Michael Strauch, strauch@physik.uni-halle.de, Telefon 0345/55 25444 www.physik.uni-halle.de/˜strauch
Fachbereich Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
1. ÜBUNG THEORETISCHE MECHANIK
im Sommersemester 2004 Abgabe in der nächsten Übungsstunde!
Aufgabe 1 (11 Punkte)
~
e1,~e2,~e3 seien orthogonale Einheitsvektoren in x, y, z-Richtung.
a) Berechnen Sie:
~
e3·(~e1+~e2), (5~e1+ 3~e2)·(7~e1−16~e3), (~e1+ 7~e2−3~e3)·(12~e1 −3~e2 −4~e3).
b) Bestimmen Sie α so, daß die Vektoren ~a = 3~e1−6~e2+α~e3 und
~b=−~e1+ 2~e2−3~e3 orthogonal zueinander sind!
c) Wie lang ist die Projektion des Vektors ~a= 3~e1+~e2−4~e3 auf die Richtung von~b = 4~e2 + 3~e3?
d) Zerlegen Sie den Vektor~a=~e1−2~e2+ 3~e3in einen Vektor senkrecht und einen Vektor parallel zum Vektor~b=~e1+~e2+~e3!
e) Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Vektoren ~a= (2 +√
3)~e1+~e2 und
~b=~e1+ (2 +√ 3)~e2! Aufgabe 2 (10 Punkte)
Gegeben sind die Vektoren~a= 2~e1+ 4~e2+ 2~e3 und~b = 3~e1−2~e2−7~e3.
a) Geben Sie~a+~b,~a−~b, −~a und (2~a−3~b) in Komponenten an! Berechnen Sie die Beträge dieser Vektoren und zeigen Sie die Gültigkeit der Dreiecksun- gleichung |~a+~b| ≤a+b!
b) Berechnen Sie~a×~b,(~a+~b)×(~a−~b)und~a·(~a−~b)!
c) Berechnen Sie die Fläche des von~aund~b aufgespannten Parallelogramms und bestimmen Sie einen Einheitsvektor, der auf dieser Ebene senkrecht steht!
Bitte wenden!
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Theoretische Mechanik — Serie 1
Aufgabe 3 (8 Punkte) Gegeben ist die Matrix
A=
2 −1 2
−1 2 −2 2 −2 5
.
a) Berechnen Sie, wie die Vektoren ~a1 = (−3,4,1), ~a2 = √1
3(−1,1,1) und
~a3 = (1,0,0) durch A abgebildet werden! Bestimmen Sie die Determinante von A!
b) Untersuchen Sie das Kommutativ- und das Distributivgesetz für das Skalar- und das Vektorprodukt der drei Vektoren~ai!
Aufgabe 4 (5 Punkte)
Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem unter Verwendung der Cramerschen Regel!
x−y+ 2z = 7, 2x−3y+ 5z = 17,
3x−2y−z = 12.
Aufgabe 5 (8 Punkte)
Der Nabla-Operator ist ein in der theoretischen Physik häufig verwendeter Differentialoperator. Berechnen Sie für den Ortsvektor~r= (x, y, z):
a) ∇ ·~r sowie∇ ×~r, b) ∇r,
c) ∇(~r2)sowie ∇(~c0·~r),~c0 konstant, d) ∇ 1r
fürr 6= 0, e) ∇ · r~rn
für r6= 0, f) ∇ × r~rn
für r6= 0.
Aufgabe 6 (2 Punkte)
Welche Gleichung in Zylinderkoordinaten hat eine Kugel, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt und deren Radius R = 1 ist?
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