Analysis 2 – Übungsblatt 1

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Universität Heidelberg 26. April 2019

Mathematisches Institut Prof. Dr. Winfried Kohnen Dr. Eric Hofmann

Analysis 2 – Übungsblatt 1

Sommersemester 2019

Aufgabe 1 (4 Punkte)

Beweisen Sie dieLeibnitz’sche Produktregelfür diente Ableitung:

Seien f,g:U_r(x_o)→R(r>0) im Punktex_o n-mal differenzierbare Funktionen, dann gilt für diente Ableitung der Funktionf·g:

(f·g)⁽ⁿ⁾(x0)=

n

X

k=0

Ãn k

!

f^(n−k)(xo)·g^(k)(xo),

wobei f⁽⁰⁾:=f undg⁽⁰⁾:=g.

Aufgabe 2 (2+2 Punkte)

(a) Seif : [a,b]→Rzwei mal stetig differenzierbar auf (a,b) und es geltef⁰(x₀)=0 für ein x0∈(a,b).Zeigen Sie:Istf⁰⁰(xo)<0 so hatf ein lokales Maximum inx0. Istf⁰⁰(x0)>0 so hatf ein lokales Minimum inx0.

(b) Untersuchen Sie die Funktionx³−3x²−9x−5 auf lokale Extrema, und bestimmen Sie deren Typ.

Aufgabe 3 (2+2 Punkte)

(a) Berechnen Sie das unbestimmte Integral

Z x

(1+x²)²d x.

(b) Berechnen Sie mit Hilfe von (a) das Integral

Z 1 0

x²−1 (1+x²)²d x.

Hinweis: x²−1

(1+x²)² = 2x²

(1+x²)²− 1 1+x².

Abgabe: 3. Mai , bis spätestens 11 Uhr ct.