dt.

Die Funktion J_λ ist eine spezielle L¨osung der Besselgleichung x²y^′′(x) + x y^′(x) + (x² − λ²)y(x) = 0.

Die Γ-Funktion interpoliert die Fakult¨at. Genauer ist

n! = Γ(n + 1), n = 0,1,2. . . Details siehe Skript.

Die Γ-Funktion

Definition der Γ-Funktion f¨ur x > 0: Γ(x) =

Z _∞

0

e^−tt^x−1dt

Es ist lim_xց0 Γ(x) = ∞. Mit partieller Integration beweist man, dass f¨ur alle x > 0:

Γ(x + 1)=xΓ(x). (∗)

Daraus folgt z.B.: Γ(x+ 3)=(x + 2) Γ(x + 2)=(x + 2) (x + 1) Γ(x + 1)

Allgemein: Γ(x+ n)=(x + n − 1) (x + n − 2) . . . (x + 1) Γ(x + 1). (∗∗) f¨ur n ∈ N_{, n ≥ 2. Man hat} Γ(1) = 1 = 0!. Setzt man in (∗∗) x = 0, so folgt insgesamt,

Γ(n)=(n − 1)!, n = 1,2,3, . . .

F¨ur negative x 6= −1,−2,−3, . . .

definiert man Γ(x) so, dass (∗) und damit auch (∗∗) immer gilt.

Beispiel: Es ist Γ(1/2) = √ π.

Mit (∗) f¨ur x = −1/2 folgt:

√π=Γ(1/2)=(−1/2) Γ(−1/2) Also: Γ(−1/2)=− 2√

π.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−2 0 2 4 6

3!

2!

1!

0!

Graph der Γ − Funktion