U. Faigle S. Motameny
Ubungsblatt 10 (korrigiert) ¨ Diskrete Mathematik WS 06/07
Ausgabe: 11.1.2007 Abgabe: 18.1.2007
Aufgabe 1
Sei V ⊂Nder kleinste distributive Teilverband des Teilerverbandes (N, |), der die MengeM ={1,2,4,5,6} enth¨alt. Supremum und Infimum seien gegeben durch
x∨y= kgV(x, y) und x∧y= ggT(x, y).
a) Bestimmen Sie alle Elemente vonV und stellen Sie den Verband als graphisches Hassediagramm dar.
b) AufM\ {6}sei die Funktion w:M \ {6} →Rmit w(1) = 3,w(2) = 1,w(4) = 2 undw(5) = 8 gegeben.
Setzen Sie w auf die ∨-Irreduziblenmenge von V fort und bestimmen Sie die induzierte Valuation.
Aufgabe 2
Berechnen Sie die Eulercharakteristik des VerbandesV aus Aufgabe 1, d.h. bestimmen Sie den Wert dieser speziellen Valuation f¨ur alle Elemente von V.
Aufgabe 3
Wir betrachten den VerbandDaller Simplizialkomplexe ¨uberM ={a, b, c}.
a) Geben Sie die verbindungsirreduziblen Elemente vonDan.
b) Berechnen Sie die Eulercharakteristik vonD.
Aufgabe 4
SeiG= (V, E) ein planarer Graph mitn≥4 Knoten und m Kanten.
Zeigen Sie: Enth¨altGkeine Dreiecke (also Kreise, die aus genau drei Kanten bestehen), so gilt
m≤2n−4.
Folgern Sie daraus, dass der in der Vorlesung angegebene Kuratowski-Graph K3,3
nicht planar ist.
