Ein Magnet erzeugt keine

24a Magnetismus

Magnetismus im Alltag

Materialien lassen sich magnetisieren

Ein Magnet erzeugt keine

Ladung auf einem Elektroskop

Magnetismus im Alltag

Elektrostatik

Elektrischen Ladungen lassen sich trennen (Elektron und Proton) Magnetostatik

Magnetische Ladungen treten dagegen nie isoliert auf

wissenschaftlich ausgedrückt

Es gibt keine magnetischen Monopole

es wird aber danach gesucht!

egal wie oft man einen Magneten teilt, man findet immer einen Nord und Südpol Form des Magneten spielt eine Rolle

Direkter Vergleich zwischen elektrostatischer und magnetischer Kraft

Magnetische Felder

Analog zu Kapitel Elektrostatik

Kräfte zwischen magnetischen Polen werden durch Feldlinien beschrieben

Man kann das magnetische Feld B an einem Punkt im Raum durch die magnetische Kraft F_Bauf ein Testteilchen definieren das sich mit

einer Geschwindigkeit vbewegt Kräfte zwischen Stabmagneten

Magnetische Feldlinien kreuzen sich nicht

Abstand der Feldlinien gibt Stärke des magnetischen Feldes an

Magnetische Feldlinen sind geschlossen

Statik versus Bewegung

2. Ein elektrisches Feld übt eine Kraft F

=qE auf eine andere Ladung aus, die

sich in seinem Feld befindet

1. Eine bewegte Ladung oder ein Strom erzeugt zusätzlich zum elektrischen ein magnetisches Feld B in seiner Umgebung 2. Ein magnetisches Feld übt eine Kraft F

auf eine andere bewegte Ladung oder einen Strom aus, wenn er sich in seinem

Feld befindet 1. Eine ruhende Ladungsverteilung erzeugt

ein elektrisches Feld E in seiner Umgebung

damit geht’s los

Wie das elektrische Feld ist auch das magnetisches Feld ein Vektorfeld

Experimentelle Beobachtungen

1. Stärke der magnetischen Kraft, die auf das Teilchen einwirkt, ist proportional zur Ladung q und der Geschwindigkeit v des Testteilchen.

2. Größenordnung und Richtung der Kraft F_B hängt von der Geschwindigkeit des Teilchens und der Stärke und Richtung des magnetischen Feldes ab.

3. Wenn sich ein Teilchen parallel zur Richtung des magnetischen Feldvektors bewegt, erfährt es keine Kraftwirkung.

4. Wenn der Geschwindigkeitsvektor des Teilchens einen Winkel ungleich NULL mit der Richtung des magnetischen Feldes, dann wirkt die magnetischen Kraft senkrecht zur Richtungen von sowohl v als auch B. F steht senkrecht auf der Ebene aufgezogen aus v und B.

5. Die Richtung der magnetischen Kraftwirkung hängt vom Vorzeichen der Ladung ab.

6. Die Größenordnung der magnetischen Kraft auf ein geladenes Teilchen ist proportional zum Sinus des Winkel zwischen

Geschwindigkeitsvektor und magnetischem Feld._.

( ( ) ^{⋅ Θ} )

=

×

=

sin v

v B q

F

B q

F

M M

r r

r Lorentzkraft

Rechte-Hand Regel

Hendrik Lorentz (1853-1928)

7

Drei Unterschiede

Elektrische Kraft vs magnetische Kraft

Elektrische Kraft wirkt in Richtung

des elektrischen Feldes Magnetische Kraft wirkt senkrecht zur Richtung des magnetischen Feldes

Elektrische Kraft wirkt auf ruhende

und bewegte geladene Teilchen Magnetische Kraft wirkt nur auf bewegte und geladene Teilchen Elektrische Kraft verrichtet Arbeit,

wenn eine Ladung verschoben wird Magnetische Kraft verrichtet keine Arbeit, da die Kraft senkrecht zur

Verschiebung. Konsequenz: Die Energie des Teilchens ändert sich nicht.

Unterschied 2 Unterschied 1

Unterschied 3

( ( ) ⋅ Θ )

=

×

=

sin v

v B q F

B q

F

M M

r r r

Θ

=

= E cos q F

E q F

e e

r r

[ ]

[ ] [ ] ^{1 T}

m A

N

Cm Ns v

analyse Dimensions

s A C

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡

= ⋅

⇓

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

=

B

q B F

SI Einheit des Magnetfeldes

Tesla

Nicola Tesla 1856–1943

typische Werte für magnetische Felder

Elektrostatik Magnetismus

Kraft auf einen Leiter

Im magnetischen Feld erfährt ein Leiter eine Kraftwirkung wenn ein Strom fließt

Die Richtung der Auslenkung hängt von der Richtung des Stromes in Bezug auf die Richtung des magnetischen Feldes ab.

Ursache

Bahn der Elektronen im Leiter wird durch

das Magnetfeld

beinflußt

Lorentzkraft

Kraft auf einen Leiter

Volumen=Fläche x Länge = A x l

B q

F r

r r

×

= v

Ladung einzelne

auf Kraft e

Magnetisch

v_dDriftgeschwindigkeit der Elektronen im Leiter

Volumen pro

Ladungen der

Anzahl

e

: n

( )

B l I F

B q

As n F

B

A q n I

d e

B

d e

r r r

r r r

r

×

=

⇓

×

=

=

v

v

Magnetische Kraft auf alle Elektronen im Volumen Gleichung gilt nur in

einem homogenen magnetischen Feld

Vektor l zeigt in Stromrrichtung

Lorentzkraft

l

Kraft auf einen Leiter

vom Allgemeinen zum Speziellen

B s

Id F

d r

r r

×

=

differentielle Form

Magnetische Kraft entlang eines beliebige Weges innerhalb eines homogenen magnetischen Feldes ist gleich der eines

geraden Leiters, der die beiden Endpunkte verbindet

Spezialfall 1 homogenes Magnetfeld

Spezialfall 2: geschlossener Weg in homogenem Magnetfeld

Magnetische Kraft entlang eines geschlossenen Weges innerhalb eines homogenen magnetischen Feldes ist NULL

∫ ^×

=

B

I

d s B

F r r r

∫ ^×

= I d s B F r

r r

In der Realität: Summation über alle unterschiedlichen Einzelbeiträge

Kreisintegral

Magnetohydrodynamik

Magnetische Kraft auf stromdurchflossenen Leiter elektrische Energie mechanische Arbeit

Vorteil

magnetische Kraft pumpt Flüssigkeiten ohne mechanische Komponenten

Magnetfeld Strom

Kraft

Anwendung

Heiße oder chemisch reaktive Substabnzen Beispiel 1: Natrium in Kernreaktoren

Beispiel 2: Bluttransport

Möglicher Nachteil in einigen Anwendungen hohe magnetische Felder notwendig

(z.B. supraleitende Spulen)

12

Silent Running

Erstes U-Boot mit magnetohydrodynamischem Antrieb maximale Geschwindigkeit 15 km/h (8 Knoten)

Yamato 1

Baujahr 1992 Friday, Sep. 23, 1966

Run Silent, Run Electromagnetic

like a well-trained dolphin, the miniature experimental submarine maneuvered docilely around the waters of California's Santa Barbara yacht basin. No propellers, no

jets were visible along its sleek, 10-ft.-long hull, yet the sub was obviously moving under its own power, gliding silently at about 2 m.p.h. 3 ft. under the surface. There was

not a motor on board, but the odd little boat was being propelled by the same electrical phenomenon that causes

rotors in electric motors to turn: electromagnetic force.

Drehmoment

In 2 fließt der Strom nach unten In 4 fließt der Strom nach oben

Unterschiedliche Richtung des Stromes in Bezug auf das Magnetfeld liefert ein Drehmoment

0

|| B ⇒ L × B = L r r r r

B L r r

⊥

0 F F

0 F F

4 2

3 1

≠

=

=

=

IAB IabB

τ

IaB b IaB b

τ

F b F b

τ

=

=

+

=

+

=

max max

4 2

max

2 2

2 2

Maximales Drehmoment

B µ

B A I IAB

IAB IabB

τ

IaB b IaB b

τ

F b F b

τ

A I µ

r r r

r r r

r r

×

=

⇓

=

Θ

=

Θ

= Θ

=

Θ +

Θ

=

Θ +

Θ

=

=

τ τ τ

t Dipolmomen

es Magnetisch max

max

4 2

max

sin

sin sin

2 sin 2 sin

2 sin 2 sin

Winkel zwischen Leiter und Feld

D

E p

B µ τ

r r r

r r

×

=

×

= τ

t Dipolmomen es

Elektrisch

t Dipolmomen es

Magnetisch

Definition

d‘Arsonval Galvanometer

Problem in einem homogenen Magnetfeld Auslenkung hängt von Strom und Winkel ab

Jacques-Arsène d'Arsonval (1851-1940)

κφ κφ

−

= +

⇓

−

=

=

µB τ

τ

τ

µB τ

torsion mag

torsion mag

moment Gesamtdreh

magnetisch Torsion

nIA µ =

κ φ κ φ

κφ

n AB I AB I n nIAB

≈

=

−

= 0

Designparameter des Instruments

Zeigerausschlag proportional dem Strom

n; Anzahl Windungen I: Strom

A: Fläche

Gleichgewicht der Kräfte

und unabhängig vom Auslenkungswinkel

Θ

= µB sin

τ

Geladenes Teilchen im magnetischen Feld

qB m T r

m qB r

qB r m

r B m

q F

π π ω

v 2 2

v

² v

² v v

=

=

=

=

=

⇓

=

=

in diesem Fall auch Zyklotronfrequenz genannt

Winkelgeschwindigkeit

Bewegung eines Teilchens mit einem beliebigem Geschwindigkeitsvektor

2 z 2

y

v

v v

0 v

, v

v 0

+

=

≠

=

⇒

=

⊥

z y

x

x

const

a

Annahme B-Feld zeigt in x-Richtung

Bewegung des Teilchens im Magnetfeld ist eine Spiralbahn

Magnetisches Feld wirkt nur auf die

Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zu v_x Komponenten von v_y und v_z ändern sich mit der Zeit

inhomogenes Feld Magnetische Flasche

Bewegung eines Teilchens mit einem Geschwindigkeitsvektor senkrecht zum Magnetfeld

Erdmagnetfeld

William Gilbert (englischer Physiker) behaupted im Jahr 1600, die Erde selbst sei ein Magnet und magnetische Pole besitzt

“On the Magnet, Magnetic Bodies, and the Great Magnet of the Earth”

William Gilbert (1544 1603)

Erdmagnetfeld

Magnetische Deklination

Wanderung des magnetischen Nordpols

Van Allen Gürtel

Magnetfeld der Erde

Geladene Teilchen aus dem Sonnenwind oder der kosmischen

Strahlung werden im

inhomogenen Magnetfeld der Erde gespeichert

Bewegung geladener Teilchen im Magnetfeld

typisch Zeiten für den Weg von Pol zu Pol nur wenige Sekunden

An den Polen können die Teilchen in die Atmosphäre

eindringen und mit

Gasatomen kollidieren

Wienfilter

Magnetfeld senkrecht auf elektrischem Feld

( )

( )

B v E

qvB qE

v

v v

=

=

⇓

⊥

=

⊥

×

=

E E

q F

B B

q F

E

B

r r r r

r r r r

r

Magnetisches Feld Ablenkung nach oben

Elektrisches Feld Ablenkung nach unten

Magnetische Kraft Elektrische Kraft

Geschwindigkeitsfilter

2 2

2

2

2 v² 1 2 1

E KE B m

B m E m

KE

=

⇓

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

Massenspektrometer

Kräftegleichgewicht

Wiegen von Atomen und Molekülen

Experimentelle Ausführung

Massenspektrometer

Magnetisches Feld Ablenkung horizontal

Impulsrichtung

Elektrisches Feld Ablenkung vertikal

Energierichtung

Thomson-Massenspektrometer

Magnetisches Feld

Radius der Kreisbahn entspricht dem Impuls des Teilchens

Resultierende Bahnen sind Parabeln Joseph John Thomson

(1856-1940)

Auflösung

20000 typisch

m m

Magnetisches Sektorfeld

Δ

Massenspektrometer

Hall-Effekt

Bewegung der Ladungsträger in einem Leiter unter Einfluss eines magnetischen Feldes

Ladungsträger bewegen sich mit ihrer Driftgeschwindigkeit

Das magnetische Feld lenkt Elektronen nach links ab

Überschuss negativer Ladungsträger auf

dieser Seite

Überschuss positiver Ladungsträger aufr dieser Seite

Potentialdifferenz Hallspannung

Edwin Herbert Hall (1855-1938)

h R IB V

nqh IB nqA

V IBd

Bd d

E V

B E

B q qE

H H

H

d H

H

d H

d H

= Δ

=

= Δ

=

= Δ

⇓

=

=

v v

v

nqA I

d

= v

h d A = ⋅

Hallkoeffizient

R

= nq 1

Missing link

Hans Christian Oersted (1777-1851)

Bei der Erhitzung eines Leiters für einen Demonstrationsversuch entdeckt Oersted, dass eine Kompassnadel abgelenkt wird

Vorherige Annahme: Elektrizität und Magnetismus haben nichts miteinander zu tun!

Missing link ist der elektrische Strom

Magnetisches Feld

eine bewegte Ladung

Erinnerung

elektrisches Feld

2

, 1

~ q E r

E =

E-Feld Vektor vom Quellpunkt der Ladung zum Punkt wo das Feld gemessen wird

Fragestellung

Wie sieht das magnetische Feld einer Ladung aus?

v , 1

~

r r

⊥

= B

B r q B

B-Feld Vektor steht nicht auf der Verbindungslinie zwischen Quellpunkt und Feldpunkt

q

Quellpunkt

P

Feldpunkt

( )

r² q B µ

r² q B µ

B

r v 4

vsin 4

sin v

~

0 0

r v c

= ×

=

⇓

π

φ π

φ

Magnetisches Feld einer Punktladung, das sich mit konstanter Geschwindigkeit v durch ein

magnetische Feld bewegt Magnetische

Feldlinien umgeben die bewegte Ladung

[ ] [ ] [ ]

A 10 Tm 4

A Tm Am

Wb A

N C

s² N

m A

N m

C s T N

7 0

2 0 2

⋅ −

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦=

⎢⎣ ⎤

=⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦=

⎢⎣ ⎤

=⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦=

⎢⎣ ⎤

=⎡

=

π µ µ

B

Dimensionsanalyse μ₀

² 1 c µ

= ε

Magnetfeld zwischen Protonen

( ( ) )

r² q F µ

B q

F

r² q B µ

M M

2 2 0

0

v 4

v v 4

1 sin

π π φ

=

×

−

=

=

⇓

=

r

r r r

proton

proton

v r

v r r v r << c

r² F

q

2

4

1

= πε

Coulomb-Wechselwirkung

repulsiv Magnetische Wechselwirkung

) n Bedingunge ivistische

nichtrelat (

für v ,

v v v 4 4

2 2

2 0 0

2 2 0 2

2 0

c F

F

F c F F µ F

q r r²

q µ F

F

C M

C M C M C

M

<<

<<

=

=

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

r r

r r r r r

r

ε π πε

Das Verhältnis

Magnetische Kraft in der Regel deutlich geringer als das elektrische Feld Vorgriff auf Thema elektromagnetische Wellen : Es gibt einen

Zusammenhang zwischen dem elektrischen Feld, dem magnetischem Feld

und der Lichtgeschwindigkeit!!!

B d r

s d r

Magnetfeld eines Leiters

Anwendung des Superpositionsprinzip für magnetische Felder

Das totale magnetische Feld hervorgerufen durch mehrere Ladungen ist die Vektorsumme der Felder aller Einzelladungen

betrachte kurzes Segment

Volumen dieses Leiterstücks Fläche x Länge des Segments n Ladungen q pro Volumeneinheit

nqAds

dQ = Ads

Driftgeschwindigkeit

v r

s d r

2 0

v

2 0

2 0

sin 4

sin v

4

sin v

4

r Ids dB µ

r Ads q

µ n dB

r Ads µ dQ

dB

I A q n

d d

d

= Θ

⇓

= Θ

= Θ

=

π π π

r ˆ

Biot-Savart Gesetz

Jean-Baptiste Biot (1774-1862)

Félix Savart (1791-1841)

Eigenschaften

Der Vektor dB steht sowohl senkrecht auf der Richtung des Stroms als auch senkrecht zum Einheitsvektor der auf den Punkt P zeigt Der Betrag von dB ist proportional zu 1/r², wobei r der Abstand zwischen ds und P ist

Der Betrag von dB ist proportional zum Strom und zum Betrag von ds Der Betrag von dB ist proportional zum sin des Winkels zwischen ds und r

B d r

s d r

Biot-Savart Gesetz

Magnetfeld, das durch ein kleines

stromdurchflossenes Leiterstück erzeugt wird

∫ ^×

=

⋅ ⋅

=

= ×

−

2 0

7 0

2 0

ˆ 4

A m 10 T

4

ˆ 4

r r s d B I

r r s B Id

d

r r r

π μ

π μ

π μ

Gemeinsamkeiten und Unterschiede elektrischen Feld einer Punktladung

1/r² Abhängigkeit radiales Feldaber isolierte Ladung

Bemerkung: Biot-Savat Gesetz gilt auch für Ladungsträger, die sich im freien Raum

bewegen (z.B. Fernsehröhre)

Feldpunkt P

Integration

r ˆ

hier soll das Feld berechnet werden

Magnetisches Feld

endlos langer Leiter

Fläche ˆ ⊥

× r s

d r ( )

( )

2 0

2 0

Gleichung die

in einsetzen

sin 4

sin ˆ 4

ˆ

sin ˆ ˆ ˆ

ˆ

r dx I dB µ

r k dx I k µ

dB B

d

k dx

k r s d r s d

= Θ

= Θ

=

⇓

Θ

=

×

=

×

π π r

r r

( )

a I B µ

a I d µ

a I B µ

a d I dB µ

x n Integratio

π π π

π

π π

2

cos 4 cos

4 sin

4 sin

0 2 cos 0 cos

, 0

2 1

0 0

bis 0

2 1 2

1

2 1

=

⇓

⇓

Θ

− Θ

= Θ Θ

=

⇓

Θ Θ

=

=

−

= Θ

=

∞ Θ

→ Θ

Θ

Θ Θ

∫

unendlich langer Leiter

Rechte-Hand-Regel

kleine Umformung um diesen Term auszuwerten

Vektor k zeigt in Richtung senkrecht zu dieser Fläche

Magnetfeld fällt mit 1/Abstand ab

Überlandleitung

schneller Abfall des magnetischen Feldes durch günstiges Schalten

der drei Phasen

Vergleich

Amperesches Gesetz

Allgemein

Summation oder Integration über einen geschlossenen Weg!

I l

d B

I l

B

0 0

||

oder μ

μ

=

= Δ

∫

∑

v r

Amperesches Gesetz

Andre-Marie Ampere (1775-1836)

Erinnerung

Zusammenhang zwischen dem Strom durch einen geraden Leiter und dem damit erzeugten Magnetfeld

Wie sieht das Magnetfeld für einen beliebig geformten Leiter aus?

Komponenten von B die parallel zu dl ist

30

Magnetfeld einer Leiterschleife

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ^{x R} )

x IR B µ

R x I B µ

R B l

l l B

l B l

B l

B

m

m

>>

=

=

=

= Δ + + Δ + Δ

Δ + + Δ + Δ

2 für

0 bei

Achse der

2 auf

2 ...

...

2 2 0 0

2 1

2 1

π π

π

Feld eines Stabmagneten Feld eines Leiterschleife

große Abstände

Summation über den Kreis