Kugelkoordinaten
Ein Punkt P = (x, y , z ) kann durch seinen Abstand r = |OP|
zum Ursprung, den Winkel ϑ ∈ [0, π] zwischen OP und der z- Achse und den Winkel ϕ zwischen der x-Achse und der Projektion von OP auf die xy -Ebene darge- stellt werden.
Der Winkel ϕ der Kugelkoordinaten (r , ϑ, ϕ) ist nur bis auf ein Vielfaches von 2π bestimmt. Als Standardbereich wird meist ϕ ∈ (−π, π] vereinbart.
F¨ ur x = y = 0 (Punkt auf der z -Achse) ist ϕ beliebig und, falls ebenfalls
z = 0, so auch ϑ. In diesen F¨ allen kann Null als kanonischer Wert gew¨ ahlt
werden.
x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ, z = r cos ϑ bzw. f¨ ur (x, y ) 6= (0, 0)
r = p
x
2+ y
2+ z
2, ϑ = arccos(z / p
x
2+ y
2+ z
2), ϕ = arctan(y/x) , wobei je nach Vorzeichen von x und y ein geeigneter Zweig des
Arcustangens zu w¨ ahlen ist, d.h. gegebenenfalls ±π zu addieren ist. Mit dem Hauptzweig-Winkel ϕ
H= arctan(y/x) ∈ (−π/2, π/2) gilt bei Wahl des Standardbereichs f¨ ur ϕ
ϕ =
ϕ
H, f¨ ur x > 0,
sign(y )π/2, f¨ ur x = 0 ∧ y 6= 0, ϕ
H+ π, f¨ ur x < 0 ∧ y ≥ 0, ϕ
H− π, f¨ ur x < 0 ∧ y < 0 .
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Beispiel
Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ) der Eck- punkte
P
1= (1, 1, 1), P
2= (1, −1, −1), P
3= (−1, 1, −1), P
4= (−1, −1, 1) eines regelm¨ aßigen Tetraeders mit Kantenl¨ ange 2 √
2 und Schwerpunkt
O
(i) r = 1 + 1 + 1 = 3 (ii) ϑ = arccos(z/r) = arccos(1/ √
3) = 0.9553
(iii) Parallelit¨ at der Projektion von OP auf die xy -Ebene zur ersten Winkelhalbierenden = ⇒ ϕ = π/4
rechnerisch: ϕ
H= arctan(x/y ) = arctan(1/1) = π/4 und da x = 1 > 0 ist keine Korrektur (Addition von ±π) notwendig, d.h.
ϕ = ϕ
HAnaloge Berechnungen f¨ ur die anderen Punkte:
P
2= (1, −1, −1) → ( √
3, π − ψ, −π/4) P
3= (−1, 1, −1) → ( √
3, π − ψ, 3π/4) P
4= (−1, −1, 1) → ( √
3, ψ, −3π/4) mit ψ = arccos(1/ √
3) benutzt: arccos(−1/ √
3) = π − ψ aufgrund der Antisymmetrie des Kosinus bzgl. π/2
cos(ψ) = − cos(π − ψ)
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Beispiel
L¨ angen- und Breitengrade auf der Erdkugel: Kugelkoordinaten (r , ϑ, ϕ) mit
anderen Winkelbereichen
westliche L¨ ange 0
◦– 180
◦ϕ = 0 . . . −π n¨ ordliche Breite 0
◦– 90
◦ϑ = π/2 . . . 0 s¨ udliche Breite 0
◦– 90
◦ϑ = π/2 . . . π
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