Fundamentalgruppen algebraischer Kurven
Wintersemester 2013/14
Universität Heidelberg
Mathematisches Institut Übungsblatt 2
Dr. A. Holschbach zu bearbeiten bis Dienstag, 05.11.2013
Aufgabe 1.(Basisoffene Teilmengen von affinen Mengen und Varietäten)
Sei X ⊂ AnC eine affine Menge, f ∈ O(X) und f˜∈ C[T1, . . . , Tn] ein Repräsentant von f. Wir vergleichen im Folgenden die Zariski-offene TeilmengeXf =X\V( ˜f)vonX (dies ist offensichtlich wohldefiniert) mit der affinen MengeY =V(I(X) + (1−f T˜ n+1))⊂An+1C . Zeigen Sie:
(a) Die Projektion An+1C → AnC,(a1, . . . , an, an+1) 7→(a1, . . . , an), induziert einen Homöomor- phismusφ:Y −→∼= Xf ⊂X. Es giltO(Y)∼=O(X)f viaφ∗:O(X)→ O(Y).
(b) IstX eine affine Varietät, so giltOY,P ∼=OX,φ(P)für alleP ∈Y. Folgern Sie: In diesem Fall giltOY(φ−1(U))∼=OX(U)für alle offenenU ⊂Xf.
In der Sprache der Varietäten bedeutet dies: Jede affine Varietät besitzt eine offene Umgebungs- basis aus affinen Varietäten.
Aufgabe 2.(Überdeckungseigenschaften)
SeiX ein topologischer Raum und{Ui}eine endliche offene Überdeckung vonX. Zeigen Sie:
(a) Sind alleUi noethersch, so auchX.
(b) IstX zusammenhängend und sind alleUi irreduzibel, so istX irreduzibel.
Hinweis: X ist genau dann irreduzibel, wenn jede nicht-leere offene TeilmengeV dicht ist, alsoV =Xgilt (warum?). Sei nunV ⊂Xeine offene Teilmenge. Zeigen SieV =S
Ui∩V6=∅Ui
und folgern Sie die Behauptung.
Aufgabe 3.(Projektive algebraische Mengen)
Auf der MengeCn+1\{0}definieren wir eine Äquivalenzrelation durchw∼z⇔ ∃λ∈C×:w=λz.
Die Menge der Äquivalenzklassen bezeichnen wir mitPnC und schreiben(z0:. . .:zn)für die von einem Element(z0, . . . , zn)∈Cn+1\ {0}repräsentierte Klasse. Zeigen Sie:
(a) Istf ∈C[X0, . . . , Xn]ein homogenes Polynom, so ist Nullstellenmenge von f inCn+1\ {0}
abgeschlossen unter ∼. Wir können daher projektive algebraische Teilmengen als Nullstel- lenmengen V(a) ⊂ PnC von homogenen Idealen a ⊂ C[X0, . . . , Xn] (d. h. Idealen, die von homogenen Polynomen erzeugt werden) definieren. Zeigen Sie weiterhin: Die projektiven al- gebraischen Teilmengen bilden die abgeschlossenen Teilmengen einer Topologie auf PnC, der Zariski-Topologie.
(b) Zu einer projektiven algebraischen TeilmengeY ⊆PnC seiI(Y)⊂C[X0, . . . , Xn] das Ideal, dass von allen homogenen Polynomenf mitf(P) = 0für alleP ∈Y erzeugt wird. Dann ist I(Y)ein Radikalideal, und derhomogene Koordinatenring S(Y) =C[X0, . . . , Xn]/I(Y) ist eine reduzierte graduierteC-Algebra.
Aufgabe 4.(Projektive Varietäten)
SeiY ⊆Pn eine irreduzible projektive algebraische Teilmenge. Zeigen Sie:
(a) Der Ring S(Y) ist nullteilerfrei. Sei K(Y) ⊂Q(S(Y))der Körper, der von allen Brüchen der Formf = gh mit g, h∈S(Y)homogen vom selben Grad und h6= 0 gebildet wird. Für P ∈Y setze man
OY,P =
f = g
h ∈K(Y)
g, h∈S(Y)homogen, h(P)6= 0
.
OY,P ist ein lokaler Ring, und für f ∈ OY,P istf(P)∈Cwohldefiniert.
(b*) Für eine offene Teilmenge U ⊂Y setze manOY(U) =T
P∈UOY,P. Dann giltOY(Y) =C.
