Universität Heidelberg 10. Mai 2019

Web: www. mathi. uni-heidelberg. de/ ~hofmann/ files/ ana2. html

Universität Heidelberg 10. Mai 2019

Mathematisches Institut Prof. Dr. Winfried Kohnen Dr. Eric Hofmann

Analysis 2 – Übungsblatt 3

Sommersemester 2019

Aufgabe 1 (1+2+1 Punkte) Berechnen Sie folgende Integrale:

(a) Z

0

cos(x) · exp ¡ sin(x) ¢

d x , (b) Z ^p

_π

0

x ⁵ · cos ¡ x ³ ¢

d x , (c) Z e

1

x · log(x) d x . Aufgabe 2 (2+2 Punkte)

Für a > 0, a 6= 1 wurde in der Vorlesung der Logarithmus zur Basis a, log _a : R + → R ,

als Umkehrfunktion der Funktion f a : R → R + , mit x 7→ a ^x , definiert.

(a) Berechnen Sie die Ableitung (log _a ) ⁰ . (b) Zeigen Sie, dass

log _a (x) = log(x)

log(a ) (x ∈ R + ) gilt.

Aufgabe 3 (2+2 Punkte)

(a) Zeigen Sie folgende Beziehungen für die Funktionen sinh und cosh:

sinh(x + y ) = sinh(x) cosh(y ) + cosh(x) sinh(y) (x, y ∈ R), cosh(x + y ) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y) (x, y ∈ R ).

(b) Zeigen Sie, dass die Funktion sinh : R → R bijektiv ist und dass für ihre Umkehrfunktion, den Arsinh „Areasinus hyperbolicus“, gilt

Arsinh(x) = log ³ x + p

x ² + 1 ´

(x ∈ R ).

Abgabe: 17. Mai, bis spätestens 11 Uhr ct.