Fundamentalgruppen algebraischer Kurven

Fundamentalgruppen algebraischer Kurven

Wintersemester 2013/14

Universität Heidelberg

Mathematisches Institut Übungsblatt 11

Dr. A. Holschbach zu bearbeiten bis Dienstag, 21.01.2014

Aufgabe 1. (Ausgezeichnete Konjugationsklassen)

(a) Seiφ : Y → X eine verzweigte Galoisüberlagerung kompakter Riemannscher Flächen mit GaloisgruppeG. Zeigen Sie: Isty∈Y ein Punkt mit ausgezeichnetem Elementgy undhein Element inG, so hat der Punkthydas ausgezeichnete Elementg_hy=hg_yh⁻¹. Insbesondere lässt sich jedem x ∈ X eine Konjugationsklasse C_x ⊂ G zuordnen, die gerade aus allen ausgezeichneten Elementen von Punkten inφ⁻¹(x)besteht.

(b) Sei G eine endliche Gruppe und C = (C₁, . . . , C_r) ein Tupel von Konjugationsklassen von Elementen in G. Wir nennenC ausgezeichnet, wenn es16=gi ∈Ci, i= 1, . . . , r gibt, die G erzeugen und g1· · ·gr = 1erfüllen (wir nennen dann(g1, . . . , gr)ein ausgezeichnetes Tupel zuC). Zeigen Sie, dass diese Eigenschaft invariant unter Permutationen derCi ist.

Aufgabe 2. (Ausgezeichnete Elemente für galoissche Körpererweiterungen)

Sei k ⊂ C ein algebraisch abgeschlossener Körper, L|k(T)eine endliche Galoiserweiterung über dem rationalen Funktionenkörper überkmit GaloisgruppeGundO=OLder Ganzabschluss von k[T]in L. Zeigen Sie:

(a) Seip⊂ Oein Primideal undG_p ={σ∈G|σp=p}. Istπ∈ O eine Uniformisierende zup (d. h. ein Element mit pO_p=πO_p), so liefert die Abbildung

σ7→σπ π

∈κ(p) =Op/pOp=k

einen IsomorphismusαvonGp auf die Gruppeµedere-ten Einheitswurzeln,e= #Gp. Das Elementgp∈Gp mit α(gp) = exp(^2πi_e )heiÿt ausgezeichnetes Element zup.

(b) Wir setzen formalP¹k =k∪ {∞}. Für ein beliebigesx∈kwähle man ein Primideal p⊂ O mitp∩k[T] = (T−x)und deniereCxals Konjugationsklasse des ausgezeichneten Elements gp sowieex:= #Gp; für x=∞verfahre man analog mit einem Primideal p über(T⁻¹)⊂ k[T⁻¹]. Zeigen Sie: Diese Zuordnungen sind wohldeniert.xheiÿt verzweigt, wennex>1. Ist k=CundL|C(T)die Funktionenkörpererweiterung zu einer verzweigten Galoisüberla- gerungY →C, so stimmen KonjugationsklasseC_xund Verzweigungsindexe_xzux∈P¹_C=C mit den entsprechenden geometrischen Begrien überein.

Aufgabe 3. (Algebraische Version des Riemannschen Existenzsatzes)

SeiGeine endliche Gruppe,k⊂Cein algebraisch abgeschlossener Körper,P ⊂P¹k eine endliche Teilmenge und C = (Cp)_p∈P eine Familie von Konjugationsklassen von Elementen in G. Wir nennen zwei Tupel(G, P,C)und(G⁰, P,C⁰)äquivalent, wenn es einen Isomorphismusϕ:G→G⁰ gibt, so dassϕ(Cp) =C_p⁰ für allep∈P. Äquivalenzklassen[G, P,C]von solchen Tupeln bezeichnen wir als Verzweigungstypen. Zeigen Sie:

(a) SeiL|k(T)eine endliche Galoiserweiterung mit GaloisgruppeG. Dann ist die MengeP ⊂P¹k

der inLverzweigten Stellen endlich. Wir ordnenL|k(T)den Verzweigungstyp[G, P,(Cp)p∈P] zu, wobei die Cpwie in Aufgabe 2 deniert sind. Diese Zuordnung ist wohldeniert.

(b) Im Fall k = C ist ein Verzweigungstyp [G, P,C] genau dann der Verzweigungstyp einer endlichen GaloiserweiterungL|C(T), wennC ausgezeichnet ist.

Aufgabe 4. ((Schwach) Rigide Verzweigungstypen)

SeiGeine endliche Gruppe undC= (C1, . . . , Cr)ein Tupel von Konjugationsklassen inG.Cheiÿt rigide (bzw. schwach rigide), wenn es ausgezeichnet ist und zu je zwei ausgezeichneten Tupeln (g1, . . . , gr)und (g₁⁰, . . . , g_r⁰) zu C ein eindeutiges Element g ∈ Gmit ggig⁻¹ = g_i⁰ ∀ i (bzw. ein Automorphismus γ : G → G mit γ(gi) = g_i⁰ ∀ i) existiert. Auch diese Eigenschaften hängen nicht von der Anordnung derCi ab. Ein Verzweigungstyp [G, P,C] heiÿt (schwach) rigide, wenn C (schwach) rigide ist. Zeigen Sie:

(a) IstC rigide, so hatGtriviales Zentrum, und jeder Automorphismusγ:G→Gmitγ(C_i) = C_i ∀iist ein innerer.

(b) Für jeden schwach rigiden Verzweigungstyp [G, P,C] gibt es genau eine endliche Galoiser- weiterungL|C(T)von diesem Typ.

Hinweis. Seien L₁, L₂ zwei endliche Galoiserweiterungen von diesem Typ. Man wähle eine endliche GaloiserweiterungM|C(T)mitL₁, L₂⊂M und betrachte ein ausgezeichnetes Tupel (h₁, . . . , h_r)zuM und dessen Bilder unter den Projektionenπ_i:H = Gal(M|C(X))→G_i= Gal(L_i|C(X)),i= 1,2. Folgern Sie, dassπ₂=γ◦π₁mit einem Isomorphismusγ:G₁→G₂, und schlieÿen Sie, dass kerπ₁= kerπ₂.