4 Beweisen Sie bitte die EinbettungHm,p(Ω)→Lq(Ω) mit 1 q = 1p−mp, falls mp &lt

Ubungen zu Partielle Differentialgleichungen II¨ Blatt 3

1 Sei Ω ⊂ Rⁿ beschr¨ankt mit ∂Ω ∈ C^0,1. L¨osen Sie bitte das Variations- problem

Z

Ω

|Du|²→min ∀u∈V ={u∈H^1,2(Ω) : Z

Ω

u= 0 ∧ Z

Ω

|u|²= 1}

und zeigen Sie, daß die L¨osunguder Eigenwertaufgabe

−∆u=λu

−^∂u_∂ν = 0

gen¨ugt—zumindest im schwachen Sinne. Dies bezieht sich insbesondere auf die Randbedingung, die ja nur in der KlasseH^2,2(Ω) wohldefiniert ist.

Hinweis: Benutzen Sie beim Beweis, daß die EinbettungH^1,2(Ω)→L²(Ω) kompakt ist.

2 Beweisen Sie f¨ur GebieteΩwie in Aufgabe 1 die sog. Poincar´esche Unglei- chung

Z

Ω

|u|²≤c Z

Ω

|Du|² ∀u∈ {u∈H^1,2(Ω) : Z

Ω

u= 0}

mit einer geeigneten Konstantenc >0.

3 Beweisen Sie die verallgemeinerte H¨oldersche Ungleichung

Z

Ω k

Y

i=1

f_i ≤

k

Y

i=1

kfikpi,

k

X

i=1 1 pi = 1.

4 Beweisen Sie bitte die EinbettungH^m,p(Ω)→L^q(Ω) mit

1

q = ¹_p−^m_p, falls mp < n,

wobei das beschr¨ankte Gebiet Ω ⊂Rⁿ die H^m,p-Fortsetzungseigenschaft haben soll.

5 HabeΩdieH^m,p-Fortsetzungseigenschaft und sei beschr¨ankt, so l¨aßt sich H^m,p(Ω)→C^j,α( ¯Ω) einbetten, wobeim∈Nund 1≤p <∞, falls sichm aufspalten l¨aßt in der Form

m=k+j und

(k−1)p < n < kp, α=k−ⁿ_p, oder

(k−1)p=n, 0< α <1 beliebig.