Dr. Simone Sanna, N3 301
Universit¨at Paderborn 11. Mai 2012
Theoretische Mechanik Sommersemester 2012
Ubungsblatt 6: Energiebilanz, Konservative Kraftfelder, ¨ Drehimpuls
Aufgabe 15 (3+3)
Ein Teilchen der Massem und EnergieE <0 bewegt sich in einem eindimensio- nalen Morse-Potential:
V(x) =V0
(e−2ax−2e−ax)
V0, a >0 E >−V0
x V
0
1 2
−V E
x x
Bestimmen Sie die Umkehrpunkte der Bewegung und die Schwingungsdauer des Teilchens.
Hinweis: Benutzen Sie die Abk¨urzungε = |E|
V0 . Es gilt außerdem:
∫ dξ
ξ√
2ξ−ξ2−ε = 1
√εarcsin
( ξ−ε ξ√
1−ε )
+C
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E-Mail: simone.sanna@uni-paderborn.de
Dr. Simone Sanna, N3 301
Universit¨at Paderborn 11. Mai 2012
Aufgabe 16 (3+2) Das Anfangswertproblem
md2r
dt2 =−γM m
r2 , r(0) =R, r(0) =˙ v0 >0,
beschreibt den freien geradlinigen Fall eines K¨orpers der Masse m. Der Abstand r(t) vom Erdmittelpunkt (Masse der Erde:M) zur Zeitt= 0 ist gleichRund die Anfangsgeschwindigkeit betr¨agt v0. γ ist die Gravitationskonstante. Berechnen Sie die L¨osung r(t) f¨ur den speziellen Fall, dass die Bewegung im Unendlichen zur Ruhe kommt. Geben Sie damit explizit die Fluchtgeschwindigkeit an, die eine von der Erdoberfl¨ache abgeschossene Rakete mindestens ben¨otigt, um dem Anziehungsbereich der Erde zu entfliehen.
Aufgabe 17 (4+2+1)
Ein Massenpunkt der Massembewegt sich in derxy-Ebene. Inx- undy-Richtung wirken harmonische Kr¨afte Kx = −mω2x und Ky = −mω2y. Zugleich wirkt in x-Richtung noch die Zusatzkraft Kx′ =αmω2y (α >0).
a) L¨osen Sie die Bewegungsgleichung mit den Anfangsbedingungen x(0) =y(0) = 0, x(0) = 0,˙ y(0) =˙ Aω.
b) Berechnen Sie den DrehimpulsLz(t) bez¨uglich des Ursprungs und skizzieren Sie die Bahnkurve des Massenpunkts.
Hinweis: Die allgemeine L¨osung der Differentialgleichung ¨z = −ω2z ist eine Linearkombination elementarer trigonometrischen Funktionen.
Abgabe am 18.5.2012
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