Michael Strauch, strauch@physik.uni-halle.de, Telefon 0345/55 25444 www.physik.uni-halle.de/˜strauch
Fachbereich Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
11. ÜBUNG THEORETISCHE MECHANIK
im Sommersemester 2004 Abgabe in der nächsten Übungsstunde!
Aufgabe 1 (7 Punkte)
Bestimmen Sie das Trägheitsmoment Θ =
Z
r
2dm, r : senkrechter Abstand von der Drehachse
folgender Körper mit homogener Massenverteilung, der Massendichte ρ und der Gesamtmasse M:
a) Ein Zylinder mit Radius R und Höhe H bei einer Rotation um die Symmetrie- achse, die mit der z-Achse zusammen fallen soll. Die Grundfläche des Zylinders soll in der xy-Ebene liegen.
Hinweis: Das Massenelement dmerhalten Sie aus der Definition der Massendichteρ= dmdV. Für das Volumenelement gilt in Zylinderkoordinaten dV =rdrdϕdz, wobei r der senk- rechte Abstand von der Zylinderachse ist.
Beachten Sie auch, daß das TrägheitsmomentΘnicht von der Höhe des Zylinders abhängt!
b) Eine Kugel mit Radius a bei einer Rotation um eine Achse durch ihren Mittel- punkt.
Hinweis:Es kann o. E. d. A. wieder diez-Achse als Rotations-Achse gewählt und der Kugel- Mittelpunkt in den Koordinatenursprung gelegt werden.
Begründen Sie, warum der senkrechte Abstand von der Drehachser=r0sinϑlautet, wobei r0der Abstand vom Kugel-Mittelpunkt ist! Das Volumenelement in Kugelkoordinaten lautet dann dV =r02sinϑdr0dϑdϕ.
Aufgabe 2 (3 Punkte)
Mit welcher Geschwindigkeit v trifft das obere Ende einer senkrecht auf dem Boden stehenden Stange mit homogener Massenverteilung der Länge l = 2, 50 m und Masse M beim Umfallen auf den Boden?
Hinweis: Beim Umfallen wird die potentielle Energie des Schwerpunktes der Stange in Rota- tionsenergie Erot= 12Θω2 umgewandelt. Das Trägheitsmoment einer um den Endpunkt rotie- renden Stange lautet Θ = 13M l2.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Ein aufrecht stehender Stab der Masse M trägt am oberen Ende ein punktförmig zu denkendes Gewichtsstück der gleichen Masse M . Welche Länge l besitzt der Stab, wenn sein oberes Ende beim Umfallen mit der Geschwindigkeit v = 3
msauf den Boden aufprallt?
Hinweis: Es wird wieder die potentielle Energie in Rotationsenergie umgewandelt. Die poten- tielle Energie setzt sich zusammen aus der potentiellen Energie des Schwerpunktes des Stabes und der potentiellen Energie der Punktmasse. Das Gesamt-Trägheitsmoment setzt sich ebenfalls aus dem des Stabes und dem der Punktmasse zusammen.
