Fundamentalgruppen algebraischer Kurven

Fundamentalgruppen algebraischer Kurven

Wintersemester 2013/14

Universität Heidelberg

Mathematisches Institut Übungsblatt 1

Dr. A. Holschbach zu bearbeiten bis Dienstag, 29.10.2013

Aufgabe 1.(Eine ebene Kurve)

SeiZ die ebene KurveZ =V(Y²−X³)⊂A²_C. Zeigen Sie:

(a) Die Projektionen vonZauf die KoordinatenachsenL₁=V(Y)undL₂=V(X)sind surjekti- ve Morphismen von algebraischen Teilmengen. Geben Sie die zugehörigen Homomorphismen zwischen den Koordinatenringen an.

(b) Der Ringhomomorphismus C[X, Y]→ C[T], X 7→ T², Y 7→ T³, faktorisiert über O(Z).

Der induzierte Morphismus A¹_C → Z ist ein Homöomorphismus, aber kein Isomorphismus algebraischer Mengen.

Aufgabe 2.(Irreduzible Teilmengen des A²_C)

(a) Seienf, g ∈C[X, Y] zwei teilerfremde Polynome. Zeigen Sie, dass V(f, g) nur aus endlich vielen abgeschlossenen Punkten besteht.

Hinweis:Betrachten Sie den größten gemeinsamen Teiler vonfundginC(X)[Y]und zeigen Sie, dass es a, b∈C[X, Y]gibt mit06=af+bg∈C[X]; folgern Sie daraus die Behauptung.

(b) Zeigen Sie: Die einzigen irreduziblen algebraischen Teilmengen desA²_CsindA²_C, Ein-Punkt- Mengen und ebene Kurven der FormV(f)mitf ∈C[X, Y]irreduzibel.

Aufgabe 3.(Noethersche Räume)

Ein topologischer Raum X heißt noethersch, wenn jede absteigende Folge von abgeschlossenen Teilmengen V1 ⊇V2⊇. . . stationär wird, d. h. es existiert eine Zahlr, so dassVr =Vr+1 =. . .. Zeigen Sie:

(a) Jede algebraische TeilmengeX ⊆Aⁿ_C ist noethersch.

(b) Jede algebraische Teilmenge X ⊆ Aⁿ_C lässt sich als Vereinigung endlich vieler irreduzibler algebraischer Teilmengen X1, . . . , Xr schreiben. Fordert man zusätzlichXi6⊆Xj füri6=j, so ist diese Zerlegung eindeutig.

Aufgabe 4.(Produkte algebraischer Mengen)

SeienX ⊆Aⁿ_C, Y ⊆A^m_C zwei algebraische Teilmengen. Wir definieren ihr Produkt als die Menge X×Y ={(x, y)|x∈X, y∈Y} ⊆A^n+m_C .

Zeigen Sie:

(a) X ×Y ist eine algebraische Teilmenge von A^n+m_C ; sie trägt im Allgemeinen nicht die Pro- dukttopologie vonX undY (dies ist bereits fürX=Y =A¹_Cfalsch). Es gilt

O(X×Y)∼= (O(X)⊗_CO(Y))red.

(b^∗) SindX undY irreduzibel, so auchX×Y; in diesem Fall giltO(X×Y)∼=O(X)⊗_CO(Y).

Hinweis:Es reicht zu zeigen, dassO(X)⊗_CO(Y)nullteilerfrei ist. Fürα, α⁰ ∈ O(X)⊗_CO(Y) mit αα⁰ = 0 schreibe manα=Pr

i=1a_i⊗b_i,α⁰ =Pr

i=1a⁰_i⊗b_i mit C-linear unabhängigen b₁, . . . , b_r ∈ O(Y). Für jeden Punkt x ∈ X gilt dann α¯α¯⁰ = 0 in O(X)/m_x⊗_CO(Y) ∼= O(Y), wegen der Irreduzibilität von Y also α¯ = 0 oder α¯⁰ = 0. Folgern Sie, dass gilt:

X =V(a1, . . . , ar)∪V(a⁰₁, . . . , a⁰_r), und nutzen Sie nun die Irreduzibilität von X.