Fundamentalgruppen algebraischer Kurven
Wintersemester 2013/14
Universität Heidelberg
Mathematisches Institut Übungsblatt 8
Dr. A. Holschbach zu bearbeiten bis Dienstag, 17.12.2013
Aufgabe 1. (CundCals universelle Überlagerungen)
Welche Untergruppen vonAut(C)undAut(C)wirken frei und eigentlich diskontinuierlich? Folgern Sie: C ist die universelle Überlagerung von C, C∗ und elliptischen Kurven (Tori) C/Λ für eine diskrete freie abelsche Untergruppe Λ ⊂ C vom Rang 2; die einzige Riemannsche Fläche mit universeller ÜberlagerungCistCselbst.
Aufgabe 2. (Liouville'sche Sätze aus Überlagerungssicht)
SeiΛ⊂Ceine diskrete freie abelsche Untergruppe vom Rang 2. Beweisen Sie durch die Anwendung der Sätze aus Vorlesung auf holomorphe AbbildungenC/Λ→Cfolgende Sätze:
(a) (1. Liouville'scher Satz) Jede holomorphe elliptische Funktion zum GitterΛist konstant.
(b) (Korollar aus dem 2. Liouville'schen Satz) Es gibt keine meromorphe elliptische Funktion zum Gitter Λder Ordnung 1.
(c) (3. Liouville'scher Satz) Jede nicht-konstante elliptische Funktion zum GitterΛ nimmt auf C/Λjeden Wert gleich oft an, wobei die Werte mit ihren Vielfachheiten zu rechnen sind.
Wie lauten passende Verallgemeinerungen für beliebige kompakte Riemannsche Flächen?
Aufgabe 3. (Bewertungen auf Riemannschen Flächen)
SeiX eine Riemannsche Fläche. Zu einem PunktP und einer meromorphen Funktionf ∈ M(X) denieren wir die (Nullstellen-)Ordnung ordP(f)von f beiP durch ordP(f) := ordg(P)(f◦g−1) für eine beliebige Karteg:U →CmitP ∈U. Zeigen Sie:
(a) Die Ordnung ordP ist wohldeniert und liefert eine diskrete Bewertung auf M(X)|C. Der diskrete Bewertungsring zuordP ist der RingOX,P ={f ∈ M(X)|f holomorph beiP}. (b) Zwei verschiedene PunkteP, Qhaben unterschiedliche diskrete BewertungenordP,ordQ.
Aufgabe 4. (Vergleich von normalen projektiven Kurven und kompakten Riemannschen Flächen) SeiX eine kompakte Riemannsche Fläche. Zeigen Sie: Jede normalisierte diskrete Bewertung auf M(X)|Cist von der FormordP für ein (eindeutig bestimmtes)P ∈X.
Folgern Sie: Bezeichnen wir mit Xalg die Menge X mit der koendlichen Topologie (d. h. die abgeschlossenen Teilmengen vonXalg sind die ganze Menge und alle endlichen Teilmengen) und denieren aufXalgein StrukturgarbeOXalg durchOXalg(U) =T
P∈UOX,P fürU ⊂Xalgoen, so istXalg eine (die) normale projektive algebraische Kurve mit K(Xalg) =M(X).
Schlieÿen Sie: Die Algebraisierung X 7→Xalg ist invers zu der Analytizierung Y 7→Yan einer normalen algebraischen Kurve aus Aufgabe 3 von Blatt 6.
