7.1 Stochastische Informationen
(7.4)
Die geschätzte Standardabweichung einer Unbekannten ergibt sich aus der Wurzel der in der Hauptdiago-nalen der Varianz-Kovarianz-Matrix stehenden Varianz der Unbekannten (bzw. nach Gleichung 2.27 aus der Kofaktormatrix). Aus den Nebendiagonalelementen der Varianz-Kovarianz-Matrix lassen sich die Korrelatio-nen zwischen den Unbekannten ermitteln (Nebendiagonalelement geteilt durch die Wurzel des Produktes der entsprechenden Hauptdiagonalelemente, in gleicher Weise wie aus der Kofaktormatrix entsprechend Glei-chung 2.30).
Aus diesen stochastischen Informationen über die unbekannten Parameter lassen sich anschließend weite-re Größen, wie beispielsweise die Bestimmbarkeit (Kapitel 2.1.3.6) und die Signifikanz (Kapitel 2.1.3.8) der Unbekannten ableiten.
7.1.4 Kofaktormatrix und Kovarianzmatrix der ausgeglichenen Beobachtungen
Wird die Kofaktormatrix der Unbekannten bzw. die Varianz-Kovarianz-Matrix der Unbekannten mit dem funktionalen Modell unter Berücksichtigung der ermittelten Werte für die unbekannten Parameter in der fol-genden Form multipliziert, erhält man die Kofaktormatrix QLL bzw. die Kovarianzmatrix LLder ausgegli-chenen Beobachtungen:
(7.5)
Beide Matrizen unterscheiden sich wiederum nur durch den Faktors02. Die KovarianzmatrixLLder aus-geglichenen Beobachtungen enthält explizit die Varianzen der ausaus-geglichenen Beobachtungen auf der Haupt-diagonalen. Die Wurzeln dieser Elemente sind die Standardabweichungen der ausgeglichenen Beobachtun-gen. Diese sollten in der Regel geringer sein als die a-priori und a-posteriori Standardabweichungen der ur-sprünglichen Beobachtungen. Außerdem lassen sich aus den Nebendiagonalelementen Korrelationen zwi-schen den ausgeglichenen Beobachtungen ableiten.
tisch oder zu pessimistisch veranschlagt wurden (vgl. Gleichung 7.2). Die Ergebnisse der Ausgleichungsbe-rechnung (z.B. geschätzte Werte der Unbekannten) werden in diesem Fall nicht beeinflusst.
7.2.1 Zentralperspektive Bildkoordinaten
Die Bildkoordinaten (x', y') in digitalen Bildern werden am Bildschirm interaktiv oder automatisch im Pi-xelkoordinatensystem gemessen und meistens unter Verwendung des bekannten Pixelabstandes in das Bildko-ordinatensystem mit der Einheit Millimeter umgerechnet.
Generell muss bei der Festlegung einer a-priori Standardabweichung danach unterschieden werden, was gemessen wird und wie gemessen wird. Gemessen werden können natürliche Objektpunkte (z.B. Fenstere-cken einer Fassade), signalisierte Punkte (z.B. retro-reflektierende runde Zielmarken), oder es werden be-stimmte, mit einem Musterbild übereinstimmende, Bildmerkmale gesucht. Die Messung kann entweder inter-aktiv am Bildschirm erfolgen, automatisch mit Bildmessoperatoren (z.B. Schwerpunktoperator, Ellipsenope-rator bei kreisförmigen Zielmarken, Ring-OpeEllipsenope-rator bei kreuzförmigen Zielmarken) oder automatisch mit Kor-relations- und Matchingverfahren.
Eine Angabe von konkreten Werten für die a-priori Standardabweichungen der Bildkoordinaten (σx', σy') lässt sich nicht pauschal treffen, weil sie von zahlreichen Faktoren abhängig ist. Zu den Einflussgrößen auf die Bildmessgenauigkeit zählen unter anderem die Bildqualität (Rauschen), der Dynamikumfang des Sensors, der Zielmarkenkontrast, die Größe der Zielmarke, die Struktur der Bildmerkmale bei Messung mit LSM oder das Vorhandensein von Verdeckungen bzw. Störungen. Unter optimalen Bedingungen sind folgende Genau-igkeiten möglich (z.B. [Luhmann et. al., 2006]):
• Interaktive Messung nicht-signalisierter Punkte: σx',y' = 0,3 – 0,5 Pixel
• Automatische Messung signalisierter Punkte mit Schwerpunktoperator: σx',y' = 0,03 – 0,05 Pixel
• Automatische Messung signalisierter Punkte mit Ellipsen oder Ring-Operator: σx',y' = 0,02 – 0,05 Pixel
• Kreuzkorrelation mit Subpixel-Interpolation: σx',y' = 0,03 – 0,10 Pixel
• Kleinste-Quadrate-Anpassung (LSM): σx',y' = 0,01 – 0,04 Pixel
• Theoretische Grenze der Messauflösung bei synthetischen Testbildern: σx',y' = 0,001 – 0,002 Pixel Horizontale (x') und vertikale (y') Bildkoordinaten haben in der Regel die gleiche a-priori Genauigkeit.
Eine Trennung horizontaler und vertikaler Koordinaten in unterschiedliche Beobachtungsgruppen mit ver-schiedener Genauigkeit ist nur in Einzelfällen sinnvoll, beispielsweise wenn die zu messenden Zielmarken un-terschiedliche Dimensionen in horizontaler und vertikaler Richtung haben, wenn die Pixel in horizontaler und vertikaler Koordinatenrichtung unterschiedliche Abstände haben, also nicht quadratisch sind oder wenn der Bildbereich, in dem durch Kleinste-Quadrate-Anpassung (LSM) eines Musterbildes gemessen wird, bestimm-te horizontal oder vertikal verlaufende Strukturen aufweist. In den genannbestimm-ten Fällen ist zwar eine unbestimm-terschied- unterschied-liche Genauigkeit in x'- und y'-Richtung zu erwarten, der tatsächunterschied-liche Genauigkeitsunterschied ist jedoch meistens nicht bekannt, was die Festlegung unterschiedlicher a-priori Gewichte erschwert.
Die entsprechenden (Sub-) Kovarianzmatrizen lauten wie folgt, wobei meist σx' = σy' definiert wird:
(7.7)
x'x'= x'2⋅
[
1 ⋱ 1]
bzw. y'y'= 2y '⋅[
1 ⋱ 1]
7.2 Festlegung von Beobachtungsgewichten
7.2.2 Fisheye-Bildkoordinaten
Für die Messung in Fisheye-Bildern gelten im Prinzip die gleichen Aussagen wie für die Messung in zen-tralperspektiven Bildern. Allerdings sollte in der Regel von etwas geringeren a-priori Standardabweichungen der Beobachtungen ausgegangen werden, weil die Qualität der Abbildung, insbesondere im Randbereich, meist schlechter ist als bei Bildern, die mit zentralperspektiv abbildenden Objektiven aufgenommen wurden.
Außerdem beschreibt das geometrische Modell die tatsächliche Physik der Abbildung meist nicht vollständig, wodurch die Genauigkeit zusätzlich eingeschränkt wird. Die in Kapitel 5.2 durch räumlichen Rückwärts-schnitt ermittelte mittlere Koordinatengenauigkeit im Bildraum beträgt beispielsweise für ein mit einer 14-Megapixel-Kamera mit Nikkor-Fisheye-Objektiv in einem mit signalisierten Zielmarken ausgestatteten Test-feld aufgenommenes Fisheye-Bild ca. 0,1 Pixel. Deshalb ist auch bei einer Bildkoordinatenmessung signali-sierter Punkte mit Schwerpunkt- oder Ellipsenoperator bzw. bei Messung mit Korrelations- und Matchingver-fahren die Festlegung höherer a-priori Genauigkeiten nicht sinnvoll.
7.2.3 Panoramabildkoordinaten
Im Unterschied zu der Koordinatenmessung in einem Bild, welches mit einem Flächensensor aufgenom-men wurde, sind durch die Verwendung von Zeilensensoren zur Bildaufnahme unterschiedliche Genauigkei-ten in horizontaler und vertikaler BildkoordinaGenauigkei-tenrichtung begründet. Insbesondere bei Rotationszeilen-Pan-oramakameras sind Unterschiede zu erwarten, weil das Bild in horizontaler Richtung durch den sich über einen gewissen Zeitraum drehenden Zeilensensor und in vertikaler Richtung durch die feste zentralperspekti-ve Geometrie des Zeilensensors bestimmt wird. Dennoch lässt sich nicht sicher vorhersagen, ob Bildkoordi-naten in horizontaler oder vertikaler Richtung eine höhere Genauigkeit haben, weil sich Ungenauigkeiten der Kamerarotation auf beide Koordinatenrichtungen anders auswirken. Es wird deshalb von gleichen a-priori Standardabweichungen ausgegangen, allerdings ist es aus den genannten Gründen sinnvoll, im Rahmen einer Varianzkomponentenschätzung unterschiedliche Gewichte für x' und y'-Beobachtungen zu schätzen.
Für die reine Bildkoordinatenmessung sind die gleichen Genauigkeiten möglich wie bei der Messung in zentralperspektiven Bildern. Allerdings muss die tatsächlich erreichbare Genauigkeit der Beobachtungen auf-grund der Kamerarotation und damit zusammenhängenden Instabilitäten während der Aufnahme einge-schränkt werden. Mit der Panoramakamera KST EYESCAN M3D wurden sowohl durch räumlichen Rück-wärtsschnitt als auch durch die Berechnung einer Bündelblockausgleichung basierend auf der Messung runder Zielmarken mit Schwerpunkt- und Ellipsenoperator Standardabweichungen zwischen 0,2 und 0,3 Pixel er-reicht (Kapitel 5.1). Von geringeren a-priori Standardabweichungen zur Definition von Beobachtungsgewich-ten sollte deshalb nicht ausgegangen werden.
7.2.4 Distanzmessung terrestrischer Laserscanner
7.2.4.1 Definition fester Gewichte
Die a-priori Standardabweichung einer elektrooptischen Distanzmessung D wird in der Regel durch einen konstantenD , k und einen entfernungsabhängigen AnteilD , e nach folgender Beziehung bestimmt [Möser et. al., 2000; Sieg & Hirsch, 2000a]:
(7.8) Die entsprechende Submatrix ΣDD der Kovarianzmatrix der Beobachtungen (vgl. Gleichung 7.1) kann dann nach Anwendung der ersten binomischen Formel auf Gleichung 7.8 aus drei Teilmatrizen zusammenge-setzt werden:
(7.9)
D= D , kD , e⋅D
DD= D , k2 ⋅
[
1 ⋱ 1]
D , kD , e⋅[
2D1 ⋱ 2Dn]
2D , e⋅[
D12 ⋱ D2n]
Die Genauigkeitsangabe eines Tachymeters von z.B. 3 mm + 2 ppm für die Messung auf einen Reflektor resultiert in den Anteilen der a-priori StandardabweichungD , k= 0,003 m und D , e= 2 · 10-6. Diese Vorge-hensweise kann im Prinzip auch auf die Distanzmessung terrestrischer Laserscanner übertragen werden, aller-dings sind dafür meistens keine genauen Herstellerangaben verfügbar, außerdem hängt die tatsächliche Di-stanzmessgenauigkeit bei der reflektorlosen Distanzmessung von einer Reihe weiterer Faktoren ab, die nur schwierig quantifizierbar sind. Diese Faktoren sind unter anderem (vgl. Kapitel 5.4.4.1):
• Art des Ziels (z.B. flache Zielmarke oder geometrischer Körper wie Kugel oder Zylinder)
• Methode der Bestimmung der Distanz (z.B. intensitäts-gewichtetes Mittel mehrerer Distanzmessungen auf eine Zielmarke oder manueller Abgriff im Intensitätsbild)
• Scanauflösung
• Strahldivergenz
• Reflektivität bzw. Beschaffenheit der Oberfläche (Material, Farbe, Rauigkeit)
• Auftreffwinkel auf die Oberfläche
• Wellenlänge des Lasers
Erfahrungswerte zeigen, dass mit terrestrischen Laserscannern, die nach dem Phasenvergleichsverfahren arbeiten, Genauigkeiten zwischen 2 bis 8 mm (z.B. [Meckelke et. al., 2008]) und terrestrischen Laserscan-nern, die mit dem Impulslaufzeitverfahren messen, Genauigkeiten zwischen 6 bis 10 mm im Entfernungsbe-reich bis 100 Meter möglich sind (z.B. [Mulsow et. al., 2004; Böhler & Marbs, 2004]). Impulslaufzeit-La-serscanner haben meist eine größere Reichweite, die Genauigkeit nimmt bis 1000 m etwa um die Hälfte ab und beträgt dann nur noch 12 bis 20 mm (vgl. Kapitel 3.5.2.1), entsprechend kann der entfernungsabhängige Anteil der Distanzfehlers abgeleitet werden. Diese Werte gehen davon aus, dass keine systematischen (Null-punkt- oder Maßstabs-) Fehler vorliegen bzw. diese durch das geometrische Modell aufgefangen werden, d.h.
sie beschreiben das zufällige Messrauschen.
[Teschke, 2004] beschreibt die Untersuchung des Messrauschens mit dem terrestrischen Laserscanner Riegl LMS-Z420i in Abhängigkeit von der Messdistanz durch das Scannen einer ebenen Platte. Es wird zwi-schen einer Innenraumaufnahme mit Messdistanzen bis 30 m und einer Außenaufnahme mit einem Messbe-reich zwischen 50 und 1000 m unterschieden. In die Punktwolken der in verschiedenen Distanzen gescannten Platte wurde eine ausgleichende Ebene eingepasst. Die Standardabweichung der Ebenenausgleichung wurde als Wert für die Distanzmessgenauigkeit des Laserscanners interpretiert. Es wurden empirisch folgende Stan-dardabweichungen ermittelt:
(7.10) Die in den verschiedenen Untersuchungen ermittelten Genauigkeitswerte beziehen sich meist auf optimale Testbedingungen. Je nach tatsächlichen Bedingungen sollte die a-priori Standardabweichung in der Praxis tendenziell etwas höher angesetzt werden.
7.2.4.2 Näherungswerte für die Varianzkomponentenschätzung
Soll ein konstanter und ein entfernungsabhängiger Fehleranteil eines adaptiven stochastischen Modells in-nerhalb einer Varianzkomponentenschätzung ermittelt werden, wird zur Vereinfachung die mittlere Teilma-trix in Gleichung 7.9 weggelassen. Das stochastische Modell ist dann wie folgt definiert [Sieg & Hirsch, 2000a] und unterscheidet sich von Gleichung 7.8 nur darin, dass die beiden Fehleranteile sich nicht auf die Standardabweichungen, sondern auf die Varianzen beziehen:
(7.11)
D=7,0 mm + 100 ppm (Distanzbereich 2 - 30 m)
D=9,9 mm + 10 ppm (Distanzbereich 50 - 1000 m)
D=
D , k2 2D , e⋅D2
7.2 Festlegung von Beobachtungsgewichten
Ob es überhaupt möglich ist, neben dem konstanten Fehleranteil auch einen entfernungsabhängigen Anteil zu schätzen, hängt davon ab, inwieweit eine ausreichende Anzahl unterschiedlich langer Strecken, verteilt über den gesamten Messbereich des Laserscanners, zur Verfügung steht.
Alternativ ist es auch möglich, die Verhältnisse der Genauigkeiten zwischen den einzelnen Distanzbeob-achtungen fest vorzugeben, und nur das Genauigkeitsniveau der gesamten Beobachtungsgruppe zu schätzen.
Für jede Distanzbeobachtung Di wird eine Standardabweichung mi vorab festgesetzt, geschätzt wird nur die Varianz σD2:
(7.12)
7.2.5 Winkelmessung terrestrischer Laserscanner
7.2.5.1 Festlegung fester Gewichte
Auch die a-priori Standardabweichung der Horizontal- und Vertikalwinkelmessung wird bei Theodoliten bzw. Tachymetern aus zwei Komponenten zusammengesetzt, der Genauigkeit der Winkelmessung des Mess-gerätes und einer Zentrier- und Anzielgenauigkeit [Möser et. al., 2000]:
(7.13) Der von der Distanz D umgekehrt proportional abhängige Fehleranteil ist bei Messung diskreter Punkte mit einem terrestrischen Laserscanner in Frage zu stellen, da keine Anzielung durch einen Beobachter erfolgt.
Dennoch kann es z.B. bei der Messung einer signalisierten Zielmarke durch eine automatische intensitäts-ge-wichtete Mittelbildung mehrerer Punkte einer Punktwolke zu einem mit der Distanz variierenden Fehleranteil kommen. Allerdings fällt die quantitative a-priori Abschätzung der Fehleranteile und des Gesamtfehlers schwer, weil diese wie auch bei der Distanzmessung von sehr vielen verschiedenartigen Faktoren abhängig ist.
Bei einem terrestrischen Laserscanner ist, wie auch bei einer Rotationszeilen-Panoramakamera, die Zu-ordnung unterschiedlicher Genauigkeiten für die Horizontal- und Vertikalwinkelmessung durchaus sinnvoll, weil für die jeweilige Messung unterschiedliche Messeinrichtungen verantwortlich sind. Beispielsweise er-folgt die Vertikalwinkelmessung bei dem Laserscanner Riegl LMS-Z420i durch einen Winkelabgriff an ei-nem sehr schnell rotierenden Polygonrad, während die Horizontalwinkelmessung durch elektronischen Ab-griff an dem wesentlich langsamer rotierenden Instrumentenoberbau erfolgt (vgl. Kapitel 3.5.3.1).
Die Genauigkeit der Winkelmessung hängt unter anderem von der Winkelauflösung des Laserscanners ab.
Die kleinste einstellbare Winkelauflösung beträgt beispielsweise beim Riegl LMS-Z420i in horizontaler und vertikaler Richtung 0,004° (0,070 mrad). Die maximale Auflösung des Winkelabgriffs beträgt für den Hori-zontalwinkelabgriff 0,002° (0,035 mrad) und für den Vertikalwinkelabgriff 0,0025° (0,044 mrad). Berück-sichtigt werden muss außerdem die Strahldivergenz von 0,014° (0,25 mrad), die bei zunehmender Messdi-stanz zu einem größeren Laserspot auf der Objektoberfläche führt [Riegl, 2007].
Eine von [Teschke, 2004] durchgeführte Untersuchung dieses Riegl-Laserscanners zeigt die tatsächlich er-reichbaren Genauigkeiten der Winkelmessung. Dafür wurden mehrere horizontale und vertikale, senkrecht zur Aufnahmerichtung angeordnete Distanzen mehrfach durch Koordinatendifferenzen bestimmt, indem die Mittelpunkte der retro-reflektierenden Endpunkte der Strecken durch eine intensitäts-gewichtete Schwer-punktbestimmung ermittelt wurden. Die Wiederholgenauigkeit der Streckenbestimmung wird als Standardab-weichung der Winkelmessung interpretiert. Der Wert bezieht sich allerdings auf die Winkelmessung an bei-den Endpunkten, deshalb muss dieser noch durch2geteilt werden, um die einfache Winkelmessgenauigkeit ableiten zu können. Die Standardabweichung der Horizontalwinkelmessung wurde mit 0,019 mrad und die der Vertikalwinkelmessung mit 0,017 mrad bestimmt. Das zeigt, dass durch die Nutzung der Redundanz bei Anwendung eines Schwerpunktoperators auf die Punktwolke einer Zielmarke eine höhere Genauigkeit als die
DD= D2⋅
[
m1 ⋱ mn]
= , k, e
D ⋅ bzw. = , k, e
D ⋅ mit =200gon
eingestellte Winkelauflösung möglich ist, ähnlich wie bei der Subpixel-Koordinatenmessung in digitalen Bil-dern. Der Vergleich der ermittelten Distanzen mit Soll-Strecken zeigt allerdings deutlich größere Abweichun-gen, insbesondere bei der Vertikalwinkelmessung wird die Abweichung zur Soll-Distanz umso größer, je stei-ler die Visur ist. Dies deutet auf einen systematischen Fehstei-lereinfluss hin, der durch Zusatzparameter im geo-metrischen Modell (z.B. Parameter der vertikalen Teilkreisexzentrizität cT1) kompensiert werden kann (vgl.
Kapitel 4.5.3).
Mit den angeführten Herstellerangaben bezüglich der Winkelmessung und den durchgeführten Tests zur Winkelmessgenauigkeit wird die Schwierigkeit deutlich, eine a-priori Standardabweichung abzuschätzen. In der Praxis ist es empfehlenswert, von der verwendeten Winkelauflösung auszugehen und je nach Signalisie-rung und Messmethode eine geringere (z.B. 1/3 der Scanauflösung bei intensitäts-gewichteter Schwerpunkt-bestimmung) oder höhere Standardabweichung (z.B. 2-fache Scanauflösung bei manueller Messung im Inten-sitätsbild) anzusetzen. Die Einheit der Winkelbeobachtungen und deren Standardabweichungen ist entweder Radiant oder Grad bzw. Gon, ggf. muss im stochastischen Modell der Umrechnungsfaktor ρ berücksichtigt werden (Gleichung 7.13).
7.2.5.2 Näherungswerte für die Varianzkomponentenschätzung
[Sieg & Hirsch, 2000a] schlägt für die Messung mit Tachymetern das folgende stochastische Modell (ana-log zu Gleichung 7.11) für die Varianzkomponentenschätzung vor, bei dem sich der konstante und der entfer-nungsabhängige Fehleranteil im Gegensatz zu Gleichung 7.13 auf die Varianzen anstatt auf die Standardab-weichungen beziehen:
(7.14) Damit lässt sich die Submatrix für die Horizontalwinkelmessung Σαα (und in gleicher Weise für die Verti-kalwinkelmessung Σββ) wie folgt in zwei Teilmatrizen unterteilen:
(7.15)
Die Trennung in einen konstanten und entfernungsabhängigen Anteil ist für die Winkelmessung terrestri-scher Laserscanner nicht unbedingt sinnvoll, kann allerdings innerhalb eines adaptiven Ansatzes für die Vari-anzkomponentenschätzung getestet werden, wenn genügend unterschiedliche Distanzen zur Verfügung ste-hen.
In jedem Fall sollte die Varianzkomponentenschätzung die Aufspaltung der horizontalen und vertikalen Beobachtungen in unterschiedliche Beobachtungsgruppen erlauben, für die dann jeweils eine individuelle Standardabweichung bzw. ein Beobachtungsgewicht geschätzt wird. Die weitere Aufspaltung entsprechend Gleichung (7.15) kann optional, zumindest zu Testzwecken, vorgenommen werden. Ein alternativer Ansatz wie bei den Distanzbeobachtungen entsprechend Gleichung (7.12) ist ebenfalls möglich.