TECHNISCHE UNIVERSITAT BERLIN WS 1998/1999 Tutor D. Irribarre

TECHNISCHE UNIVERSITAT BERLIN WS 1998/1999 Tutor D. Irribarre

Prob eklausurLosungen

Aufgab e1:

Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz:

a)

1

X

n=1

(

^;

3)

ⁿ

(2

ⁿ

)!

^2Punkte

Quotientenkriterium lim

n!1

(

^;

3)

ⁿ⁺¹

(2

ⁿ

)!

(2

ⁿ

+ 2)!(

^;

3)

ⁿ

= lim

n!1

(

^;

3)(2

ⁿ

)!

(2

ⁿ

+ 2)(2

ⁿ

+ 1)(2

ⁿ

)! = lim

^n!1

(

^;

3)

(2

ⁿ

+ 2)(2

ⁿ

+ 1) = 0

^<

1

^{)k onv :}

b)

1

X

n=1

10

ⁿ

n n

2Punkte

Wurzelkriterium lim

n!1

10

ⁿ

n n

1=n

= lim

n!1

10

n

= 0

^<

1

^{)k onv :}

c)

1

X

n=1

2

^n;

1

3

ⁿ²

+ 7

ⁿ

+ 1

^2Punkte

Minorantenkriterium 2

^n;

1

3

ⁿ²

+ 7

ⁿ

+ 1 = 2

^n;

1

4

ⁿ²

+ 8

ⁿ

+ 4

^;n2;n;

3 = 2

^n;

1

4(

ⁿ

+ 1)

^2;n2;n;

3

^>

2

^n;

1

4(

ⁿ

+ 1)

²

=

ⁿ

+ 1 +

^n;

2 4(

ⁿ

+ 1)

^{2 >}

n

+ 1 4(

ⁿ

+ 1)

^{2 >}

1

4(

ⁿ

+ 1)

^{)div :}

Aufgab e2:

Bestimme folgende Grenzwerte:

a) lim

x!1 x

n

;

1

x;

1

^2Punkte

x n

;

1

x;

1 =

^xn;1

+

^xn;2

+

^:::

+

^x2

+

^x

+ 1 lim

x!1 x

n;1

+

^xn;2

+

^:::

+

^x2

+

^x

+ 1 =

ⁿ

b) lim

n!1

n 2

(

ⁿ²

+ 2

ⁿ

+ 1)

n

2Punkte

n 2

(

ⁿ²

+ 2

ⁿ

+ 1)

n

=

n 2

(

ⁿ

+ 1)

²

n

=

^;nⁿ

+ 1

2n

=

;;

n

n

+ 1

n

2

=

1

n+1

n

n

2

=

1 1 +

ⁿ¹

n

2

lim

n!1

1

1 +

¹ⁿ

n

2

= (

^1e

)

²

Aufgab e3: 3Punkte

Bestimme Sie Konstanten

,

^2IR

derart,da die Funktion

f

(

^x

) =

(

x 2

;x

+

^x;

1 (

+

)

^{x ;}

1

^<x<

1

x

2

+

^{x; x}

1 an allen Stellen x

^2IR

stetig wird.

lim

x!;1 +

f

(

^x

) = 1 +

+

lim

x!;1

;

f

(

^x

) =

^;;)

2

+ 2

=

^;

1 lim

x!1

;

f

(

^x

) =

+

lim

x!1 +

f

(

^x

) = 1 +

^;)

=

¹²⁾

=

^;

1

Aufgab e4: 3Punkte

Skizziere den Graphen der folgenden Funktion

^f

, und bestimme ihre Umkehrfunktion. Warum ist umkehrbar?.Warum ist diese stetig?

f

(

^x

) =

n

(

^x;

3)

^2;

4

^x

3

x;

7

^x<

3

Die Funktion ist umkehrbar, weil sie streng monotom steigend ist. Die Umkehrfunktion ist stetig, weil die Funktion

^f

stetig ist.

^f

ist stetig,weil Polynomfunktionen stets stetig sind. Es ist nur die Stetigkeit der Funktion lim

^f

an der Stelle 3 zu untersuchen.

x!3

;

f

(

^x

) =

^;

4 = lim

x!3 +

f

(

^x

) =

^f

(3)

^:

f

1

(

^x

) = (

^x;

3)

^2;

4

^)y1

= (

^x1;

3)

^2;

4

⁾

(

^x1;

3)

²

=

^y1

+ 4

^)x1

= 3

^py1

+ 4

f

1

: 3

+

¹

^!

^;

4

+

¹

^)f1;1

:

^;

4

+

¹

^!

3

+

¹

^)x1

= 3 +

^py1

+ 4.

f2

(

^x

) =

^x;

7

^)y2

=

^x2;

7

^)x2

=

^y2

+ 7

f

2

:

^;1

3

^!

^;1;

4

^)f2;1

:

^;1;

4

^!

^;1

3

Aufgab e5: 2Punkte

Stelle die folgende komplexen Zahlen in der Form

^{r ei'}

dar:

a)

^z1

=

^;;

1 +

^p

3

ⁱ⁴

c

1

= (

^;

1 +

^p

3

ⁱ

)

^r

=

^p

1 + 3 = 2

^'

= 23

^)c1

= 2

^e23i)z1

= 16

^e83i

b)

^z2

=

1 +

ⁱ

1

^;i

8

c

2

= ( 1 + 1

^;ii

) = (1 +

ⁱ

)(1 +

ⁱ

) (1 +

ⁱ

)(1

^;i

) = 2

ⁱ

2

^)c2

=

^i)z2

=

ⁱ⁸

= 1 =

^e0i

Aufgab e6: 2Punkte

Berechne alle Losungen von

^z3

= 4

^p

2(

^i;

1)

^:

Stelle die Losungen in algebraischer Form dar.

r

= 4

^p

2

^p

1 + 1 = 8

^)r

= 2

^tan

(

^'

) =

^;

1

^)'

=

³4 z

3

= 8

^e(3+2k)4

z

= 2

^e4+2k3

k

= 0

^z

= 2

^{e4 )z}

= 2(

^cos

(

⁴

) +

^isin

(

⁴

))

⁾

2(

^p22

+

^p22i

)

^)z1

=

^p

2 +

^p

2

ⁱ