Zusatzparameter

4.2 Panoramakamera

chem Rotationsantrieb von der Drehgeschwindigkeit der Panoramakamera abhängig, bei einem Antrieb mit Schrittmotor von der Schrittweite. Wird der Wert des Parameters Ah mit dem Radius des Abbildungszylinders r' multipliziert, ergibt sich der horizontale Pixelabstand auf dem Zylindermantel. Dieser sollte mit dem verti-kalen Pixelabstand Av identisch sein, da es sonst zu einer Affinität, d.h. zu einer Abweichung von der Gleich-maßstäbigkeit der Bildkoordinatenachsen kommt. Aus diesem Grund entspricht Ah einem Affinitätsparameter.

(4.13) Die vertikale Komponente z' des zylindrischen Kamerakoordinatensystems ist mit der Panoramabildkoor-dinate y' identisch. Für die Umrechnung in eine entsprechende Bildzeile v des PixelkoorPanoramabildkoor-dinatensystems wird die Kenntnis des vertikalen Pixelabstandes Av und die Anzahl der Bildzeilen im Panoramabild V auf der Sen-sorzeile vorausgesetzt:

(4.14)

4.2.3.4 Zusammenfassung der Teiltransformationen

Durch Zusammenführen der in den vorangegangenen Kapiteln hergeleiteten Formeln, ergeben sich folgen-de Gleichungen, die die Abbildung von Objektpunkten in ein Panoramabild beschreiben:

(4.15)

(4.16)

Diese Gleichungen sind mit den Kollinearitätsgleichungen der zentralperspektiven Abbildung vergleich-bar, da sie die Beobachtungen, d.h. die Bildkoordinaten, als Funktion der Orientierungs- und Objektpunktpa-rameter beschreiben. Damit sind die hergeleiteten Transformationsbeziehungen Grundlage für verschiedene Ausgleichungsaufgaben von Bilddaten einer Rotationszeilenkamera.

Die kartesischen Koordinaten der Objektpunkte im Kamerakoordinatensystem x, y und z sind wie auch bei der zentralperspektiven Abbildung für die Transformation ins Objektkoordinatensystem mit den Gleichungen (4.4) zu substituieren. Die Gleichungen (4.15) und (4.16) wurden um die Korrekturterme Δx' und Δy' erwei-tert, in denen zusätzliche Parameter zur Kompensation von Restsystematiken berücksichtigt werden (vgl. Ka-pitel 4.2.4). Außerdem wurde Gleichung (4.15) um die vertikale Komponente des Bildhauptpunktes y0' er-weitert.

Diese Modellabweichung wirkt sich ausschließlich auf die vertikalen Bildkoordinaten aus. Die Abhängig-keit der Bildkoordinaten von der Neigung der Sensorzeile N kann mit Hilfe von Abbildung 4.10 hergeleitet werden:

Folgende Gleichung lässt sich aus Abbildung 4.10 ableiten (Sinussatz im allgemeinen Dreieck):

(4.17) Der Winkel ε ist ein Hilfswinkel, der sich aus der Richtung des Abbildungsstrahles ergibt:

(4.18) z '

z 'z '=sinπ−ε−N sinε

ε=π

2arctanz ' c

Abbildung 4.9: Neigung der Sensorzeile

Abbildung 4.10: Auswirkung der Sensorneigung auf vertikale Bildkoordinaten

4.2 Panoramakamera

Daraus resultiert schließlich der Korrekturterm vertikaler Bildkoordinaten in Abhängigkeit von der Nei-gung der Sensorzeile. Auf horizontale Bildkoordinaten hat die SensorneiNei-gung keinen Einfluss:

(4.19)

4.2.4.2 Kantung der Sensorzeile gegenüber der Rotationsachse

Liegen Sensorzeile und Rotationsachse nicht in einer gemeinsamen Ebene, ist die Sensorzeile gegenüber der Rotationsachse verkantet. Die gegenseitige Lage von Rotationsachse und Sensorzeile wird dann mathema-tisch als windschief bezeichnet (vgl. Abbildung 4.11). Objektgeraden, die parallel zur Rotationsachse stehen, werden nicht nur in einer Bildspalte abgebildet, sondern schneiden mehrere Spalten. Für Objektpunkte im Ka-merahorizont (z = 0) wirkt sich der Fehler nicht aus.

Wie Abbildung 4.12 zeigt, wirkt sich diese Modellabweichung hauptsächlich auf die horizontale Kompo-nente der Bildkoordinaten aus. Auf vertikale Bildkoordinaten hat die Verkantung nur einen geringen Einfluss.

x'_N=0 y '_N= z'=

z '⋅cos



^{arctan z 'r '}



cos



^arctanz'r 'N



^{−z '}

Abbildung 4.11: Kantung der Sensorzeile

Aus Abbildung 4.12 lassen sich folgende Korrekturterme ableiten:

(4.20)

4.2.4.3 Exzentrizität des Projektionszentrums bezüglich der Rotationsachse

Das im Kapitel 4.2.3 hergeleitete geometrische Basismodell geht davon aus, dass sich das Projektionszen-trum in der Rotationsachse befindet und der Radius des Abbildungszylinders r' deshalb mit der Kamerakon-stante c übereinstimmt. Tatsächlich existiert jedoch meist eine Restexzentrizität e, die dazu führt, dass es streng genommen nicht nur ein Projektionszentrum gibt, sondern ein individuelles für jede Bildspalte. Die Kamerakonstante des Objektives c ergibt sich dann durch die Differenz zwischen r' und e. Zur Herleitung der Auswirkung der Exzentrizität e auf die Bildkoordinaten soll Abbildung 4.13, ein Vertikalschnitt durch den Abbildungszylinder, dienen.

Aus dieser Abbildung lassen sich folgende Strahlensatzbeziehungen ableiten:

(4.21)

(4.22) Durch Umstellen von Gleichung (4.21) nach r' und Einsetzen in (4.22) ergibt sich die Abweichung verti-kaler Bildkoordinaten aufgrund der Exzentrizität zwischen Projektionszentrum und Rotationsachse. Auf hori-zontale Bildkoordinaten hat diese Exzentrizität keinen Einfluss:

(4.23) Abbildung 4.12: Auswirkung der Sensorkantung auf horizontale

und vertikale Bildkoordinaten

z ' z =r '−e

r−e z 'z '

z =r ' r

x'e=0 y 'e=z '=e⋅ z−z '



^x2y2

x'_K=  ⋅r '=z '⋅tanK y '_K= z '=z '⋅



^cos1K−1



4.2 Panoramakamera

4.2.4.4 Verzeichnung des Objektivs

Die radial-symmetrische Verzeichnung wurde bereits in den Kapiteln zur Zentralperspektive (4.1.2 und 4.1.3) erläutert und entsprechende Korrekturterme vorgestellt. Während sich die Verzeichnung bei Kameras mit Flächensensoren zweidimensional, d.h. auf beide Bildkoordinatenrichtungen, auswirkt, ist ihr Einfluss bei einer Rotationszeilenkamera nur in vertikaler Bildkoordinatenrichtung (also in Richtung der Sensorzeile) wirksam. Entsprechend Gleichung (4.5) kann die Korrektur vertikaler Bildkoordinaten formuliert werden:

(4.24) Der Parameter r0 beschreibt einen zweiten Nulldurchgang der Verzeichnungsfunktion, und sollte bei etwa 2/3 des Bildradius liegen, das entspricht bei Rotationszeilenkameras 1/3 der Sensorlänge. Dieser Parameter dient der Entkorrelation der Verzeichnungsparameter vom Bildmaßstab.

Andere Verzeichnungseffekte, wie die radial-asymmetrische und tangentiale Verzeichnung (Dezentrier-verzeichnung) können sich nur in einer Dimension (in Richtung der Sensorzeile) auf die Bildkoordinaten aus-wirken. Dadurch werden sie aber vollständig durch andere Zusatzparameter, wie die Sensorneigung und die radial-symmetrische Verzeichnung in Verbindung mit einer Bildhauptpunktverschiebung, kompensiert.

4.2.4.5 Affinität

Ursachen für eine Affinität können vor allem eine zu schnell oder zu langsam rotierende Kamera sein. Die aufgenommenen Pixel wären dann nicht mehr quadratisch, was dazu führt, dass die Bildinformation bei zu großer Rotationsgeschwindigkeit gestaucht und bei zu niedriger Geschwindigkeit gestreckt wird.

Die Affinität wird entweder durch den in Kapitel 4.2.3.3 eingeführten Parameter Ah direkt im Grundmo-dell berücksichtigt oder wird als Zusatzparameter, wie auch bei zentralperspektiv abbildenden Kameras üb-lich, entsprechend Gleichung 4.8 eingeführt [El-Hakim, 1986]:

(4.25)

x'rad=0 y 'rad=A1⋅y '³A2⋅y '⁵A3⋅y '⁷−y '



^{A1⋅r02A2⋅r04A3⋅r06}



Abbildung 4.13: Auswirkung der Exzentrizität auf vertikale Bildkoordinaten

x'_aff=C₁⋅x'_pan y'_aff=0

4.2.4.6 Modellabweichungen durch Unzulänglichkeiten der Drehbewegung

Fehler in der Rotationsgeschwindigkeit können verschiedene Ursachen mit unterschiedlicher Wirkung auf die Bildkoordinaten haben. Einige mögliche Einflüsse werden anschließend aufgezeigt. Während die bisher genannten Abweichungen vom geometrischen Modell bei allen Rotationszeilenkameras in gleicher Weise be-rücksichtigt werden können, sind die Modellabweichungen, die durch Fehler der Drehbewegung verursacht werden, stärker vom Kameratyp abhängig. Deshalb kann es sinnvoll sein, die Modellgleichungen entspre-chend den individuellen Eigenschaften der jeweiligen Kamera anzupassen. Beispielsweise sind bei einem kontinuierlichen Antrieb andere Abweichungen zu erwarten als bei einem Schrittmotor-Antrieb. Die im Fol-genden beschriebenen Abweichungen werden zumeist durch das komplexe Zusammenspiel unterschiedlicher mechanischer Bauteile innerhalb des Motors und des Getriebes verursacht, weshalb die physikalische Inter-pretation der zur Kompensation verwendeten Parameter nicht vollständig möglich ist.

• Winkelpositionierfehler des Drehtisches

Geringfügige Schwankungen der Rotationsgeschwindigkeit werden durch Spannungen in den Lagern, im Getriebe und im Motor verursacht. Dieser Effekt äußert sich darin, dass der tatsächliche Horizontalwinkel an verschiedenen Positionen unterschiedlich starke Differenzen zur Sollrichtung aufweist, was durch Abbil-dung 4.14 veranschaulicht wird.

Periodische Anteile dieses Fehlers lassen sich durch einen Korrekturansatz in Form einer Fourierreihe, also einer Funktionenreihe aus trigonometrischen Funktionen, kompensieren. Die Parameter der Fourierreihe dienen dann als zusätzliche Parameter im Modellansatz. In praktischen Untersuchungen der Panoramaka-mera EYESCAN M3D metric [Schneider, 2002] hat sich die Verwendung einer Sinusfunktion in Form von Gleichung (4.26) als geeignet herausgestellt. Zusatzparameter sind die Parameter der Sinusfunktion (Ampli-tude a, Frequenz b, Phasenlage c):

(4.26)

• Fehler im Planlauf des Drehtisches

Der Planlauf des Drehtisches beschreibt die vertikale Stabilität des Drehtellers während der Drehung. Un-genauigkeiten werden hauptsächlich durch die Mechanik des Drehtisches verursacht. Zu erwarten sind vor

x'_rot = r '⋅ξ = a₁sinb₁ξc₁a₂sinb₂ξc₂

Abbildung 4.14: Veranschaulichung des Winkelpositionierfehlers

4.2 Panoramakamera

allem periodisch verlaufende Abweichungen vom Planlauf, die sich im Kamerasystem durch eine Vertikal-bewegung der Kamera und damit durch eine Auf- und AbVertikal-bewegung der Sensorzeile bemerkbar machen.

Dieser Fehler lässt sich ebenfalls durch eine Korrekturfunktion in Form einer Fourierreihe (hier in Amplitu-de-Phasen-Notation), die an die vertikalen Bildkoordinaten angebracht wird, modellieren. Die Korrektur vertikaler Bildkoordinaten ist abhängig vom horizontalen Drehwinkel:

(4.27)

• Fehler im Rundlauf des Drehtisches

Abweichungen im Rundlauf des Drehtisches werden von einer Bewegung der Rotationsachse während der Kameradrehung bewirkt. Dieser Effekt ist mit einem Taumelfehler der Stehachse eines Theodoliten ver-gleichbar und entsteht infolge von Einflüssen der Achslagerung. Die Wirkung periodischer Abweichungen vom Rundlauf überlagert sich mit anderen durch die Drehbewegung verursachten Unzulänglichkeiten und kann deshalb mit den Parametern der Fourierreihen (Gleichung 4.26 und 4.27) oder mit einem Polynoman-satz, wie in [Amiri Parian, 2007] gezeigt wird, weitestgehend kompensiert werden.

• Lastabhängigkeiten des Motors

Eine nicht lotrecht aufgestellte Panoramakamera kann dazu führen, dass die Drehgeschwindigkeit der Pan-oramakamera variiert. Die dadurch verursachten Abweichungen sind mit einem Winkelpositionierfehler vergleichbar und demzufolge mit dem gleichen Korrekturansatz erfassbar. Im Unterschied zum Winkelposi-tionierfehler ist dieser Fehler jedoch nicht konstant, sondern ist von der aktuellen Aufstellung der Kamera abhängig. Deshalb könnte er bei Berechnungen mit mehreren Panoramabildern eher als bild-variante Ab-weichung berücksichtigt werden.

• Anfahr- und Abremsverhalten der Rotation

Während der Anfahr- und Abbremsphase des Rotationsantriebs kann es zu Vibrationen und zu weiteren Ungleichmäßigkeiten des Antriebs kommen. Da die dadurch verursachten Abweichungen kaum modellier-bar sind, sollte während dieser Phasen keine Aufnahme von Bilddaten erfolgen. Dies sollte bei einer Pan-oramakamera durch die Steuersoftware berücksichtigt werden.

4.2.4.7 Zusammenfassung der Zusatzparameter

Alle im Kapitel 4.2.4 beschriebenen Korrekturfunktionen zur Kompensation von Abweichungen vom geo-metrischen Grundmodell können in den Gleichungen (4.15) und (4.16) wie folgt berücksichtigt werden:

(4.28) Die darin enthaltenen Zusatzparameter Sensorneigung N, Sensorkantung K, Exzentrizität e, die Verzeich-nungsparameter A1, A2 und A3, die Affinität Ah bzw. C1 sowie die Parameter der Fourierreihen a, b und c kön-nen dann im Rahmen eines räumlichen Rückwärtsschnittes oder einer Bündelblockausgleichung mit Selbstka-librierung bestimmt werden.

Im Kapitel 5.1 erfolgt die Verifikation des geometrischen Modells, insbesondere der Zusatzparameter.

Dies soll zum einen zeigen, welche Parameter notwendig bzw. sinnvoll sind, und zum anderen soll die Stabili-tät der Parameter überprüft werden. Nicht ausreichend stabile Parameter können als bild-variant berücksich-tigt werden. Es wurden auch weitere Parameter, wie beispielsweise eine Krümmung der Sensorzeile testweise berücksichtigt. Allerdings hat sich dabei entweder eine vollständige Korrelation mit anderen Parametern ge-zeigt, oder die Parameter konnten in den durchgeführten Tests nicht signifikant bestimmt werden.

x'=x'_Kx'_rotx '_aff

y '=y '_Ny '_Ky '_ey'_rady '_rot

y '_rot=a₃sinb₃ξc₃a₄sinb₄ξc₄

Im Dokument Geometrische und stochastische Modelle für die integrierte Auswertung terrestrischer Laserscannerdaten und photogrammetrischer Bilddaten (Seite 75-82)