Wintersemester 2017/18
Ausgabe: Mo, 22.01.18 Abgabe: Mo, 29.01.18 Besprechung: Fr, 02.02.18Theorie A - Blatt 13
Prof. Dr. M. M¨uhlleitner, Dr. S. Liebler
Gesamtpunktzahl: 20P Ubungsbetreuung: Stefan Liebler (stefan.liebler@kit.edu) (Raum: 12/03)¨ Beratungstutorium: Max Stadelmaier (maximilian.stadelmaier@student.kit.edu) (Raum: 12/12) Aufgabe 1: Harmonischer Oszillator - Energieerhaltung 4P
Ein Teilchen der Massem bewege sich reibungsfrei im eindimensionalen PotentialV(x) = 12kx2. (a) 1P Zeigen Sie, dass Energieerhaltung auf den Zusammenhang
t−t0 = Z x(t)
x0
dx0 q2
m(E−V(x0))
f¨uhrt, wobei x(t0) =x0 ist. Hinweis: In Aufgabe 3, Blatt 2 haben wir diese Beziehung ohne weitere Begr¨undung bereits verwendet.
(b) 2P L¨osen Sie das Integral f¨ur das angegebene Potential V(x) bei fester Energie E f¨ur t0 = 0, x0 = 0 und bestimmen Sie so die Bewegung des harmonischen Oszillators.
(c) 1P Bestimmen Sie den Maximalausschlag bei fester Energie E.
Aufgabe 2: Harmonischer Oszillator - Drehimpuls 3P Wir betrachten den dreidimensionalen harmonischen Oszillator mit linearer Reibung, der der Bewegungsgleichung m~r¨=−k~r−γ~r˙ gen¨ugt. Zeigen Sie, dass das Drehmoment eine Funktion des Drehimpulses ist. Formulieren Sie die DGL f¨ur den Drehimpuls. L¨osen Sie diese und ermitteln Sie so den Drehimpuls als Funktion der Zeit.
Aufgabe 3: Mathematik - Θ, δ und die Stirn wirft Falten 4P Wir m¨ochten noch zwei weitere mathematische Zusammenh¨ange verstehen:
(a) 2P Die Heavyside-Funktion ist definiert durch Θ(x) =
1 f¨urx≥0
0 f¨urx <0 . Verifizieren Sie, dass Θ0(x) := dΘ(x)
dx =δ(x) gilt, indem Sie Rx2
x1 dxΘ0(x)f(x) = f(0) f¨ur jede stetig differenzierbare Funktion f(x) zeigen (x1 <0< x2). Hinweis: Partielle Integration ist hilfreich.
(b) 2P Die Faltung (f1 ∗f2)(x) zweier Funktionen f1(x) und f2(x) ist durch folgendes Integral definiert:
g(x) = (f1∗f2)(x) = Z ∞
−∞
dx0f1(x0)f2(x−x0).
Zeigen Sie, dass die Fouriertransformierte der Faltung (f1 ∗f2)(x) das Produkt der Fouriertransformierten ist, also ˜g(k) = 2πf˜1(k)·f˜2(k) gilt.
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Aufgabe 4: Harmonischer Oszillator - Der ultimative Kick 5P Gegeben sei ein frei bewegliches Teilchen, dass anf¨anglich (t= 0) im Ursprung ruht und dann von einer ¨außeren Kraftf(t) (f(t <0) = 0) beinflusst wird. Die Bewegungsgleichung lautet
¨
x=f(t).
(a) 2P Bestimmen Sie f¨ur f(t) =vδ(t−t0) die L¨osungx(t) durch zweimaliges Integrieren.
Interpretieren Sie die Konstante v. Verifizieren Sie Ihre L¨osung durch Anwendung der Green Funktion G(t−t0) f¨ur den harmonischen Oszillator (mit ρ und ω) der Vorlesung, d.h. Berechnung des Faltungsintegrals x(t) =R∞
−∞dt0G(t−t0)f(t0). Hinweis: Nutzen Sie die Heavyside-Funktion. Bilden Sie den Limes ω, ρ→0 zum Schluss.
(b) 3P F¨uhren Sie die Rechnungen aus Teilaufgabe (a) erneut aus, diesmal f¨ur f(t) =aΘ(t).
Hinweis:Sie m¨ussen erst integrieren, bevor Sie den Limesω, ρ→0 inG(t−t0) durchf¨uhren.
Aufgabe 5: Harmonischer Oszillator - Periodische Anregung 4P Wir betrachten eine einfache Herleitung einer Antwortfunktion ¨ahnlich zur Green Funktion der Vorlesung. Gegeben sei ein eindimensionaler harmonischer Oszillator mit periodischer Anregung f(t) = f(t+T). Die DGL ist von der Form ¨x(t) +ρx(t) +˙ ω02x(t) = f(t). Die periodische Anregung l¨asst sich in eine Fourierreihe zerlegen gem¨aß
f(t) =
∞
X
n=−∞
fneinωt mit ω= 2π
T , fn= 1 T
Z T
0
dt0e−inωt0f(t0).
(a) 1P Machen Sie f¨ur den St¨orterm f(t) einen Ansatz f¨ur eine partikul¨are L¨osung x(t), basierend auf der Tabelle von Blatt 11 und Aufgabe 2 auf Blatt 12. Bestimmen Sie die Koeffizienten der partikul¨aren L¨osung durch Einsetzen in die DGL unter der Annahme, dass Beitr¨age proportional zu einωt mit verschiedenenn getrennt verschwinden m¨ussen.
Hinweis: Belassen Sie vorerst fn im Ergebnis.
(b) 2P Setzen Sie nun fn in das Resultat f¨ur die partikul¨are L¨osung ein und zeigen Sie, dass Sie dies wieder auf die Form eines Faltungsintegrals bringen k¨onnen:
x(t) = Z T
0
dt0χ(t−t0)f(t0). Wie lautet die Antwortfunktion χ(t)?
(c) 1P Diskutieren Sie die Grenzf¨alle unendlich langsamer Anregung ω → 0 und sehr schneller Anregung ω → ∞.
Oh you can hear me cry, See my dreams all die.
Theo fiel mir angfangs schwer, doch das ist schon l¨anger her.
Nun bin ich wohl besser geeicht, denn es f¨allt mir ¨ofter leicht.
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