U. Faigle S. Motameny
Ubungsblatt 5 ¨
Diskrete Mathematik WS 06/07
Ausgabe: 17.11.2006 Abgabe: 24.11.2006 Aufgabe 1
Die Bellzahl ˜Bn ist die Anzahl der Partitionen einer n-elementigen Menge (n≥0).
a) Zeigen Sie, dass die folgende Rekursion gilt:
B˜n+1= Xn
k=0
µn k
¶ B˜k
b) Finden Sie eine explizite Formel f¨ur die ˜Bn mit Hilfe des Potenzreihenansatzes.
Aufgabe 2
In der Vorlesung wurden Summenformeln f¨urs(1)n =Pn
k=0kunds(2)n =Pn
k=0(k+ 1)k hergeleitet.
a) Finden Sie eine Formel f¨urs(3)n =Pn
k=0(k+ 2)(k+ 1)k.
b) Leiten Sie aus dem Ergebnis von Aufgabenteil a) eine Formel f¨ur die Summe der ersten n Kubikzahlen her.
Aufgabe 3
Ein Student er¨offnet ein Konto (Tag 0, Kontostand 0). Jeden Tag zahlt er entweder einen Euro ein oder er hebt einen Euro ab (nach Lust und Laune, also zuf¨allig). Am Tag 2nist der Kontostand wieder 0. Das Konto ist nie ¨uberzogen worden. Wieviele m¨ogliche Einzahlungs-Abhebungs-Folgen gibt es, die das realisieren?
Aufgabe 4
Gegeben sei die lineare Rekursion f0= 0
f1=f2= 1
2fn =fn−1+ 2fn−2−fn−3, (n≥3).
Finden Sie eine Formel f¨ur diefn, indem Sie einen Potenzreihenansatz machen.
