Universität Heidelberg 31. Mai 2019

(1)

Web:

www. mathi. uni-heidelberg. de/ ~hofmann/ files/ ana2. html

Universität Heidelberg 31. Mai 2019

Mathematisches Institut Prof. Dr. Winfried Kohnen Dr. Eric Hofmann

Analysis 2 – Übungsblatt 6

Sommersemester 2019

Aufgabe 1 (2+2 Punkte)

Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil von

a)

µ 5 + 3i 2 − 4i

¶

2

, b) ³

1 − p 3i ´

n

(n ∈ N ).

Aufgabe 2 (4 Punkte) Sei H = ©

z = x + i y | y > 0 ª

und E = {z ∈ C | |z | < 1}. Sei β ∈ H und setze f

_β

(z) = z − β

z − β ¯ (z ∈ H ) .

Zeigen Sie, dass die Abbildung f

_β

: H → E wohldefiniert und bijektiv ist mit f

_β

( β ) = 0.

Aufgabe 3 (2+2 Punkte)

(a) Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen i)

X

∞ n=1

n

^α

z

ⁿ

(α ∈ R), ii)

X

∞ n=1

n

ⁿ

n! z

ⁿ

. (b) Zeigen Sie:

i) arctan x = x − x

³

3 + x

⁵

Universität Heidelberg 31. Mai 2019

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Universität Heidelberg 31. Mai 2019

Mathematisches Institut Prof. Dr. Winfried Kohnen Dr. Eric Hofmann

Analysis 2 – Übungsblatt 6

Sommersemester 2019

Aufgabe 1 (2+2 Punkte)

Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil von

a)

µ 5 + 3i 2 − 4i

¶

, b) ³

1 − p 3i ´

(n ∈ N ).

Aufgabe 2 (4 Punkte) Sei H = ©

z = x + i y | y > 0 ª

und E = {z ∈ C | |z | < 1}. Sei β ∈ H und setze f

(z) = z − β

z − β ¯ (z ∈ H ) .

Zeigen Sie, dass die Abbildung f

: H → E wohldefiniert und bijektiv ist mit f

( β ) = 0.

Aufgabe 3 (2+2 Punkte)

(a) Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen i)

X

n

z

(α ∈ R), ii)

X

n

n! z

. (b) Zeigen Sie:

i) arctan x = x − x

3 + x

5 ∓ · · · ¡

| x | < 1 ¢ . ii) π

4 = 1 − 1 3 + 1

5 ∓ · · · .

Hinweis: Für ii) verwenden Sie i) und den Abelschen Grenzwertsatz.

Abgabe: 7. Juni, bis spätestens 11 Uhr ct.