SS 2010 Dr. Ch. Bock
Elemente der Analysis I
Ubungsblatt 3¨
Aufgabe 1. Verwende die Definition der Konvergenz, um zu ¨uberpr¨ufen, ob die angegebenen Folgen konvergieren. Bestimme ggf. den Grenzwert.
(i) (1 + (−1)n)n∈N, (ii)
(−1)n+1 n+ 1
n∈N
, (iii) 1
√n+ 1
n∈N
, (iv) √ n
n∈N, (v)
n n+ 1
n∈N
, (vi) 2n
nn
n∈N
.
Aufgabe 2. Die Folge (an)n∈N+ sei gegeben durch
∀n∈N+ sin3(n)−3 cos(n)
n .
Zuε∈R+ bestimme man a∈Rund n0 ∈N+ derart, daß gilt
∀n∈N+ (n≥n0=⇒ |an−a|< ε). Tip:∀x∈R|sin(x)| ≤1,|cos(x)| ≤1.
Aufgabe 3. Zeige, daß die angegebenen Folgen konvergieren und bestimme die Grenzwerte.
(i)
3n2−n n2+ 5
n∈N+
, (ii)
3n2−n n2+ 5
n∈N+
, (iii)
1− 1 n
n
n∈N+
.
Hinweis: Bei (iii) darf limn→∞(1 + 1n)n= e = exp(1) mit derEulerschen Zahl e :=
∞
X
k=0
1
k ≈2,718 verwendet werden.
Aufgabe 4. Die Folge (an)n∈N+ werde rekursiv durch a1:= 1
2 und ∀n∈N+an+1= an2+ 3an 2 definiert.
(i) Zeige, daß (an)n∈N+ monoton wachsend und beschr¨ankt ist.
Tip: Zeichne zun¨achst den Funktionsgraphen von x7→ x2+3x2 und x7→x.
(ii) Begr¨unde, daß (an)n∈N+ konvergiert und bestimme den Grenzwert.
bitte wenden
Aufgabe 5. Die Folge (an)n∈N+ werde rekursiv durch
a1 := 5 und ∀n∈N+an+1= 3 + 2 7−an definiert.
(i) Zeige induktiv, daß gilt∀n∈N+3≤an≤5.
(ii) Begr¨unde, daß (an)n∈N+ konvergiert und bestimme den Grenzwert.
Abgabe: Freitag, den 28.05.2010 in der Vorlesung 2
