Prof.Dr. W.Koepf
Dipl.-Math. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung¨
Ubungsblatt 07¨ Grundlagen der Algebra & Computeralgebra 03.12.2008
Aufgabe 1: (Normalform algebraischer Zahlen) Gegeben sei
α:= 1 +√3
2 + 3√ 5 √3
22
∈Q(√ 5)(√3
2).
Bringen Sie die algebraische Zahl
1 α3 in Normalform
a+b√
5 +c√ 5√3
2 +d√ 5 √3
22
+e√3
2 +f √3 22
mit a, b, c , d , e, f ∈ Q. Arbeiten Sie an Stelle der algebraischen Zahlen mit Polynomen und ver- wenden Sie zur L¨osung der Aufgabe ein Computeralgebrasystem Ihrer Wahl.
(6 Punkte)
Aufgabe 2: (Minimalpolynome algebraischer Zahlen)
Bestimmen Sie die Minimalpolynome folgender algebraischer Zahlen. Falls m¨oglich, vereinfachen Sie mit dieser Information die gegebenen Ausdr¨ucke.
1. α=p
11 + 6√ 2 +p
11−6√ 2 2. β = 3
r 14
q 93 243 +59 3. γ = 3
q14√ 93 243 +59
(8 Punkte)
Aufgabe 3: (Minimalpolynom von α1) Das Polynom
p(x) =xn+an−1xn−1+. . .+a1x +a0 sei das Minimalpolynom der algebraischen Zahl α.
Geben Sie das Minimalpolynom von α1 direkt mit Hilfe von p(x) an.
(3 Punkte)
Abgabetermin:bis sp¨atestens Mittwoch, 10.12.2008, 10.15 Uhr in der ¨Ubung.
