Zylinderkoordinaten
Ein Punkt P = (x,y,z) kann durch den Winkel ϕ zwischen der x-Achse und der Projektion vonOPauf diexy- Ebene, die L¨ange%der Projektion und diez-Koordinate dargestellt werden.
Der Winkel ϕder Zylinderkoordinaten (%, ϕ,z) ist nur bis auf ein
Vielfaches von 2π bestimmt. Als Standardbereich wird meist ϕ∈(−π, π]
vereinbart.
F¨urx =y = 0 (Punkt auf derz-Achse) istϕbeliebig; als kanonischer
Es gilt
x =%cosϕ, y =%sinϕ, z =z bzw. f¨ur (x,y)6= (0,0)
%=p
x2+y2, ϕ= arctan(y/x), z =z, wobei je nach Vorzeichen von x undy ein geeigneter Zweig des Arcustangens zu w¨ahlen ist. Mit dem Hauptzweig-Winkel
ϕH = arctan(y/x)∈(−π/2, π/2) gilt bei Wahl des Standardbereichs f¨urϕ
ϕ=
ϕH, f¨urx >0,
sign(y)π/2, f¨urx = 0 ∧ y 6= 0 ϕH+π, f¨urx <0∧y ≥0, ϕH−π, f¨urx <0∧y <0.
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Beispiel
Zylinder- und Kugelkoordinaten, (%, ϕ,z) bzw. (r, ϑ, ϕ), des Punkts
P = (x,y,z) = (−1,√ 3,2)
Abst¨ande vom Ursprung:
% = |OQ|=p
x2+y2=√
1 + 3 = 2, r = |OP|=p
x2+y2+z2=√
1 + 3 + 4 = 2√ 2 Winkel mit derx-Achse:
ϕ= arctan(y/x) +π = arctan(−√
3) +π=−π
3 +π= 2 3π (Addition von π zum WinkelϕH = arctan(y/x)∈(−π/2, π/2) des Hauptzweigs des Arkustangens wegenx <0 und y>0)
Winkel mit der z-Achse:
ϑ= arccos(z/r) = arccos(1/√ 2) = π
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alternative Winkelbestimmung:
X = (x,0,0),O,Q bilden die H¨alfte eines gleichseitigen Dreiecks
=⇒
^(X,O,Q) =π/3, ϕ=π−π/3 = 2π/3
Z = (0,0,z),O,P bilden ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck
=⇒
ϑ=^(Z,O,P) =π/4
