Fundamentalgruppen algebraischer Kurven

Fundamentalgruppen algebraischer Kurven

Wintersemester 2013/14

Universität Heidelberg

Mathematisches Institut Übungsblatt 4

Dr. A. Holschbach zu bearbeiten bis Dienstag, 19.11.2013

Aufgabe 1.(Automorphismen vonPⁿ_C)

SeiA= (a_ij)_0≤i,j≤n∈Gl_n+1(C). Dann ist die Abbildung

ϕ_A:Pⁿ_C→Pⁿ_C, (z₀:. . .:z_n)7→(a₀₀z₀+. . .+a_0nz_n :. . .:a_n0z₀+. . .+a_nnz_n),

wohldefiniert und ein Automorphismus von Pⁿ_C. Jeder Automorphismus vonPⁿ lässt sich so dar- stellen. Insbesondere erhalten wir ein Isomorphie

Aut(Pⁿ_C)∼= PGln(C) = Gl_n+1(C)/C^×. Hierbei seiC^× perλ7→diag(λ, . . . , λ)nachGln+1(C)eingebettet.

Aufgabe 2.(Produkt von Abbildungen)

SeiX eine Varietät undφ₁:X →Z₁⊂Pⁿ_C¹,φ₂:X →Z₂⊂Pⁿ_C² zwei dominante Morphismen auf projektive VarietätenZ1, Z2. Wir betrachten die Abbildung

φ:X−^(φ−−−−^1,φ2→⁾ Pⁿ_C¹×Pⁿ_C² ,→P⁽ⁿ_C^{1+1)(n2+1)−1},

wobei letztere Abbildung durch

((w₀:. . .:w_n1),(z₀:. . .:z_n2))7→(w₀z₀:w₀z₁:. . .:w₀z_n2:w₁z₀:. . .:w_n1z_n2)

gegeben ist. SeiZ=φ(X). Zeigen Sie:

(a) φist ein Morphismus, undφ1, φ2 faktorisieren überφ:X →Z.

(b) IstP ∈X mitO_Z1,φ1(P)∼=OX,P viaφ^∗₁, so giltO_Z,φ(P)∼=OX,P viaφ^∗.

Aufgabe 3.(Elliptische Kurve I)

SeiE=V(Y²Z−X³+XZ²)⊂P²_C. Zeigen Sie, dassE eine normale projektive Kurve ist.

Aufgabe 4.(Elliptische Kurve II)

Wir betrachten weiterhin die (elliptische) KurveE aus Aufgabe 3.

(a) Zeigen Sie, dass jede GeradeL=V(aX+bY +cZ)⊂P²_C(mit(a, b, c)6= (0,0,0)) die Kurve E in genau drei Punkten (mit Vielfachheiten) schneidet.

(b*) Sei P0 ∈ E fest. Zu jedem Punkt P ∈E sei α(P) der dritte Schnittpunkt von E mit der GeradenLdurchP undP0 (im FalleP =P0 seiLdie Tangente anEim PunktP0). Zeigen Sie, dassα:E→E ein zu sich selbst inverser Automorphismus ist.

Hinweis: Im komplizierteren FallP06= (0 : 1 : 0)seien(x0:y0: 1)die Koordinaten vonP0. Man betrachte man die offenen affine Teilmengen V =E∩D(X−x0Z)⊂U =E∩D(Z) und verwende die Koordinaten x= ^X

Z,y = ^Y

Z aufU. Zeigen Sie, dassαeinen Morphismus V →U liefert, der auf den Koordinatenringen durch

O(U) −→ O(V) x 7−→ −x−x₀+

y−y₀ x−x0

2

y 7−→

y−y0

x−x0

−x−2x0+

y−y0

x−x0

2! +y0

gegeben ist. Dehnen Sie dies aus zu einem Morphismus von Enach E.